Analisi matematica > Calcolo degli integrali di Riemann
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Nella lezione precedente abbiamo visto alcuni teoremi che ci permettono di stabilire l'integrabilità o meno di una funzione in base a certi criteri. Tuttavia, una volta stabilita l'integrabilità, si pone spesso il problema di calcolare effettivamente il valore dell'integrale e questa operazione può essere anche molto complessa. Vediamo allora alcuni teoremi e alcune tecniche che ci permettono, se sono rispettate certe condizioni, di ricondurci al caso di integrali più semplici da calcolare.
Algebra degli integrali di Riemann
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Siano
:
cioè l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali. Infatti, siano
e
due scomposizioni di
qualsiasi e
, cioè
è più fine delle altre due scomposizioni. Abbiamo allora:
![{\displaystyle \int _{a}^{\_b}(f(x)+g(x))dx\leq S(f+g,\sigma )\leq S(f,\sigma )+S(g,\sigma )\leq S(f,\sigma ')+s(g,\sigma '')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e592f2cf146f835d3b356bafd3ecea03bebabfb)
Dunque
![{\displaystyle \int _{a}^{\_b}(f(x)+g(x))dx\leq \int _{a}^{\_b}f(x)dx+\int _{a}^{\_b}g(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2230ce0dfe854aff83cff4bc5ebcfde8c6886d)
D'altra parte
![{\displaystyle \int _{\_a}^{b}(f(x)+g(x))dx\geq \int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244fc80ef528c4598034c66d04fe866869039b6a)
In conclusione
![{\displaystyle \int _{a}^{\_b}(f(x)+g(x))dx\leq \int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{\_a}^{b}(f(x)+g(x))dx\leq \int _{a}^{\_b}(f(x)+g(x))dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d8b199b98203cf8fd8a3ece42310eac8c4ec56)
Ma il primo e l'ultimo membro sono uguali! Dunque tutti questi
sono in realtà uguaglianze ed in definitiva
![{\displaystyle \int _{a}^{\_b}(f(x)+g(x))dx=\int _{\_a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfce5fa0da88f455ec22f70d1288a5297029a68)
Moltiplicazione di un integrale per un numero reale
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Infatti, se
(altrimenti l'affermazione è banale), si ha per
:
![{\displaystyle \lambda s(f,\sigma )=s(\lambda f,\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d910cade1877fdd7ea1c6d346e05706a4b58e716)
Se
![{\displaystyle \lambda s(f,\sigma )=S(\lambda f,\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad5a4fc7d66e6c78f2091e0213c526b403d3adb)
Supponiamo
Infatti
e di conseguenza
.
Valore assoluto di un integrale
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Sia
. Allora
Infatti, prendiamo un
e una scomposizione
tale che
. Allora:
![{\displaystyle S(|f|,\sigma )-s(|f|,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}\left(\sup _{I_{i}}|f|-\inf _{I_{i}}|f|\right)(x_{i+1}-x_{i})\leq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f449976d7eb760893e61ca4b0842aa0bc543d94e)
Per il Teorema di Riemann abbiamo provato che
è integrabile secondo Riemann in
. Osserviamo ora che
e per le proprietà viste sopra abbiamo
![{\displaystyle \pm \int _{a}^{b}f(x)dx\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caa173ba98cc4489c18d93acd40a5e1e1552f1a)
Dunque
![{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)dx,-\int _{a}^{b}f(x)dx\right\}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b93c15aae6dfc3463210e8e5b1e16e2d6465412)
Teorema (fondamentale del calcolo integrale)
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- Sia
e prendiamo un numero
tale che
. Abbiamo che
- ove
. Per il Teorema della media integrale abbiamo che
. Dunque
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}(I_{f}(x_{0}+h)-I_{f}(x_{0}))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f96be4ebc90b433b6314076b9908fe96c35da8)
- Quindi
è continua.
- 2. Sia
un punto di continuità di
. Preso dunque un numero positivo
, esiste un altro numero positivo
tale che
abbiamo
![{\displaystyle f(x_{0})-\varepsilon <f(t)<f(x_{0})+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db91b5c93bc640e40328fbbec173f302f469998b)
dunque
Nota:
problema con la dimostrazione. chiedere al prof.
