Analisi matematica > Calcolo degli integrali di Riemann
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Nella lezione precedente abbiamo visto alcuni teoremi che ci permettono di stabilire l'integrabilità o meno di una funzione in base a certi criteri. Tuttavia, una volta stabilita l'integrabilità, si pone spesso il problema di calcolare effettivamente il valore dell'integrale e questa operazione può essere anche molto complessa. Vediamo allora alcuni teoremi e alcune tecniche che ci permettono, se sono rispettate certe condizioni, di ricondurci al caso di integrali più semplici da calcolare.
Algebra degli integrali di Riemann
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Siano :
cioè l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Infatti, siano e due scomposizioni di qualsiasi e , cioè è più fine delle altre due scomposizioni. Abbiamo allora:
Dunque
D'altra parte
In conclusione
Ma il primo e l'ultimo membro sono uguali! Dunque tutti questi sono in realtà uguaglianze ed in definitiva
Moltiplicazione di un integrale per un numero reale
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Infatti, se (altrimenti l'affermazione è banale), si ha per :
Se
Supponiamo
Infatti e di conseguenza .
Valore assoluto di un integrale
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Sia . Allora
Infatti, prendiamo un e una scomposizione tale che . Allora:
Per il Teorema di Riemann abbiamo provato che è integrabile secondo Riemann in . Osserviamo ora che e per le proprietà viste sopra abbiamo
Dunque
Teorema (fondamentale del calcolo integrale)
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- Sia e prendiamo un numero tale che . Abbiamo che
- ove . Per il Teorema della media integrale abbiamo che . Dunque
- Quindi è continua.
- 2. Sia un punto di continuità di . Preso dunque un numero positivo , esiste un altro numero positivo tale che abbiamo
dunque
Nota:
problema con la dimostrazione. chiedere al prof.
Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)
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Scomponiamo questo integrale come somma di più integrali. Abbiamo:
Ora, notiamo che è una costante reale nella funzione , dunque poniamo .
Adesso, abbiamo che
.
Sia , allora
Innanzitutto, essendo una funzione continua, essa è integrabile secondo Riemann in . Inoltre è una primitiva di , per la definizione di primitiva.
Per il precedente corollario
Teorema (integrabilità delle funzioni dotate di primitiva)
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Definiamo il concetto di primitiva di una funzione. Consideriamo una funzione . Una funzione derivabile in ogni punto del suo dominio e tale che si dice primitiva di .
Per il precedente corollario, sappiamo ora una cosa molto importante: ogni funzione continua ha almeno una primitiva, cioè la sua funzione integrale!
Enunciamo ora il seguente, fondamentale, Teorema:
Per ipotesi è integrabile, dunque per il Teorema di Riemann . Ora, osserviamo che possiamo scrivere in termine di scomposizioni, cioè
Per il Teorema del valor medio, sappiamo che esiste un
cioè
perché è una primitiva di .
Mettendo insieme le due espressioni, otteniamo:
Dunque,
Prima di proseguire, è fondamentale tenere bene a mente che l'esistenza di una primitiva non è condizione necessaria per l'integrabilità e nemmeno sufficiente. Infatti esistono funzioni che non hanno primitiva ma sono integrabili, così come esistono funzioni che hanno primitiva ma non sono integrabili secondo Riemann.
sono funzioni derivabili, dunque e si ha
Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)
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Consideriamo primitiva di e . Per le proprietà della derivata di funzione composta si ha che dunque
La funzione è invertibile per ipotesi, dunque, ponendo e si ottiene
che era ciò che si voleva dimostrare.