Una successione
tende a
per
che tende a infinito se

oppure equivalentemente

Cioè mano a mano che cresce il contatore
della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale
. Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale
, per un
sufficientemente grande (più grande di un altro valore
) la differenza tra la successione ed il limite della successione
è proprio
, cioè un valore anche infinitamente piccolo.
Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a
e
è il suo limite (sempre per
che tende all'infinito).
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.
- 1. Proviamo che
, cioè proviamo la veridicità della definizione:

- Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo
, deve esistere un
tale che
.
Ci basta prendere come
un numero più grande di
e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque
abbiamo che
e abbiamo finito.
La successione reale
si dice divergente se
.
In particolare si hanno le seguenti definizioni:
se e solo se 
se e solo se 
Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è
, andremo a dimostrare che
- Fissiamo
, il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale
tale che per ogni
si ha che
. Banalmente è sufficiente prendere
, di conseguenza per
si ha anche
(si tenga conto della catena di disuguaglianze
)
2. Mostreremo ora che
- Fissiamo
, come nel caso precedente determineremo un numero naturale
tale che per ogni
si ha che
. Da
segue che
, in questo caso, quindi, il candidato
è il più piccolo numero naturale più grande di
. Se
, si ha che per ogni
(si tenga conto della catena di disuguaglianze
). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale
abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.
Successioni regolari e irregolari
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L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successioni che hanno limite e quelli che non lo hanno.
Definizione
- Una successione reale

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.
Data una successione
tale che esiste il
allora il limite è unico.
Dimostrazione
- Il nostro scopo è quello di far vedere che se
e
allora 
- Per ipotesi abbiamo che dato
riusciamo a determinare:
- un
tale che
abbiamo che 
- un
tale che
abbiamo che
.
- Consideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando

.
- Abbiamo fatto vedere che
è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
, i limiti devono necessariamente coincidere.

Criteri di convergenza per una successione
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Sottosuccessione
|
Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione .
|
Teorema (convergenza di una sottosuccessione)
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Sia
una successione convergente a
. Allora ogni sottosuccessione
è convergente a
.
- Se
converge a
, per definizione di limite, si ha che:
- Fissato
esiste 
- Osserviamo ora che
valgono le due condizioni


- Se così non fosse allora
non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se
allora :
. Pertanto per lo stesso
.
- Il candidato m che realizza la disuguaglianza
è lo stesso che realizza la disuguaglianza
.
- Dall'arbitrarietà di
abbiamo la tesi.

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
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Se
è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione
è anch'essa divergente positivamente (negativamente).
- La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
- Per fissare le idee, prendiamo il caso di
. Allora, per definizione di successione divergente:

- Anche qui
, pertanto
di conseguenza
.
- Dunque, se
diverge positivamente per ogni
, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione. 
Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.
Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:
- Se una successione reale
è regolare allora ogni sua sottosuccessione
è regolare e i loro limiti coincidono.
Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.
Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni
- Sia
una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni
tali che


- con
allora la successione
non ammette limite.
Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale
e osserviamo che essa assume i valori -1, se
è dispari, 1 se
è pari.

- Se prendiamo
e
abbiamo che:

.
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:


- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione
non ammette limite.
- Consideriamo la successione reale
. Per c
- Se prendiamo
e
abbiamo che:

.
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:


- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione
non ammette limite.