Integrale di Riemann

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lezione
Integrale di Riemann
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Analisi matematica > Integrale di Riemann


Consideriamo l'intervallo con .

Chiamiamo scomposizione di un sottoinsieme comprendente gli estremi .

È possibile definire su la misura di ogni intervallo (è possibile farlo perché è archimedeo) come . Inoltre

Definiamo il parametro di finezza di :

cioè quanto al massimo può misurare un intervallo della scomposizione . In altri termini, significa che è una scomposizione di in un numero di intervalli maggiore rispetto a dunque .

Indichiamo l'insieme totale di tutte le scomposizioni possibili di l'insieme denotato con .

Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata[modifica]

Sia una funzione limitata. Se , è detta somma superiore di relativa a

Graficamente:

Somme-superiori.png

Analogamente si definiscono le somme inferiori come

e la figura sarà simile a quella sopra, se non per il fatto che i rettangoli non "superano" la funzione ma stanno tutti sotto di essa. In altri termini, le somme superiori approssimano per eccesso l'area sottesa alla funzione nell'intervallo , mentre quelle inferiori la approssimano per difetto. Dunque risulta ovviamente che . Osserviamo inoltre che, per ogni scomposizione , si ha:

Definiamo ora l' integrale inferiore e superiore da a di , denotato con e il numero reale tale che:



In altri termini, l'integrale inferiore è quella somma inferiore che approssima meglio l'area di in tra tutte le scomposizioni possibili. Analogamente l'integrale superiore.

Proposizione[modifica]

Per ogni funzione limitata si ha

Lemma[modifica]

Sia una scomposizione più fine di , cioè . Allora, per qualsiasi si ha che



Inoltre, siano e . Risulta allora che:

cioè, prese due qualsiasi scomposizioni, una qualsiasi somma inferiore è sempre più piccola di una qualsiasi somma superiore.


Dimostrazione del Lemma[modifica]

Sia , cioè è più grande di solo per un punto in più . Abbiamo e in . Notiamo innanziutto che le due somme differiscono soltanto nell'intervallo , ma per il resto sono uguali. Per provare che , facciamo vedere che la differenza tra e è minore di zero e in virtù di quanto abbiamo appena notato, possiamo solo considerare l'intervallo in quanto tutte gli altri intervalli, essendo i medesimi in entrambe le scomposizioni, si annullano. Dunque :

Analogamente per le somme inferiori:

Abbiamo così dimostrato che le somme superiori (inferiori) di una certa scomposizione sono più piccole (più grandi) delle somme di un'altra scomposizione mano a mano che aumenta la finezza della scomposizione.

Inoltre, qualsiasi somma inferiore è minore uguale di qualsiasi altra somma superiore, a prescindere dalle rispettive scomposizioni. Infatti:

Dimostrazione della Proposizione[modifica]

È una diretta conseguenza del Lemma precedente.


Funzioni integrabili[modifica]

Una funzione limitata si dice integrabile secondo Riemann se

ed in tal caso l' integrale di da a si denota con


Vedremo ora alcuni teoremi che ci aiuteranno a stabilire quando una funzione è integrabile (secondo Riemann). Denoteremo con l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann nell'intervallo .

Cominciamo proprio con il teorema omonimo.

Teorema (di Riemann)[modifica]

Sia una funzione limitata. Allora se e solo se

cioè è integrabile nel senso di Riemann se e solo se esiste almeno una scomposizione nell'insieme di tutte le scomposizioni possibili in tale che la differenza tra la somma superiore e quella inferiore relativa alla scomposizione in oggetto sia piccola quanto si voglia.

Diciamo fra noi che è un'affermazione un po' "imparentata" con la definizione di integrale appena data, tuttavia è un teorema che risulta comodo e conveniente conoscere.

Dimostrazione[modifica]

Dimostriamo l'implicazione utilizzando un piccolo "artificio" esclusivamente per semplificare la comprensione della dimostrazione, ma che naturalmente non ne invalida la correttezza. Se è integrabile, esiste una qualche scomposizione per cui , cioè esisterà certamente una qualche scomposizione (che chiamiamo ) tale che la somma superiore relativa a questa scomposizione sia minore della più piccola tra le somme superiori aumentata di un certo valore (che noi chiamiamo ) per quanto esso sia piccolo a piacere. Per ipotesi , dunque . Analogamente esiste una scomposizione tale che e anche qui, per l'ipotesi che sia integrabile, . Ricapitolando, abbiamo dunque:



.

Sia ora e dunque e . Per il lemma 1.2, abbiamo che e essendo una scomposizioni più fine o uguale alle altre due. Dunque:

.

Dimostriamo ora l'implicazione inversa, cioè assumiamo che e traiamone che . Per ipotesi, si ha allora:

e di conseguenza .

Ma la Proposizione 1.1 sostiene che si ha sempre , dunque mettendo insieme le cose traiamo che

e dunque è integrabile secondo Riemann.