Corollario (integrabilità in ogni punto di un intervallo di funzioni continue)
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Scomponiamo questo integrale come somma di più integrali. Abbiamo:
![{\displaystyle I(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt=\int _{x_{0}}^{a}f(t)dt+\int _{a}^{x}f(t)dt=\int _{a}^{x_{0}}f(t)dt+\int _{a}^{x}f(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a686a09b37a2a6c7526b1522a99ef295edfa9284)
Ora, notiamo che
è una costante reale nella funzione
, dunque poniamo
.
Adesso, abbiamo che
![{\displaystyle \left(c+\int _{a}^{x}f(t)dt\right)'=\left(c+I_{f}(x)\right)'=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b5fce1abcc85ebfceebe244f7598e803651f82)
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Sia
, allora
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95941f2bc2e3f739d8ba970cd75b27f716673d57)
Innanzitutto, essendo
una funzione continua, essa è integrabile secondo Riemann in
. Inoltre
è una primitiva di
, per la definizione di primitiva.
Per il precedente corollario
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)dx=[f(x)]_{a}^{b}=f(b)-f(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7022b65df990ccfa6b58d0b76ce1099040be1e16)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Teorema (integrabilità delle funzioni dotate di primitiva)
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Definiamo il concetto di primitiva di una funzione. Consideriamo una funzione
. Una funzione
derivabile in ogni punto del suo dominio e tale che
si dice primitiva di
.
Per il precedente corollario, sappiamo ora una cosa molto importante: ogni funzione continua ha almeno una primitiva, cioè la sua funzione integrale!
Enunciamo ora il seguente, fondamentale, Teorema:
Per ipotesi
è integrabile, dunque per il Teorema di Riemann
. Ora, osserviamo che possiamo scrivere
in termine di scomposizioni, cioè
![{\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})=\sum _{i=1}^{n}(F(x_{i})-F(x_{i-1}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7dad5c08f9ceaa452ecfe066b93f4aa47d8aac)
Per il Teorema del valor medio, sappiamo che esiste un
cioè
![{\displaystyle f(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645c0d754bc1ef82dc69bf59c248cb4c55f4bf4b)
perché
è una primitiva di
.
Mettendo insieme le due espressioni, otteniamo:
![{\displaystyle =S(f,\sigma )<s(f,\sigma )+\varepsilon \leq \int _{a}^{b}f(x)dx+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f055d2d663f71551fab6891152c305fcf9477248)
![{\displaystyle =s(f,\sigma )>S(f,\sigma )-\varepsilon \geq \int _{a}^{b}f(x)dx-\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035cc79fda32f033061223e4f2cc70cf179d553c)
Dunque,
![{\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9482c71fa44949bb49cc82aca456775c1a29813)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Prima di proseguire, è fondamentale tenere bene a mente che l'esistenza di una primitiva non è condizione necessaria per l'integrabilità e nemmeno sufficiente. Infatti esistono funzioni che non hanno primitiva ma sono integrabili, così come esistono funzioni che hanno primitiva ma non sono integrabili secondo Riemann.
sono funzioni derivabili, dunque
e si ha
![{\displaystyle [F(x)g(x)]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}(F(x)g(x))'dx=\int _{a}^{b}(F'(x)g(x)+F(x)g'(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx+\int _{a}^{b}F(x)g'(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5d143ed35563261f4547d0ad826c39a0b961f3)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Integrazione per sostituzione (o cambio di variabile)
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Consideriamo
primitiva di
e
. Per le proprietà della derivata di funzione composta si ha che
dunque
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt=\int _{\alpha }^{\beta }G'(t)dt=G(\beta )-G(\alpha )=F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\alpha ))=\int _{\varphi (\alpha )}^{\varphi (\beta )}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abf42e7df2ab5103f1b0e4df1115c3cb37692c0)
La funzione è invertibile per ipotesi, dunque, ponendo
e
si ottiene
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{\varphi ^{-1}(a)}^{\varphi ^{-1}(b)}f(\varphi (t))\varphi '(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb5c2adffc18354544bf2c1adda05a39f16cdcb)
che era ciò che si voleva dimostrare.