Strumenti minimi di teoria degli insiemi

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lezione
Strumenti minimi di teoria degli insiemi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica


Vengono presentati in questa pagina gli strumenti minimi di teoria degli insiemi, ovvero i concetti che stanno alla base dell'insiemistica e delle relazioni tra insiemi.

Inclusione[modifica]

Dati due insiemi A, B, può accadere che tutti gli elementi del primo insieme siano anche elementi del secondo insieme. Tale situazione, espressa in linguaggio matematico è la formula:

Questa proprietà si riassume con un simbolo detto di "inclusione": .

Insieme vuoto[modifica]

Un insieme vuoto, indicato con il simbolo , oppure , è un insieme a cui non appartiene alcun elemento. Qualunque insieme contiene un insieme vuoto.

Uguaglianza[modifica]

Dati due insiemi A e B, può accadere che essi siano uguali. In insiemistica "uguali" significa che tutti gli elementi del primo sono anche elementi del secondo insieme, e viceversa. Questa è una definizione di uguaglianza che si dice estensiva, ovvero legata esclusivamente a quali elementi appartengono agli insiemi. Ovviamente questa proprietà si indica con il simbolo =, ed è formalmente equivalente ad una doppia inclusione, ovvero:

Infatti, nella maggior parte delle dimostrazioni, per dimostrare un'uguaglianza tra due insiemi si procede separatamente a dimostrare le due inclusioni.

Unione[modifica]

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia tutti gli elementi del primo e tutti gli elementi del secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama unione di A e B e si indica con il simbolo , e una definizione formale è la seguente:

Proprietà[modifica]

  • commutatività
  • associatività
  • riflessività

Intersezione[modifica]

Dati due insiemi A e B, si può ottenere un terzo insieme che abbia solo gli elementi che sono sia nel primo che nel secondo insieme. Tale nuovo insieme si chiama intersezione di A e B e si indica con il simbolo , definito con:

Proprietà[modifica]

  • commutatività
  • associatività
  • riflessività

Differenza[modifica]

Dati due insiemi A e B, si definisce differenza l'insieme degli elementi che appartengono al primo insieme (A) ma non al secondo (B).

Insieme complementare[modifica]

Nel caso in cui sia , si definisce insieme complementare il risultato della differenza . Spesso si sottointende X, ovvero l'insieme in cui A è contenuto, e si indica l'insieme complementare di A soltanto con il simbolo

Coppia ordinata[modifica]

Nulla negli insiemi può distinguere un ordine degli elementi. Si utilizza una definizione apposita per creare un insieme nel quale, a tutti gli effetti, c'è un primo elemento ed un secondo elemento. Questo tipo di insieme si chiama coppia ordinata: dati due elementi x e y, l'insieme

A dimostrare che effettivamente x è il primo elemento e y è il secondo, c'è un teorema che stabilisce che: due coppie ordinate (a, b) e (c, d) sono uguali se e solo se a = c e b = d.

Prodotto cartesiano[modifica]

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Funzione[modifica]

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Biiezione[modifica]

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