Una successione
tende a
per
che tende a infinito se
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdeaf93e649fe9e32a9fceefc473d232439ac4a)
oppure equivalentemente
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d23676642645a6e46e10a4f548f22c25c8dbc3)
Cioè mano a mano che cresce il contatore
della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale
. Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale
, per un
sufficientemente grande (più grande di un altro valore
) la differenza tra la successione ed il limite della successione
è proprio
, cioè un valore anche infinitamente piccolo.
Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a
e
è il suo limite (sempre per
che tende all'infinito).
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.
- 1. Proviamo che
, cioè proviamo la veridicità della definizione:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \left|{\frac {1}{n}}\right|<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd81ad16ae58cd8cd3f4b8143e9c6923d57e699)
- Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo
, deve esistere un
tale che
.
Ci basta prendere come
un numero più grande di
e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque
abbiamo che
e abbiamo finito.
La successione reale
si dice divergente se
.
In particolare si hanno le seguenti definizioni:
se e solo se ![{\displaystyle \forall k>0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870e7322e3dabe2e85986e89109b49327ff25c53)
se e solo se ![{\displaystyle \forall k<0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}<k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee97732f4205e93afaee0ada1263d1c0527ead3)
Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è
, andremo a dimostrare che
- Fissiamo
, il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale
tale che per ogni
si ha che
. Banalmente è sufficiente prendere
, di conseguenza per
si ha anche
(si tenga conto della catena di disuguaglianze
)
2. Mostreremo ora che
- Fissiamo
, come nel caso precedente determineremo un numero naturale
tale che per ogni
si ha che
. Da
segue che
, in questo caso, quindi, il candidato
è il più piccolo numero naturale più grande di
. Se
, si ha che per ogni
(si tenga conto della catena di disuguaglianze
). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale
abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.
Successioni regolari e irregolari
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L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.
Definizione
- Una successione reale
![{\displaystyle \displaystyle (a_{n})_{n}\ \ {\grave {e}}{\mbox{ }}{\begin{cases}{\mbox{ regolare se }}\displaystyle \exists \lim _{n\to +\infty }a_{n}={\begin{cases}\ell \in \mathbb {R} \\+\infty \\-\infty \end{cases}}\\{\mbox{ irregolare se }}\displaystyle \nexists \lim _{n\to +\infty }a_{n}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e09898d2d1f80e6c550016d26da52b473736c5)
In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.
Data una successione
tale che esiste il
allora il limite è unico.
Dimostrazione
- Il nostro scopo è quello di far vedere che se
e
allora ![{\displaystyle A_{1}=A_{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ed90878efe16fbdd60942d6d22172f4cfa1acb)
- Per ipotesi abbiamo che dato
riusciamo a determinare:
- un
tale che
abbiamo che ![{\displaystyle |a_{n}-A_{1}|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1215b04882b19df4f3673dabfee4ecb31b0add)
- un
tale che
abbiamo che
.
- Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando
![{\displaystyle N=\max \left(N_{1},N_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d9a24c853393af102221e62b86ad5d51dbb139)
.
- Abbiamo fatto vedere che
è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
, i limiti devono necessariamente coincidere.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Criteri di convergenza per una successione
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Sottosuccessione
|
Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione .
|
Teorema (convergenza di una sottosuccessione)
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Sia
una successione convergente a
. Allora ogni sottosuccessione
è convergente a
.
- Se
converge a
, per definizione di limite, si ha che:
- Fissato
esiste ![{\displaystyle m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b595fbb2e6c2ecfb8fd967d8f1174079817085e5)
- Osserviamo ora che
valgono le due condizioni
![{\displaystyle i_{n}\geq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcae505fe2ae13c2935a171642f5d0ee8dbafd68)
![{\displaystyle \displaystyle i_{n}<i_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef5d5a3e54cca8050dd22f2ea2cbe5e3dfaf70b)
- Se così non fosse allora
non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se
allora :
. Pertanto per lo stesso
.
- Il candidato m che realizza la disuguaglianza
è lo stesso che realizza la disuguaglianza
.
- Dall'arbitrarietà di
abbiamo la tesi.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
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Se
è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione
è anch'essa divergente positivamente (negativamente).
- La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
- Per fissare le idee, prendiamo il caso di
. Allora, per definizione di successione divergente:
![{\displaystyle \forall k>0\ \ \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073902cfce2c8b3d7a75889d43d8ed7e3bbb06c3)
- Anche qui
, pertanto
di conseguenza
.
- Dunque, se
diverge positivamente per ogni
, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.
Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:
- Se una successione reale
è regolare allora ogni sua sottosuccessione
è regolare e i loro limiti coincidono.
Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.
Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni
- Sia
una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni
tali che
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=\ell _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee30ea8ff4b9a1b1b137fa26f30bfdcfc58e1364)
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=\ell _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f5666bc2f7313bed56b26fc8f976e06259e4b0)
- con
allora la successione
non ammette limite.
Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale
e osserviamo che essa assume i valori -1, se
è dispari, 1 se
è pari.
![{\displaystyle \displaystyle a_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ pari}}\\-1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ dispari}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a033a636ecffc3fc8a39355ed0767c9d544e97d0)
- Se prendiamo
e
abbiamo che:
![{\displaystyle (a_{i_{n}})_{n}=\left((-1)^{2n}\right)_{n}=(1)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899ea3fc04416c9c0b44389e0e0000b303c65269)
.
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9d53556b5c7db5a7541f5bc4d08efb1beb7ba1)
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211d20686ca800e851007aa8411567a565820a83)
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione
non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale
. Per c
- Se prendiamo
e
abbiamo che:
![{\displaystyle (a_{i_{n}})_{n}=\left(\sin \left(2n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}=\left(\sin \left(n\pi \right)\right)_{n}=(0)_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874eed859b0180cf86b70ffcb17b071348f12104)
.
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5672777a8f948cc4c892dd705385a7611fbb53c7)
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd5e672d904386f90e253a533867299e6e16864)
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione
non ammette limite.