Alcuni importanti teoremi sulle successioni

lezione Alcuni importanti teoremi sulle successioni
	Tipo: lezione
	Materie: Algebra lineare Analisi matematica
	Avanzamento: lezione completa al 100%

Corollario

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ due successioni convergenti a $λ$ e $μ$ . Allora:

(i) se $λ < μ \Rightarrow \exists m \in ℕ : a_{n} < b_{n}, \forall n > m$

(ii) se $a_{n} < b_{n}, \forall n \in ℕ \Rightarrow λ \leq μ$

Dimostrazione

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che $b_{n} - a_{n} \to μ - λ > 0$ e per il Teorema della permanenza del segno anche $b_{n} - a_{n} > 0, \forall n > m$ e dunque $a_{n} < b_{n}$ .

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se $λ > μ$ avremmo, per il punto (i), che esiste un $m \in ℕ$ tale che $a_{n} > b_{n}, \forall n \in ℕ, n > m$ ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.

◻

Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

Siano $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})$ successioni tali che

a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ

.

Supponiamo inoltre che $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergano a $λ \in ℝ$ . Allora anche

lim_{n \to \infty} c_{n} = λ

Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di $c_{n}$ rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" $λ$ , cioè un qualcosa di tipo

\begin{matrix} a_{n} & c_{n} & b_{n} \\ ↓ & ↓ \\ λ & \Rightarrow & ↓ & \Leftarrow & λ \\ λ \end{matrix}

.

Dimostrazione

Per ipotesi $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergono a $λ$ , dunque

\forall ε > 0 \exists m^{'} \in ℕ : λ - ε < a_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m^{'}

\forall ε > 0 \exists m^{″} \in ℕ : λ - ε < b_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m^{″}

Se $n > max {m^{'}, m^{″}}$ , si ha che $λ - ε < a_{n} \leq b_{n} < λ + ε$ , ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i $c_{n}$ e vale per tutti gli $n \in ℕ$ .
Dunque $λ - ε < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < λ + ε$ e posto $m = max {m^{'}, m^{″}}$ si ha

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : λ - ε < c_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m

e dunque converge.

◻

Teorema del Carabiniere Isolato

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ successioni tali che $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ .

1) Se

lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty

allora

\exists lim_{n \to \infty} b_{n} = + \infty

.

2) Se

lim_{n \to \infty} b_{n} = - \infty

allora

\exists lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty

.

Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da $\pm \infty$ , oltre il quale non si può andare.

Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ se abbiamo $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ nulla si può dire del limite di $(b_{n})$ e viceversa se $lim_{n \to \infty} b_{n} = + \infty$ , nulla si può dire del limite di $(a_{n})$ .

◻

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ due successioni e $(a_{n}) \to + \infty, \forall n \in ℕ$ .
Se $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ si ha che anche $(b_{n}) \to + \infty$ cioè $(a_{n})$ , che va all'infinito ed è minore di $(b_{n})$ , "spinge" anche $(b_{n})$ all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ e $(b_{n})$ diverge negativamente, spinge $(a_{n})$ a $- \infty$ .

Dimostrazione

$lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$ .
Se $b_{n} \geq a_{n}$ per tutti gli $n \in ℕ$ e $a_{n} > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

◻

Successioni limitate

Sia $(a_{n})$ una successione reale. Diciamo che $(a_{n})$ è

superiormente limitata se $\exists m \in ℝ : a_{n} \leq m, \forall n \in ℕ$
inferiormente limitata se $\exists m \in ℝ : m \leq a_{n}, \forall n \in ℕ$

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che $(a_{n})$ è limitata se e solo se $| a_{n} | \leq m, \forall n \in ℕ$ , cioè se e solo se $- m \leq a_{n} \leq m \forall n \in ℕ$ .

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Ogni successione convergente è limitata.

