Integrali curvilinei

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Introduzione

Integrale ad una variabile. Superficie sottesa dalla funzione f(x)

Un integrale definito di una curva in $\mathbb {R} ^{2}$ - di quelli studiati nell'analisi di funzioni ad una variabile - si può interpretare geometricamente come l'area sottesa al grafico della curva in questione. Esso è la somma infinitesimale della altezza y per gli infinitesimi di base dx.

Invece, con funzioni in tre dimensioni ($\mathbb {R} ^{3}$), possiamo studiare sia curve lineari che superfici. In questa lezione parleremo solo di integrali curvilinei (e non di superficie, come verrà fatto nelle seguenti).

Tra gli integrali curvilinei, dobbiamo distinguere tra due tipi fondamentali: integrali di prima specie e integrali di seconda specie.

Premessa: curve in $\mathbb {R} ^{3}$

Una curva in $\mathbb {R} ^{3}$ si può rappresentare in modo cartesiano oppure secondo una rappresentazione parametrica, che è la rappresentazione che ci interessa ora.

La rappresentazione parametrica definisce la curva grazie ad un parametro, $t\in \mathbb {R}$, con il quale si esprimono le tre coordinate spaziali:

$\gamma (t)={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}t\in [t_{0},t_{1}]$

Ad esempio:

$\gamma (t)={\begin{cases}x=3t\\y=t^{2}\\z=3\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}t\in [-2,3]$

Proprietà:

• Una curva può avere infinite rappresentazioni parametriche, equivalenti.
• La derivata della curva, γ'(t), rappresenta la pendenza nelle direzioni parallele ai relativi assi. In un'interpretazione cinematica, in cui t è il tempo e γ(t) è la posizione spaziale in funzione del tempo, γ'(t) è la velocità in ognuna delle tre direzioni dello spazio.

Integrali di prima specie

Un esempio per cominciare

Definiamo una certa curva γ in $\mathbb {R} ^{3}$, che potremo interpretare come un filo solido (unidimensionale), e definiamo anche una funzione scalare $\sigma (x,y,z)$, che rappresenti la sua densità lineare di massa [kg/m] punto per punto. Possiamo allora calcolare la massa del filo integrando (con un integrale di linea di prima specie) lungo tutta la lunghezza del filo.

Definizione

Sono integrali di prima specie gli integrali che hanno una forma generale del tipo:

$\int _{\gamma }\,\sigma (x,y,z)\cdot d\gamma$

ovvero integrale lungo γ della funzione $\sigma (x,y,z)$.

Questi integrali si caratterizzano per il fatto che la funzione σ(x,y,z) è una funzione scalare, ovvero associa un - solo - valore scalare ad ogni punto dello spazio (x,y,z) (e non una funzione/campo vettoriale, come sarà per gli integrali di II specie). Altro elemento caratteristico è il fatto che $d\gamma \,$ è una lunghezza infinitesima, uno scalare (e non un vettore, che sarebbe indicato con $d{\underline {\gamma }}$, come sarà per gli integrali di II specie. Ora quindi stiamo parlando della norma/lunghezza scalare $d\gamma =\|d{\underline {\gamma }}\|$ ). Il prodotto all'interno dell'integrale è quindi un ordinario prodotto tra scalari.

Inoltre, se la funzione σ(x,y,z) vale 1, allora l'integrale rappresenta la lunghezza della curva:

$Lunghezza=\int _{\gamma }\,1\cdot d\gamma$

Calcolo dell'integrale

Grazie alla rappresentazione parametrica della curva γ, possiamo esprimere l'integrale in modo più semplice, ponendo ogni componente in funzione del parametro t, e infine integrando tra i due estremi del parametro.

Analizziamo, elemento per elemento, l'integrale:

$\int _{\gamma }\,\sigma (x,y,z)\cdot d\gamma$

• $\sigma (x,y,z)$ la possiamo esprimere così:

$\sigma (x,y,z)=\sigma \left(x(t),y(t),z(t)\right)$

• $d\gamma$ è un tratto infinitesimo della curva γ, che come ricordiamo, è espressa così:

$\gamma (t)={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}$

Quindi $d\gamma$ vale la lunghezza (norma) del tratto infinitesimo di curva:

$d\gamma (t)={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}}$

Ma dx, dy e dz possiamo esprimerli anch'essi in funzione del parametro t:

$d\gamma (t)={\begin{cases}dx=x'(t)\cdot dt\\dy=y'(t)\cdot dt\\dz=z'(t)\cdot dt\end{cases}}\qquad {\mbox{quindi}}\qquad d\gamma (t)={\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}+\left(z'(t)\right)^{2}}}\cdot dt\,=\,\|\gamma '\|\cdot dt$

• Infine sappiamo che gli estremi di integrazione saranno anch'essi esprimibili secondo il parametro t, e difatti saranno gli estremi dell'insieme in cui è definita la curva ( $[t_{0},t_{1}]$ ).

