Limiti di successioni reali

Successione convergente

Una successione $(a_{n})_{n}$ tende a $\lambda \in \mathbb {R}$ per $n$ che tende a infinito se

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

oppure equivalentemente

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Cioè mano a mano che cresce il contatore $n$ della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale $\lambda$. Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale $\varepsilon$, per un $n$ sufficientemente grande (più grande di un altro valore $m$) la differenza tra la successione ed il limite della successione $\lambda$ è proprio $\varepsilon$, cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a $\lambda$ e $\lambda$ è il suo limite (sempre per $n$ che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

Esempi

1. Proviamo che $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$, cioè proviamo la veridicità della definizione:

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \left|{\frac {1}{n}}\right|<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo $\varepsilon$, deve esistere un $m\in \mathbb {N}$ tale che

${\frac {1}{n}}<\varepsilon \Leftrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }},\ \forall n>m$.

Ci basta prendere come $m$ un numero più grande di ${\frac {1}{\varepsilon }}$ e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque $m={\frac {1}{\varepsilon }}+\delta$ abbiamo che $n>{\frac {1}{\varepsilon }}+\delta >{\frac {1}{\varepsilon }}\Longleftrightarrow {\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon$ e abbiamo finito.

Successioni divergenti

La successione reale $(a_{n})$ si dice divergente se

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\pm \infty$.

In particolare si hanno le seguenti definizioni:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$ se e solo se $\forall k>0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ se e solo se $\forall k<0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}<k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

Esempio

1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è $(a_{n})_{n}=(n)_{n}$, andremo a dimostrare che $\lim _{n\to +\infty }n=+\infty$

Fissiamo $k>0$, il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $n>k$. Banalmente è sufficiente prendere $m>k$, di conseguenza per $n>m$ si ha anche $n>k$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>k$)

2. Mostreremo ora che $\lim _{n\to +\infty }n^{2}=+\infty$

Fissiamo $k>0$, come nel caso precedente determineremo un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $a_{n}>k$. Da $n^{2}>k$ segue che $n>{\sqrt {k}}$, in questo caso, quindi, il candidato $m$ è il più piccolo numero naturale più grande di ${\sqrt {k}}$. Se $m>{\sqrt {k}}$, si ha che per ogni $n>m$ $n>{\sqrt {k}}$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>{\sqrt {k}}$). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.

Successioni regolari e irregolari

L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.

Definizione

Una successione reale

$\displaystyle (a_{n})_{n}\ \ {\grave {e}}{\mbox{ }}{\begin{cases}{\mbox{ regolare se }}\displaystyle \exists \lim _{n\to +\infty }a_{n}={\begin{cases}\ell \in \mathbb {R} \\+\infty \\-\infty \end{cases}}\\{\mbox{ irregolare se }}\displaystyle \nexists \lim _{n\to +\infty }a_{n}\end{cases}}$

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.

Teorema di unicità del limite

Data una successione $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tale che esiste il $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{1}$ e $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{2}$ allora $A_{1}=A_{2}\,\!$

Per ipotesi abbiamo che dato $\varepsilon >0$ riusciamo a determinare:

• un $N_{1}\in \mathbb {N}$ tale che $\forall n>N_{1}$ abbiamo che $|a_{n}-A_{1}|<\varepsilon$
• un $N_{2}\in \mathbb {N}$ tale che $\forall n>N_{2}$ abbiamo che $|a_{n}-A_{2}|<\varepsilon$.

Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando $N=\max \left(N_{1},N_{2}\right)$

${\begin{aligned}|A_{1}-A_{2}|&=|A_{1}-a_{n}+a_{n}-A_{2}|\leq \\&\leq |a_{n}-A_{1}|+|a_{n}-A_{2}|<2\varepsilon \ \ \forall n>N\end{aligned}}$.

