Serie di funzioni

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Definizione di serie e convergenze di serie

Sia $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni reali, definite in $I\subseteq ℝ$. Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale $f_n$ la scrittura $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$, e la successione $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}},s_n=\sum _{k=1}^n{f}_k$ si dice successione delle somme parziali.

La scrittura $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.

Se, $\mathrm{\forall }x\in I$, la serie numerica $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ converge, ossia se la successione $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge puntualmente in $I$, allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in $I$.

Se la successione $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformemente in $I$, la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in $I$.

Inoltre, la serie di funzioni $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ si dice assolutamente convergente in $I$ se e solo se la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|$ converge puntualmente.

Infine, una serie di funzioni di termine generale $f_n$ si dice totalmente convergente in $I$ se e solo se:
$\mathrm{\exists }(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}},M_n\ge 0:|f_n(x)|\le M_n,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_k<+\mathrm{\infty }$

È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in $I$, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme $I^{\prime }\subseteq I$.

Criteri di Cauchy per le serie di funzioni

Si vede che, $\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n,p\in \mathbb{N}$, $s_{n+p}(x)-s_n(x)=f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)$.
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:

La serie di funzioni di termine generale $f_n$ converge puntualmente in $I$ se e solo se:
$\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$

La serie di funzioni di termine generale $f_n$ converge uniformemente in $I$ se e solo se:
$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$

Collegamento tra la varie convergenze

• Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
• La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.

Dimostrazione

• Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.

Grazie alla disuguaglianza triangolare: $|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\le |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n,p\in \mathbb{N}$, dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale $|f_n|$, si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale $f_n$, quindi la tesi.

• Sia $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ una serie di funzioni che converge totalmente in $I$. Sia $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}},M_n\ge 0:|f_n(x)|\le M_n,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_k<+\mathrm{\infty }$.

Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$.
Da ciò segue che, $\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n>m,\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}$: $|f_{n+1}(x)+\dots +f_{n+p}(x)|\le |f_{n+1}(x)|+\dots +|f_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+\dots +M_{n+p}<\epsilon$.

Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|$, sia per $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine $f_n$ converge sia assolutamente, sia uniformemente in $I$, ossia la tesi.

$◻$

Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale $\underset{x\in I}{sup}|f_n(x)|$ converge. Infatti vale il seguente risultato:

Criterio 1

Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale $\underset{x\in I}{sup}|f_n(x)|$ converge.

Dimostrazione

Se la serie di funzioni converge totalmente, allora: $\mathrm{\exists }(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}},M_n\ge 0:|f_n(x)|\le M_n,\mathrm{\forall }x\in I,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_k<+\mathrm{\infty }$.

Quindi, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, $f_n$ ha un maggiorante che converge. Tuttavia, $\underset{x\in I}{sup}|f_n(x)|\le M_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.

$◻$

Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare $I=[a,b],a<b$):

Teorema sulla continuità della somma

Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in $I$, allora il limite è una funzione anch'essa continua in $I$

Teorema di integrazione per le serie

Se la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ di funzioni integrabili in $I$ converge uniformemente, allora la serie è integrabile in $I$, e vale:

${\int }_a^b\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)dx=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_a^b{f}_k(x)dx$

E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.

Teorema di derivazione per le serie

Se la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ di funzioni derivabili in $I$ converge in $I$, e la serie derivata $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\text{'}}_k$ converge uniformemente in $I$, allora la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k$ è derivabile in $I$, e vale:

${\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\text{'}}_k$

E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.

Serie di potenze

Sia $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ una successione reale. La serie di funzioni $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$ prende il nome di serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$.

Vi è da notare che, ponendo $x=0$, la serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ si riduce allo $0$, e quindi $0$ sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con $X$.

Teorema 1

Se la serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ converge per qualche $\xi \ne 0$, allora la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $]-|\xi |,|\xi |[$.

Dimostrazione

Dato che la serie numerica di termine generale $a_n{\xi }^n$ converge, allora la successione $(a_n{\xi }^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
$\mathrm{\exists }M\in ℝ:\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},|a_n{\xi }^n|\le M$.
Sia $\eta \in ]-|\xi |,|\xi |[$, quindi $|\eta |<|\xi |$. Allora, $\mathrm{\forall }x\in ℝ:|x|\le |\eta |$, $|a_n{x}^n|=|a_n{\xi }^n|\frac{|x^n|}{|{\xi }^n|}\le M{\left(\frac{|x|}{|\xi |}\right)}^n\le M{\left(\frac{|\eta |}{|\xi |}\right)}^n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.
La serie numerica di termine generale $M_n=M(|\eta |/|\xi |{)}^n$ è una serie geometrica di ragione strettamente minore di $1$, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni $[-|\eta |,|\eta |]\subset ]-|\xi |,|\xi |[$, e quindi, scelti $a,b\in [-|\eta |,|\eta |]:a<b$, la serie converge totalmente in ogni $[a,b]\subseteq [-|\eta |,|\eta |]\subset ]-|\xi |,|\xi |[$, da cui la tesi.