Quindi, sostituiamo nell'integrale di partenza e risolviamo l'integrale definito in una sola variabile, ovvero t:

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,\sigma \left(x(t),y(t),z(t)\right)\,\,\cdot \,\,\left\|\gamma '\right\|\cdot dt\,=\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,\sigma \left(x(t),y(t),z(t)\right)\,\,\cdot \,\,{\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}+\left(z'(t)\right)^{2}}}\cdot dt$

Nota: gli integrali di I specie - a differenza di quelli di II specie - sono indipendenti dal verso di percorrenza scelto per la curva.

Esempio di calcolo di integrale di linea di I specie

• Calcolare l'integrale:

$\int _{\gamma }\,\sigma (x,y,z)\cdot d\gamma$

con σ(x,y,z):

$\sigma (x,y,z)=8{\sqrt {y}}+18e^{z}$

lungo la curva:

${\underline {\gamma }}(t)={\begin{cases}x=2e^{3}t^{3/2}\\y=t^{2}\\z=6\end{cases}}\qquad {\mbox{con }}t\in [-2,3]$

Soluzione

Per prima cosa calcolo $\|d{\underline {\gamma }}(t)\|$, derivando su t gli elementi di γ(t):

$d{\underline {\gamma }}(t)={\begin{cases}dx=3e^{3}{\sqrt {t}}\cdot dt\\dy=2t\cdot dt\\dz=0\end{cases}}$

e ne calcolo la norma:

$\|d{\underline {\gamma }}(t)\|={\sqrt {(3e^{3}{\sqrt {t}})^{2}+(2t)^{2}}}\cdot dt\,=\,{\sqrt {9e^{6}t+4t^{2}}}\cdot dt$

Poi esprimo σ(x,y,z) in funzione di t, sostituendo ai valori di x, y, z i valori relativi di γ(t):

$\sigma (x(t),y(t),z(t))=8{\sqrt {t^{2}}}+18e^{6}=8t+18e^{6}\,$

Quindi sostituisco nell'integrale originale, con gli estremi di t dati dalla definizione della curva:

$\int _{-2}^{3}\,(8t+18e^{6})\cdot {\sqrt {9e^{6}+4t^{2}}}\cdot dt\,=\int _{-2}^{3}\,4(4t+9e^{6})\cdot {\sqrt {4t^{2}+9e^{6}}}\cdot dt\,=4\int _{-2}^{3}\,(4t+9e^{6})\cdot {\sqrt {4t^{2}+9e^{6}}}\cdot dt$

$=4\left[{\frac {2}{3}}(4t^{2}+9e^{6})^{3/2}\right]_{-2}^{3}\,={\frac {8}{3}}\left[(36+9e^{6})^{3/2}-(16+9e^{6})^{3/2}\right]\,\simeq 4837.756$

Esempi di interpretazioni fisiche

• Massa: Come anticipato negli esempi, se la funzione σ(x,y,z) rappresenta la densità punto per punto, in funzione della posizione, e la curva γ rappresenta un filo (senza spessore), allora l'integrale rappresenta la massa complessiva del filo.
• Carica: Se la curva γ rappresenta un filo (sempre senza spessore) dotato di carica variabile da punto a punto, in funzione di σ(x,y,z), allora l'integrale rappresenta la carica complessiva del filo.

Integrali curvilinei di seconda specie

Gli integrali curvilinei di II specie si caratterizzano in quanto rappresentano l'integrazione di un campo vettoriale ${\underline {F}}(x,y,z)$ lungo una curva orientata ${\underline {\gamma }}(x,y,z)$ (ovvero con un verso di percorrenza definito). Questo tipo di integrale in fisica è interpretabile come il lavoro L compiuto da una forza nello spazio.

Utilizzeremo questa dicitura anche in queste lezioni di matematica riferendoci all'integrale di seconda specie di un campo vettoriale lungo un cammino orientato.

Definizione

Possiamo formalmente scrivere un generico integrale di II specie in questo modo:

$L=\int _{\gamma }\,{\underline {F}}\bullet d{\underline {\gamma }}$

dove L, il lavoro, è dato dall'integrale lungo γ del prodotto scalare tra il campo vettoriale F(x,y,z) e dγ, lo spostamento (vettoriale) lungo γ.

Con questo tipo di integrale, l'elemento infinitesimo da integrare è un prodotto scalare. Questo prodotto scalare sarà maggiore quanto minore sarà l'angolo tra il vettore ${\underline {F}}$ e la direzione di $d{\underline {\gamma }}$.