Esercitazione 3 (analisi matematica)

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Studio del carattere delle serie

Verificare se le seguenti serie convergono, divergono, oppure se sono oscillanti.

Risoluzione delle serie

Verificare che le seguenti serie siano convergenti e trovare il valore a cui convergono.

Esercizi

$\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3^n}}$

Svolgimento

Cerchiamo di ricondurci a qualcosa di più semplice. Innanzitutto portiamo fuori la costante:

$\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3^n}}=(3-\sqrt{3})\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{3^n}}=(3-\sqrt{3})\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^n$

Ci siamo ricondotti ad una serie geometrica di ragione $\frac{\sqrt{3}}{3}<1$ quindi convergente ad un valore.

Applichiamo la formula $\sum _{k=m}^n{q}^k=\frac{q^m-q^{n+1}}{1-q}$

Quindi:

$(3-\sqrt{3})\sum _{n=4}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^n=(3-\sqrt{3})\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^4}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=(3-\sqrt{3})\frac{3^2}{3^4}\frac{3}{3-\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$