Di conseguenza, $X$ è un intervallo di $ℝ$ contenente $0$. Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:

Teorema 2

Sia $\rho =supX$. Allora $\rho \ge 0$, e si hanno tre casi:

• $\rho =0\iff X=\{0\}$
• $\rho =+\mathrm{\infty }\iff X=ℝ$
• $0<\rho <+\mathrm{\infty }\iff ]-\rho ,\rho [\subseteq X\subseteq [-\rho ,\rho ]$, ossia la serie converge $\mathrm{\forall }|x|<\rho$, e la serie non converge $\mathrm{\forall }|x|>\rho$

Dimostrazione

Supponiamo, per assurdo, che $\rho <0$. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di $]\rho ,0]$, il che contrasta con il fatto che $\rho =supX$.

I primi due * sono banalmente dimostrabili.

$\Rightarrow )$ Sia $x$ tale che $|x|<\rho$. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un $\xi \in X$ tale che $|x|<\xi \le \rho$. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in $x$.
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto $\xi$ tale che $|\xi |>\rho$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni $x\in [\rho ,|\xi |[$, che contraddice il fatto che $\rho =supX$, da cui l'assurdo.

$\Leftarrow )$ Sia $0<{\rho }_1<+\mathrm{\infty }$ tale che la serie converge in ogni $|x|<{\rho }_1$, e la serie non converge in ogni $|x|>{\rho }_1$. Se la serie converge in ogni $|x|<{\rho }_1$, allora $]-{\rho }_1,{\rho }_1[\subseteq X$, e quindi ${\rho }_1\le \rho =supX$.

Se, per assurdo, ${\rho }_1<\rho$, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni $x\in [{\rho }_1,\rho [$, il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni $|x|>{\rho }_1$, da cui l'assurdo.

$◻$

Si conclude che, in base al teorema precedente, se $\rho =supX$, l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro $0$ e di raggio $\rho$, che si riduce al solo $0$ se $\rho =0$,e che si estende a tutto $ℝ$, se $\rho =+\mathrm{\infty }$. Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro $0$ e raggio $\rho$. Allora diciamo che $\rho$ è il raggio di convergenza della serie di potenze. Il teorema non dice nulla se la serie converge in $|x|=\rho$. In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.

Esempi

• La serie $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ è, come è noto, la serie geometrica di ragione $x$, che converge se $|x|<1$, e diverge se $|x|>1$. Quindi il raggio di convergenza della serie è $1$. Tuttavia, per $x=1$, la serie diverge positivamente, mentre per $x=-1$, la serie non è regolare, e quindi $X=]-1,1[$.
• La serie $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k^2}$ ha raggio di convergenza $1$, e la serie converge sia per $x=1$ (la serie armonica con $p>1$), sia per $x=-1$ (criterio di Leibniz), quindi $X=[-1,1]$.
• La serie $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k}$ ha raggio di convergenza $1$, e la serie converge per $x=-1$ (criterio di Leibniz), ma non per $x=1$ (serie armonica con $p\le 1$), quindi $X=[-1,1[$.

I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

Criterio di Cauchy-Hadamard

Sia $\rho$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$. Se $\mathrm{\exists }\underset{n}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}=l$, allora: $\{\begin{array}{cc}l=+\mathrm{\infty }& \Rightarrow \rho =0\\ 0<l<+\mathrm{\infty }& \Rightarrow \rho =\frac{1}{l}\\ l=0& \Rightarrow \rho =+\mathrm{\infty }\end{array}$

Dimostrazione

Per ogni $x\ne 0,\underset{n}{lim}\sqrt[n]{|a_n{x}^n|}=l|x|$.
Se $l=0$, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni $x\in ℝ$, e quindi $\rho =+\mathrm{\infty }$. Se $l=+\mathrm{\infty }$, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in $0$, e quindi $\rho =0$.

Se $0<l<+\mathrm{\infty }$, allora, per il criterio della radice, la serie converge se $|x|<\frac{1}{l}$, e la serie non converge se $|x|>\frac{1}{l}$, ossia, per il teorema precedente, $\rho =\frac{1}{l}$.

