Alcuni importanti teoremi sulle successioni

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
Alcuni importanti teoremi sulle successioni
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Corollario[modifica]

Siano due successioni convergenti a e . Allora:


(i) se

(ii) se

Dimostrazione[modifica]

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che e per il Teorema della permanenza del segno anche e dunque .

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se avremmo, per il punto (i), che esiste un tale che ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.


Teorema (dei due carabinieri o del confronto)[modifica]

Siano successioni tali che

.

Supponiamo inoltre che e convergano a . Allora anche

Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" , cioè un qualcosa di tipo

.

Dimostrazione[modifica]

Per ipotesi e convergono a , dunque


Se , si ha che , ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i e vale per tutti gli .
Dunque e posto si ha

e dunque converge.


Teorema del Carabiniere Isolato[modifica]

Siano successioni tali che .

1) Se allora .
2) Se allora .

Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da , oltre il quale non si può andare.

Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che se abbiamo nulla si può dire del limite di e viceversa se , nulla si può dire del limite di .


Teorema (del confronto per successioni divergenti)[modifica]

Siano due successioni e .
Se si ha che anche cioè , che va all'infinito ed è minore di , "spinge" anche all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se e diverge negativamente, spinge a .

Dimostrazione[modifica]

.
Se per tutti gli e sempre per tutti gli , certamente anche ogni è maggiore di e dunque anch'essa tende a .

In modo identico si prova la seconda affermazione.


Successioni limitate[modifica]

Sia una successione reale. Diciamo che è

  • superiormente limitata se
  • inferiormente limitata se

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che è limitata se e solo se , cioè se e solo se .

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)[modifica]

Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione[modifica]

Prendiamo in esame una generica successione e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che quando , o scritto in modo più formale:

, tale che si ha

.

Detto questo:

(disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare tale che pertanto:

possiamo concludere che

dove



Chiamiamo infinitesima una successione convergente a , cioè se .

Proposizione[modifica]

Se è infinitesima e è limitata, infinitesima.

In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

Dimostrazione[modifica]

Siccome è limitata per ipotesi, esiste un . Dunque . Ma tende a e dunque anche tende a .

La successione è intrappolata tra due successioni che tendono a dunque, per il Teorema dei carabinieri, e quindi è infinitesima.


Successioni di Cauchy[modifica]

Sia una successione reale. si dice che è una successione di Cauchy se

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione[modifica]

Ogni successione convergente successione è una successione di Cauchy.

Dimostrazione[modifica]

Sia convergente a . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:

(*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di prendo , tanto è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

(**)

Dunque

ed infine

e questo prova la proposizione.


Teorema (completezza sequenziale di )[modifica]

Se è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione[modifica]

Dobbiamo provare che esiste . Consideriamo una successione di Cauchy . Abbiamo che .

Fissiamo ora un numero e otteniamo . Allora

e dunque, per ogni si ha che

dunque è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di convergente a . Dunque . Poniamo poi e se (e dunque perché ) abbiamo

Dunque converge a .