Abbiamo fatto vedere che$|A_{1}-A_{2}|$ è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che

$|A_{1}-A_{2}|=0\iff A_{1}=A_{2}$, i limiti devono necessariamente coincidere.

$\Box$

Criteri di convergenza per una successione

Sottosuccessione

Sia $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ una successione reale, sia inoltre $\left(i_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè $i_{n}<i_{n+1}$ per ogni $n\in \mathbb {N}$, diremo che $\left(a_{i_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ è una sottosuccessione della successione $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$.

Teorema (convergenza di una sottosuccessione)

Sia $(a_{n})$ una successione convergente a $\lambda \in \mathbb {R}$. Allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})$ è convergente a $\lambda$.

Dimostrazione

Se $(a_{n})_{n}$ converge a $\lambda$, per definizione di limite, si ha che:

Fissato $\varepsilon >0$ esiste $m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N}$

Osserviamo ora che $\forall n\in \mathbb {N}$ valgono le due condizioni

$i_{n}\geq n$

$\displaystyle i_{n}<i_{n+1}$

Se così non fosse allora $(a_{i_{n}})_{n}$ non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se $m<n$ allora :$m<i_{n}$. Pertanto per lo stesso $\varepsilon$

$\exists m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{i_{n}}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N}$.

Il candidato m che realizza la disuguaglianza $\ |a_{i_{n}}-\lambda |<\varepsilon \ \ \forall n>m$ è lo stesso che realizza la disuguaglianza $\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon \ \ \forall n>m$.

Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ abbiamo la tesi.

$\Box$

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a_{n})_{n}$ è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})_{n}$ è anch'essa divergente positivamente (negativamente).

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$. Allora, per definzione di successione divergente:

$\forall k>0\ \ \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n>m$

Anche qui $i_{n}\geq n,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, pertanto $i_{n}>m$ di conseguenza $a_{i_{n}}>k\ \ \forall n>m$.

Dunque, se $(a_{n})_{n}$ diverge positivamente per ogni $n>m$, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.

$\Box$

Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.

Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:

Se una successione reale $(a_{n})_{n}$ è regolare allora ogni sua sottosuccessione $(a_{i_{n}})_{n}$ è regolare e i loro limiti coincidono.

Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.

Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni

Sia $(a_{n})$ una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni $(a_{i_{n}})_{n},\ \ (a_{j_{n}})_{n}$ tali che

• $\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=\ell _{1}$
• $\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=\ell _{2}$

con $\ell _{1}\neq \ell _{2}$ allora la successione $(a_{n})_{n}$ non ammette limite.

Esempi

Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.

Esempio 1

Consideriamo la successione reale $\displaystyle (a_{n})_{n}=\left((-1)^{n}\right)_{n}$ e osserviamo che essa assume i valori -1, se $n$ è dispari, 1 se $n$ è pari.

$\displaystyle a_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ pari}}\\-1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ dispari}}\end{cases}}$

Se prendiamo $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$ e $(j_{n})=(2n+1)_{n}$ abbiamo che:

• $(a_{i_{n}})_{n}=\left((-1)^{2n}\right)_{n}=(1)_{n}$
• $(a_{j_{n}})_{n}=\left((-1)^{2n+1}\right)_{n}=(-1)_{n}$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=1$

$\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=-1$

I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione $\left((-1)^{n}\right)_{n}$ non ammette limite.

Esempio 2

Consideriamo la successione reale $\displaystyle (a_{n})_{n}=\left(\sin \left(n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}$. Per c

Se prendiamo $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$ e $(j_{n})=(4n+1)_{n}$ abbiamo che:

• $(a_{i_{n}})_{n}=\left(\sin \left(2n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}=\left(\sin \left(n\pi \right)\right)_{n}=(0)_{n}$
• $(a_{j_{n}})_{n}=\left(\sin \left((4n+1)\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}=(1)_{n}$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=0$

$\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=1$

I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione $\left(\sin \left(n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}$ non ammette limite.

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