$◻$

Criterio di D'Alembert

Sia $\rho$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$. Se $\mathrm{\exists }\underset{n}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=l$, allora: $\{\begin{array}{cc}l=+\mathrm{\infty }& \Rightarrow \rho =0\\ 0<l<+\mathrm{\infty }& \Rightarrow \rho =\frac{1}{l}\\ l=0& \Rightarrow \rho =+\mathrm{\infty }\end{array}$

Dimostrazione

Per ogni $x\ne 0,\underset{n}{lim}\left|\frac{a_{n+1}{x}^{n+1}}{a_n{x}^n}\right|=l|x|$.
Se $l=0$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni $x\in ℝ$, e quindi $\rho =+\mathrm{\infty }$. Se $l=+\mathrm{\infty }$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in $0$, e quindi $\rho =0$.

Se $0<l<+\mathrm{\infty }$, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se $|x|<\frac{1}{l}$, e la serie non converge se $|x|>\frac{1}{l}$, ossia, per il teorema precedente, $\rho =\frac{1}{l}$.

$◻$

Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ la serie di potenze di coefficienti $((n+1)a_{n+1}{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$, ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.

Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata

Sia $\rho$ il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$, e sia ${\rho }^{\prime }$ il raggio di convergenza della serie derivata. Allora ${\rho }^{\prime }=\rho$.

Dimostrazione

$\rho \le {\rho }^{\prime })$ Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ converga in $x_0$. Da ciò segue che la successione $(a_n{x}_0^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia $\mathrm{\exists }L>0:|a_n{x}_0^n|\le L\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0$. Allora, $\mathrm{\forall }|x|<|x_0|,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0$:
$|(n+1)a_{n+1}{x}^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}{x}_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}{x}_0^{n+1}|}{|x_0|}{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n\le \frac{L}{|x_0|}{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n$.
La serie di termine generale $|x/x_0{|}^n$ è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti $((n+1)a_{n+1}{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$, ossia la serie derivata, converge in ogni punto $|x|<|x_0|$, da cui segue che $\rho \le {\rho }^{\prime }$.

$\rho \ge {\rho }^{\prime })$ Supponiamo che la serie derivata converge in $x_0$. Allora, come prima: $\mathrm{\exists }M>0:|(n+1)a_{n+1}{x}_0^n|\le M\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0$, quindi, $\mathrm{\forall }|x|<|x_0|,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$:
$|a_n{x}^n|=\frac{1}{n}\frac{|n{a}_n{x}_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=\frac{1}{n}|n{a}_n{x}_0^{n-1}||x_0|{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n\le \frac{M|x_0|}{n}{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n\le M|x_0|{\left|\frac{x}{x_0}\right|}^n$.

La serie di termine generale $|x/x_0{|}^n$ converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ converge in ogni punto $|x|<|x_0|$, da cui segue che $\rho \ge {\rho }^{\prime }$.

$◻$

Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ la serie di potenze di coefficienti $(0,a_n/(n+1){)}_{n\in \mathbb{N}}$, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.

Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze

Sia $\rho$ il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$. Supponiamo che $f(x)$ la sua somma, ossia:
$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k,\mathrm{\forall }|x|<\rho ,\rho >0$.
Allora risulta anche: $f^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_k{x}^{k-1},\mathrm{\forall }|x|<\rho ,{\int }_0^{t}f(t)dt=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1},\mathrm{\forall }|x|<\rho$

Dimostrazione

Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $]-\rho ,\rho [$, con $\rho$ il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.

$◻$

Serie di potenze generalizzato

Si dice serie di punto iniziale $x_0\in ℝ$ e di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ la serie: $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k$.
Ponendo $y=x-x_0$, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se $\rho$ è il raggio di convergenza della serie di potenze $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$, allora la serie di punto iniziale $x_0\in ℝ$ e di coefficienti $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ converge assolutamente: solo in $x_0$ se $\rho =0$; in $ℝ$ se $\rho =+\mathrm{\infty }$; in ogni punto $x$ tale che $|x-x_0|<\rho$ e non converge in ogni punto $x$ tale che $|x-x_0|>\rho$.

