Analisi matematica > Successioni reali
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In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.
Una funzione
, dove
è un insieme non banale, si dice successione in
e si usa denotarla con

o equivalentemente
.
Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente
, è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.
Una successione reale
- si dice positiva se
si ha che 
- si dice non negativa se
si ha che 
- si dice negativa se
si ha che
.
- si dice non positiva se
si ha che 
E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:
- Una successione
si dice a segni alterni se
si ha che
.
è una successione ed è del tipo
. La successione è positiva
è una successione ed è del tipo
. Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.
è una successione ed è del tipo
. Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.
è una successione ed è del tipo
. Questa successione è a segno variabile.
Una successione reale
si dice
- monotona crescente se

- monotona descrescente se

- monotona strettamente crescente se

- monotona strettamente descrescente se

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.
è una successione strettamente crescente, infatti, da
segue immediatamente che
cioè
per ogni
naturale.
è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali
viene verificata la disuguaglianza
.
ma questa è sempre verificata in
.
- Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:
- Il termine n-esimo della successione
può essere riscritto come
. Osserviamo ora che 
- cioè
per ogni
naturale
è una successione strettamente decrescente, infatti, da
segue immediatamente che
pertanto
per ogni
naturale pertanto
.
Una successione reale
è
- limitata superiormente se
tale che
si ha che 
- limitata inferiormente se
tale che
si ha che 
- limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:
- 1) se
tali che
si ha 
- o equivalentemente
- 2) se
con
tale che
si ha che
.
Mostriamo la completa equivalenza della definizioni 1) e 2).
1)
2)
- Se per ogni
naturale si ha che
, con
, ponendo
si ha che per ogni
naturale
che è la definizione 2).
2)
1)
- Se per ogni
naturale
con
allora
. Se si pone
e
allora per ogni
si ha che
che è la definizione 1).
Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:
1. La successione
è limitata infatti
, le costanti in questo caso sono
2. La successione
è limitata inferiormente ma non superiormente infatti
, la costante che limita inferiormente la successione è
.
3. La successione
è limitata superiormente ma non inferiormente infatti
, la costante che limita superiormente la successione è
.
Una successione reale
si dice
- illimitata superiormente se per ogni numero reale
esiste
, dipendente da
tale che
per ogni 
- illimitata inferiormente se per ogni numero reale
esiste
, dipendente da
tale che
per ogni
.
- illimitata se per ogni numero reale
esiste
, dipendente da
tale che
per ogni
.
1. La successione
è illimitata superiormente infatti fissato
esiste un naturale
tale che
. Basta prendere
, dove
indica la funzione parte intera.
Sia
una successione reale, sia inoltre
una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè
per ogni
, diremo che
è una sottosuccessione della successione
. In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.
1. La successione
è una sottosuccessione di
, in questo caso infatti la successione di indici
2. La successione costante
è una sottosuccessione di
, la successione di indici è
3. La successione costante
è un'altra sottosuccessione di
, la successione di indici è
Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.
Test della lezione
Nota Se il punteggio ottenuto è
- tra 0-2: insufficiente, consiglio vivamente di rileggere la lezione :)
- tra 3-5: non male, ma si può fare di più. Un lettura veloce, poi corri alla seconda lezione ;)
- 6: ottimo, hai colto le informazioni necessarie al proseguimento della lezione, continua così :D