Una successione tende a per che tende a infinito se
oppure equivalentemente
Cioè mano a mano che cresce il contatore della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale . Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale , per un sufficientemente grande (più grande di un altro valore ) la differenza tra la successione ed il limite della successione è proprio , cioè un valore anche infinitamente piccolo.
Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a e è il suo limite (sempre per che tende all'infinito).
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.
- 1. Proviamo che , cioè proviamo la veridicità della definizione:
- Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo , deve esistere un tale che
- .
Ci basta prendere come un numero più grande di e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque abbiamo che e abbiamo finito.
La successione reale si dice divergente se
- .
In particolare si hanno le seguenti definizioni:
- se e solo se
- se e solo se
Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è , andremo a dimostrare che
- Fissiamo , il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale tale che per ogni si ha che . Banalmente è sufficiente prendere , di conseguenza per si ha anche (si tenga conto della catena di disuguaglianze )
2. Mostreremo ora che
- Fissiamo , come nel caso precedente determineremo un numero naturale tale che per ogni si ha che . Da segue che , in questo caso, quindi, il candidato è il più piccolo numero naturale più grande di . Se , si ha che per ogni (si tenga conto della catena di disuguaglianze ). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.
Successioni regolari e irregolari
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L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.
Definizione
- Una successione reale
In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.
Data una successione tale che esiste il allora il limite è unico.
Dimostrazione
- Il nostro scopo è quello di far vedere che se e allora
- Per ipotesi abbiamo che dato riusciamo a determinare:
- un tale che abbiamo che
- un tale che abbiamo che .
- Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando
- .
- Abbiamo fatto vedere che è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
- , i limiti devono necessariamente coincidere.
Criteri di convergenza per una successione
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Sottosuccessione
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Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione .
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Teorema (convergenza di una sottosuccessione)
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Sia una successione convergente a . Allora ogni sottosuccessione è convergente a .
- Se converge a , per definizione di limite, si ha che:
- Fissato esiste
- Osserviamo ora che valgono le due condizioni
- Se così non fosse allora non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se allora :. Pertanto per lo stesso
- .
- Il candidato m che realizza la disuguaglianza è lo stesso che realizza la disuguaglianza .
- Dall'arbitrarietà di abbiamo la tesi.
Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
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Se è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione è anch'essa divergente positivamente (negativamente).
- La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
- Per fissare le idee, prendiamo il caso di . Allora, per definizione di successione divergente:
- Anche qui , pertanto di conseguenza .
- Dunque, se diverge positivamente per ogni , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.
Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.
Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:
- Se una successione reale è regolare allora ogni sua sottosuccessione è regolare e i loro limiti coincidono.
Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.
Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni
- Sia una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni tali che
- con allora la successione non ammette limite.
Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale e osserviamo che essa assume i valori -1, se è dispari, 1 se è pari.
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale . Per c
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.