Calcolo degli integrali di Riemann

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lezione
Calcolo degli integrali di Riemann
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Analisi matematica > Calcolo degli integrali di Riemann


Nella lezione precedente abbiamo visto alcuni teoremi che ci permettono di stabilire l'integrabilità o meno di una funzione in base a certi criteri. Tuttavia, una volta stabilita l'integrabilità, si pone spesso il problema di calcolare effettivamente il valore dell'integrale e questa operazione può essere anche molto complessa. Vediamo allora alcuni teoremi e alcune tecniche che ci permettono, se sono rispettate certe condizioni, di ricondurci al caso di integrali più semplici da calcolare.

Algebra degli integrali di Riemann[modifica]

Siano :

Somma di integrali[modifica]

cioè l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Infatti, siano e due scomposizioni di qualsiasi e , cioè è più fine delle altre due scomposizioni. Abbiamo allora:

Dunque

D'altra parte

In conclusione

Ma il primo e l'ultimo membro sono uguali! Dunque tutti questi sono in realtà uguaglianze ed in definitiva

Moltiplicazione di un integrale per un numero reale[modifica]

Infatti, se (altrimenti l'affermazione è banale), si ha per :



Se



Ordine tra integrali[modifica]

Supponiamo

Infatti e di conseguenza .

Valore assoluto di un integrale[modifica]

Sia . Allora

Infatti, prendiamo un e una scomposizione tale che . Allora:

Per il Teorema di Riemann abbiamo provato che è integrabile secondo Riemann in . Osserviamo ora che e per le proprietà viste sopra abbiamo

Dunque

Teoremi[modifica]

Teorema (della media integrale)[modifica]

Sia una funzione integrabile secondo Riemann in . Poniamo , allora si ha che

.


Dimostrazione[modifica]

Teorema (fondamentale del calcolo integrale)[modifica]

Sia . Poniamo

Allora:

  1. è continua in ogni punto di .
  2. se è continua in , allora è derivabile in e si ha
    .
Dimostrazione[modifica]
  1. Sia e prendiamo un numero tale che . Abbiamo che

ove . Per il Teorema della media integrale abbiamo che . Dunque
Quindi è continua.
2. Sia un punto di continuità di . Preso dunque un numero positivo , esiste un altro numero positivo tale che abbiamo

dunque

Stock post message.svg Nota:
problema con la dimostrazione. chiedere al prof.

Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)[modifica]

Sia una funzione continua in e sia un punto dell'intervallo. Poniamo , si ha per ogni ,

.


Dimostrazione[modifica]

Scomponiamo questo integrale come somma di più integrali. Abbiamo:

Ora, notiamo che è una costante reale nella funzione , dunque poniamo .

Adesso, abbiamo che

.


Corollario[modifica]

Sia , allora

Dimostrazione[modifica]

Innanzitutto, essendo una funzione continua, essa è integrabile secondo Riemann in . Inoltre è una primitiva di , per la definizione di primitiva. Per il precedente corollario


Teorema (integrabilità delle funzione dotate di primitiva)[modifica]

Definiamo il concetto di primitiva di una funzione. Consideriamo una funzione . Una funzione derivabile in ogni punto del suo dominio e tale che si dice primitiva di .

Per il precendente corollario, sappiamo ora una cosa molto importante: ogni funzione continua ha almeno una primitiva, cioè la sua funzione integrale!

Enunciamo ora il seguente, fondamentale, Teorema:

Sia ed una sua primitiva. Allora si ha

Dimostrazione[modifica]

Per ipotesi è integrabile, dunque per il Teorema di Riemann . Ora, osserviamo che possiamo scrivere in termine di scomposizioni, cioè

Per il Teorema del valor medio, sappiamo che esiste un

cioè

perché è una primitiva di .

Mettendo insieme le due espressioni, otteniamo:

Dunque,


Prima di proseguire, è fondamentale tenere bene a mente che l'esistenza di una primitiva non è condizione necessaria per l'integrabilità e nemmeno sufficiente. Infatti esistono funzioni che non hanno primitiva ma sono integrabili, così come esistono funzioni che hanno primitiva ma non sono integrabili secondo Riemann.

Integrazione per parti[modifica]

Siano , ed una primitiva di . Allora

Dimostrazione[modifica]

sono funzioni derivabili, dunque e si ha


Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)[modifica]

Sia e sia una funzione biiettiva. Allora, se abbiamo

Dimostrazione[modifica]

Consideriamo primitiva di e . Per le proprietà della derivata di funzione composta si ha che dunque

La funzione è invertibile per ipotesi, dunque, ponendo e si ottiene

che era ciò che si voleva dimostrare.