Esercitazione 3 (analisi matematica)

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Studio del carattere delle serie

Verificare se le seguenti serie convergono, divergono, oppure se sono oscillanti.

Risoluzione delle serie

Verificare che le seguenti serie siano convergenti e trovare il valore a cui convergono.

Esercizi

$\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {3-{\sqrt {3}}}{\sqrt {3^{n}}}}$

Svolgimento

Cerchiamo di ricondurci a qualcosa di più semplice. Innanzitutto portiamo fuori la costante:

$\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {3-{\sqrt {3}}}{\sqrt {3^{n}}}}=\left(3-{\sqrt {3}}\right)\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {3^{n}}}}=\left(3-{\sqrt {3}}\right)\sum _{n=4}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{n}$

Ci siamo ricondotti ad una serie geometrica di ragione ${\frac {\sqrt {3}}{3}}<1$ quindi convergente ad un valore.

Applichiamo la formula $\sum _{k=m}^{n}q^{k}={\frac {q^{m}-q^{n+1}}{1-q}}$

Quindi:

$\left(3-{\sqrt {3}}\right)\sum _{n=4}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{n}=\left(3-{\sqrt {3}}\right){\frac {\left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{4}}{1-{\frac {\sqrt {3}}{3}}}}=\left(3-{\sqrt {3}}\right)\ {\frac {3^{2}}{3^{4}}}\ {\frac {3}{3-{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{3}}$