Materia:Analisi matematica

 

Analisi matematica

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Presentazione

L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. In passato l'analisi matematica si occupava del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono. L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici. Panoramica Modulo 1: Insiemi, successioni e funzioni continue Cenni di $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$: insiemi ordinati, massimo, minimo, estremo inferiore-superiore, completezza di $\mathbb {R}$, numeri reali, insiemi induttivi, induzione matematica. Nozioni sui numeri complessi. Funzioni elementari: funzioni trigonometriche ed iperboliche, funzioni polinomiali, esponenziali, logaritmiche. Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$: successioni reali, limiti di successioni, forme indeterminate, teoremi del confronto, serie numeriche, criteri del rapporto, radice e di Leibniz. Limiti di funzioni reali: insiemi compatti, punti di accumulazione, definizione di limite, collegamento tra limite di funzioni e limite di successioni, algebra dei limiti, teoremi del confronto. Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità: funzioni monotone, funzioni continue, punti di massimo e di minimo assoluti, teorema di Weierstrass, uniforme continuità e teorema di Cantor. Modulo 2: Derivate, integrali e serie di funzioni Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni: derivata prima e di ordine superiore di una funzione, algebra delle derivate, derivazione di funzioni elementari, polinomi di Taylor, funzioni convesse definite tramite derivata prima, punti critici, di massimo, di minimo, di flesso ed irregolari, studio di funzioni reali a valori reali, funzioni convesse definite tramite le combinazioni convesse. Integrale di Riemann: concetto di integrale, definizione di integrale di Riemann, integrale definito, integrale generalizzato. Successioni e serie di funzioni: successioni di funzioni, inversione dei limiti, passaggi al limite sotto il segno di integrale e derivata, monotonia, del Dini, Ascoli-Arzelà, serie di funzioni, serie di potenze, raggio di convergenza, criteri di sviluppabilità in serie di Taylor. Modulo 3: Funzioni in più variabili, curve e superfici Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità, calcolo differenziale, formula di Taylor, forme quadratiche, massimi e minimi relativi ed assoluti, funzioni definite tramite integrale, funzioni a valori vettoriali, funzioni convesse in più variabili. Curve ed integrali curvilinei: curva semplice, regolarità, versore tangente alla curva, lunghezza della curva, ascissa curvilinea, integrale curvilineo, curva in $\mathbb {R} ^{2}$ e in $\mathbb {R} ^{3}$, triedro di Frénet. Forme differenziali lineari: definizione di forma differenziale lineare, integrale curvilineo di forma differenziale lineare, forme esatte, chiuse e caratterizzazione delle forme esatte. Integrali multipli: Integrali doppi, tripli, integrale secondo Riemann in $\mathbb {R} ^{n}$ Integrazione secondo Lebesgue: Misura di Lebesgue, funzioni misurabili, confronto tra Lebesgue e Riemann. Superfici ed integrali di superficie: Superficie regolare, parametrizzazione, piano tangente, versore normale, area di una superficie ed integrale di superficie.

Prerequisiti

L'analisi più che ogni altra materia matematica richiede una conoscenza almeno basilare della storia della matematica per comprendere bene il perché esistono certi metodi di calcolo e da quali esigenze sono venute fuori. È dunque fondamentale non privarsi del tempo necessario per approfondire anche le curiosità che rendono estremamente importante e affascinante questa materia.

Programma

Modulo 1 Insiemi e logica Richiami di Insiemistica Strumenti minimi di teoria degli insiemi Insiemi, proposizioni e predicati Insiemi, relazioni e funzioni Cenni di $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ e funzioni elementari Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Numeri reali (seconda parte) Numeri complessi Funzioni Funzioni circolari Funzioni radice, esponenziale e logaritmica Le successioni e le serie numeriche in $\mathbb {R}$ Successioni reali Limiti di successioni reali Alcuni importanti teoremi sulle successioni Algebra dei limiti di successioni Esistenza del limite di una successione reale Limiti inferiori e superiori Forme indeterminate (successioni) Serie numeriche Limite di funzioni reali Punti di accumulazione e chiusura di un insieme Compattezza di un insieme Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale Algebra dei limiti Teorema del confronto, di Cauchy Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità Funzioni monotone Funzioni continue reali di variabile reale Massimi e minimi di una funzione continua Funzioni uniformemente continue Modulo 2 Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni Funzioni derivabili e derivata di una funzione Algebra delle derivate Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital Polinomi di Taylor Studio di funzioni reali a valori reali Funzioni convesse Calcolo integrale secondo Riemann Integrale di Riemann Altri criteri di integrabilità secondo Riemann Calcolo degli integrali di Riemann Importanti teoremi del calcolo integrale (prima parte) Importanti teoremi del calcolo integrale (seconda parte) Integrale generalizzato Successioni e serie di funzioni Successioni di funzioni Serie di funzioni Modulo 3 Funzioni di più variabili reali Funzioni di più variabili Limiti e derivate di funzioni di più variabili Problemi di ottimizzazione Curve ed integrali curvilinei Curve: rappresentazione e proprietà Integrali curvilinei Forme differenziali lineari Forme differenziali lineari Forme differenziali esatte Forme differenziali nel piano e nello spazio Integrali multipli e integrale di Lebesgue Superfici ed integrali di superficie

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Modulo 1 Disequazioni Numeri complessi Successioni Serie numeriche Limiti di funzioni reali Modulo 2 Calcolo delle derivate Lo studio delle funzioni Integrali Successioni e serie di funzioni Serie di potenze e serie di Taylor Modulo 3 Equazioni differenziali Metodo della variazione delle costanti Equazioni differenziali di Bernoulli Funzioni di più variabili' Curve e integrali curvilinei Integrali multipli Forme differenziali Superfici e integrali di superficie

Risorse

La Biblioteca del Dipartimento di Scienze matematiche, fisiche e naturali contiene risorse utili per approfondire. Analisi 1 Libri di Wikipedia: Algebra lineare Wolfram Alpha, utile strumento informatico per la matematica Uniroma2 Altri progetti

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