Limiti di successioni reali

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lezione
Limiti di successioni reali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica


Successione convergente[modifica]

Una successione tende a per che tende a infinito se

oppure equivalentemente

Cioè mano a mano che cresce il contatore della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale . Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale , per un sufficientemente grande (più grande di un altro valore ) la differenza tra la successione ed il limite della successione è proprio , cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a e è il suo limite (sempre per che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

Esempi[modifica]

1. Proviamo che , cioè proviamo la veridicità della definizione:
Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo , deve esistere un tale che
.

Ci basta prendere come un numero più grande di e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque abbiamo che e abbiamo finito.

Successioni divergenti[modifica]

La successione reale si dice divergente se

.

In particolare si hanno le seguenti definizioni:

  • se e solo se
  • se e solo se

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

Esempio[modifica]

1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è , andremo a dimostrare che

Fissiamo , il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale tale che per ogni si ha che . Banalmente è sufficiente prendere , di conseguenza per si ha anche (si tenga conto della catena di disuguaglianze )

2. Mostreremo ora che

Fissiamo , come nel caso precedente determineremo un numero naturale tale che per ogni si ha che . Da segue che , in questo caso, quindi, il candidato è il più piccolo numero naturale più grande di . Se , si ha che per ogni (si tenga conto della catena di disuguaglianze ). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.

Successioni regolari e irregolari[modifica]

L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.

Definizione

Una successione reale

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.

Teorema di unicità del limite[modifica]

Data una successione tale che esiste il allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se e allora
Per ipotesi abbiamo che dato riusciamo a determinare:
  • un tale che abbiamo che
  • un tale che abbiamo che .
Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando
.
Abbiamo fatto vedere che è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
, i limiti devono necessariamente coincidere.


Criteri di convergenza per una successione[modifica]

Sottosuccessione
Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione .

Teorema (convergenza di una sottosuccessione)[modifica]

Sia una successione convergente a . Allora ogni sottosuccessione è convergente a .

Dimostrazione[modifica]
Se converge a , per definizione di limite, si ha che:
Fissato esiste
Osserviamo ora che valgono le due condizioni
Se così non fosse allora non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se allora :. Pertanto per lo stesso
.
Il candidato m che realizza la disuguaglianza è lo stesso che realizza la disuguaglianza .
Dall'arbitrarietà di abbiamo la tesi.


Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)[modifica]

Se è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione è anch'essa divergente positivamente (negativamente).

Dimostrazione[modifica]
La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
Per fissare le idee, prendiamo il caso di . Allora, per definzione di successione divergente:
Anche qui , pertanto di conseguenza .
Dunque, se diverge positivamente per ogni , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.


Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.

Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:

Se una successione reale è regolare allora ogni sua sottosuccessione è regolare e i loro limiti coincidono.

Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.


Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni

Sia una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni tali che
con allora la successione non ammette limite.

Esempi[modifica]

Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.

Esempio 1[modifica]

Consideriamo la successione reale e osserviamo che essa assume i valori -1, se è dispari, 1 se è pari.
Se prendiamo e abbiamo che:
  • .
Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.

Esempio 2[modifica]

Consideriamo la successione reale . Per c
Se prendiamo e abbiamo che:
  • .
Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.