Serie di Taylor

Sia $f:]a,b[\subseteq ℝ\to ℝ,a<b$. Sia $x_0\in ]a,b[$.
$f$ si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale $x_0$ se esiste una successione numerica $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ tale che $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k,\mathrm{\forall }x\in ]a,b[$

Teorema 1

Sia $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k,\mathrm{\forall }|x-x_0|<\rho ,\rho >0$. Allora $f$ è indefinitamente derivabile in $]x_0-\rho ,x_0+\rho [$, e valgono le due uguaglianze:
$f^{(m)}(x)=\sum _{k=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(k-m)!}{a}_k(x-x_0{)}^{k-m},\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{N}}_0,\mathrm{\forall }|x-x_0|<\rho$, con $\frac{k!}{(k-m)!}=k(k-1)\dots (k-m+1),\mathrm{\forall }k\ge m$
$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k,\mathrm{\forall }|x-x_0|<\rho$

Dimostrazione

Applicando $m\in \mathbb{N}$ volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: $f^{(m)}(x)=m!a_m+(m+1)!a_{m+1}(x-x_0)+\frac{(m+2)!}{2!}{a}_{m+2}(x-x_0{)}^2+\dots +k(k-1)\dots (k-m+1)a_k(x-x_0{)}^{k-m}+\dots ,\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{N}}_0,\mathrm{\forall }|x-x_0|<\rho$.

Posto $x=x_0$, $f^{(m)}(x_0)=m!a_m+0+\mathrm{...}+0+\mathrm{...}=m!a_m,\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{N}}_0$, da cui $a_m=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}$, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.

$◻$

$f:]a,b[\subseteq ℝ\to ℝ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[$. $f$ si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0$ in $]a,b[$ se: $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k,\mathrm{\forall }x\in ]a,b[$

La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione $f$ di punto iniziale $x_0$.
La serie di Taylor della funzione $f$ di punto iniziale $0$ si dice serie di Mac Laurin di $f$.

Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.

Nota:
Fare un esempio

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor

Sia $f:]a,b[\subseteq ℝ\to ℝ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[$. Supponiamo che esistono $M,L>0$ tali che: $|f^{(n)}(x)|\le M{L}^n,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0,\mathrm{\forall }x\in ]a,b[$. Allora $\mathrm{\forall }{x}_0\in ]a,b[$, $f$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0$ in $]a,b[$

Dimostrazione

Fissato $n\in \mathbb{N}$. Consideriamo il resto $n$-esimo di Lagrange della formula di Taylor di $f$ di punto iniziale un qualunque punto $x_0\in ]a,b[$:
$\mathrm{\exists }{x}_1\in ]a,b[:R_n(x)=f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k=\frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$.
Per ipotesi si ha che: $|\frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}|=\frac{|f^{(n+1)}(x_1)|}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1}\le \frac{M{L}^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x,x_0\in ]a,b[$.

La serie di termine generale $\frac{M{L}^n}{n!}|x-x_0{|}^n$ converge per il criterio del rapporto: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{M{L}^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0{|}^{n+1})\left(\frac{n!}{M{L}^n}\frac{1}{|x-x_0{|}^n}\right)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{L|x-x_0|}{n+1}=0$.

Da cui segue che: $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{M{L}^n}{n!}|x-x_0{|}^n=0$, quindi la tesi.

$◻$

Esempio

Sia $f(x)=e^x$. Si sa che $f\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$, e le derivate di $f(x)$ sono: $f^n(x)=e^x$ , per ogni $x\in ℝ$ e per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Sia poi $R\in ℝ$ un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in $ℝ$, allora $f^n(x)=e^x\le e^R,\mathrm{\forall }x\le R$.
Quindi posto $M=e^R$ e $L=1$, risulta che $f^n(x)\le M{L}^n,\mathrm{\forall }x\le R$.
Per il teorema 1 risulta che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0$ in $]-\mathrm{\infty },R[$, qualunque sia $x_0\in ]-\mathrm{\infty },R[$.
Dato che $R$ è stato scelto in maniera arbitraria in $ℝ$, allora si può concludere che $f$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0$ in $\bigcup _{R\in ℝ}]-\mathrm{\infty },R[=]-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }[=ℝ$.

Teorema 2

Sia $f:]a,b[\subseteq ℝ\to ℝ,a<b$ indefinitamente derivabile in $]a,b[$. Sia $x_0\in ]a,b[$.
Se $f^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0{)}^{k-1},\mathrm{\forall }x\in ]a,b[$, allora $f$ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $x_0$ in $]a,b[$.

Dimostrazione

Siano $c,d\in ]a,b[$ tale che $x_0\in [c,d]$. Allora la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0{)}^{k-1}$ converge totalmente in $[c,d]$, quindi uniformemente in $[c,d]$ alla funzione $f^{\prime }$. Chiaramente la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge per $x=x_0$.

Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di $f$ di punto iniziale $x_0$ converge uniformemente in $[c,d]$ in una funzione $g$ tale che $g(x_0)=f(x_0)$, e $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x),\mathrm{\forall }x\in [c,d]$. Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, $f(x)=g(x),\mathrm{\forall }x\in [c,d]$, da cui, per l'arbitrarietà di $c$ e $d$, segue la tesi.

$◻$