Dimostrazione

Prendiamo in esame una generica successione ${a_{n}}_{n \in ℕ}$ e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che $a_{n} \to A \in ℝ$ quando $n \to + \infty$ , o scritto in modo più formale:

\forall ε > 0

,

\exists N (ε) \in ℕ

tale che

\forall n > N

si ha

| a_{n} - A | < ε

.

Detto questo:

| a_{n} | = | a_{n} - A + A | \leq | a_{n} - A | + | A |

(disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare $N \in ℕ$ tale che $| a_{n} - A | < ε, \forall n > N$ pertanto:

| a_{n} | < ε + | A |, \forall n > N

possiamo concludere che

| a_{n} | \leq M

dove

M := max {| a_{1} |, | a_{2} |, ..., | a_{N} |, ε + | A |}

◻

Chiamiamo infinitesima una successione $(a_{n})$ convergente a $0$ , cioè se $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = 0$ .

Proposizione

Se $(a_{n})$ è infinitesima e $(b_{n})$ è limitata, $(a_{n} b_{n})$ infinitesima.

In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

Dimostrazione

Siccome $(b_{n})$ è limitata per ipotesi, esiste un $m : | b_{n} | \leq m, \forall n \in ℕ$ . Dunque $0 \leq | a_{n} b_{n} | \leq m | a_{n} |, \forall n \in ℕ$ . Ma $(a_{n})$ tende a $0$ e dunque anche $m | a_{n} |$ tende a $0$ .

La successione $| a_{n} b_{n} |$ è intrappolata tra due successioni che tendono a $0$ dunque, per il Teorema dei carabinieri, $| a_{n} b_{n} | \to 0$ e quindi è infinitesima.

◻

Successioni di Cauchy

Sia $(a_{n})$ una successione reale. $(a_{n})$ si dice che è una successione di Cauchy se

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - a_{m} | < ε, \forall n, m \in ℕ, n, m > p

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

Ogni successione convergente successione è una successione di Cauchy.

Dimostrazione

Sia $(a_{n})$ convergente a $λ$ . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - λ | < ε, \forall n \in ℕ, n > p

(*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $ε$ prendo $\frac{ε}{2}$ , tanto $ε$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - λ | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p

(**)

Dunque

| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - λ | + | λ - a_{m} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

ed infine

| a_{n} - a_{m} | < ε

e questo prova la proposizione.

◻

Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$ )

Se $(a_{n})$ è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $lim_{n \to \infty} a_{n} = λ \in ℝ$ . Consideriamo una successione di Cauchy $(a_{n})$ . Abbiamo che $\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - a_{m} | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p$ .

Fissiamo ora un numero $k \in ℝ$ e otteniamo $| a_{n} - a_{m} | < k, \forall n, m \in ℕ, n, m > p$ . Allora

| a_{n} | \leq | a_{n} - a_{p + 1} | + | a_{p + 1} | < k + | a_{p + 1} |

e dunque, per ogni $n$ si ha che

| a_{n} | \leq max {| a_{1} |, \dots, | a_{p} |, k + | a_{p + 1} |}

dunque $(a_{n})$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_{n})$ $(a_{k_{n}})$ convergente a $λ \in ℝ$ . Dunque $\forall ε > 0 \exists p_{1} : | a_{k_{n}} - λ | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p_{1}$ . Poniamo poi $P = max {p, p_{1}}$ e se $n > P$ (e dunque $k_{n} > P$ perché $k_{n} \geq P$ ) abbiamo

| a_{n} - λ | \leq | a_{n} - a_{k_{n}} | + | a_{k_{n}} - λ | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Dunque $(a_{n})$ converge a $λ$ .

◻

Corollario

Dimostrazione

Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

Dimostrazione

Teorema del Carabiniere Isolato

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Dimostrazione

Successioni limitate

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Dimostrazione

Proposizione

Dimostrazione

Successioni di Cauchy

Proposizione

Dimostrazione

Teorema (completezza sequenziale di ℝ)

Dimostrazione

Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$ )