Serie di funzioni

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Serie di funzioni
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Analisi matematica > Serie di funzioni

Definizione di serie e convergenze di serie[modifica]

Sia una successione di funzioni reali, definite in . Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale la scrittura , e la successione si dice successione delle somme parziali.

La scrittura viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.

Se, , la serie numerica converge, ossia se la successione converge puntualmente in , allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in .

Se la successione converge uniformemente in , la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in .

Inoltre, la serie di funzioni si dice assolutamente convergente in se e solo se la serie converge puntualmente.

Infine, una serie di funzioni di termine generale si dice totalmente convergente in se e solo se:

È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in , essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme .

Criteri di Cauchy per le serie di funzioni[modifica]

Si vede che, , .
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:

La serie di funzioni di termine generale converge puntualmente in se e solo se:


La serie di funzioni di termine generale converge uniformemente in se e solo se:


Collegamento tra la varie convergenze[modifica]

  • Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
  • La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.

Dimostrazione[modifica]

  • Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.

Grazie alla disuguaglianza triangolare: , dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale , si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale , quindi la tesi.

  • Sia una serie di funzioni che converge totalmente in . Sia .

Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: .
Da ciò segue che, : .

Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie , sia per , ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine converge sia assolutamente, sia uniformemente in , ossia la tesi.


Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale converge. Infatti vale il seguente risultato:

Criterio 1[modifica]

Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale converge.

Dimostrazione[modifica]

Se la serie di funzioni converge totalmente, allora: .

Quindi, , ha un maggiorante che converge. Tuttavia, , poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.


Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie[modifica]

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare ):

Teorema sulla continuità della somma[modifica]

Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in , allora il limite è una funzione anch'essa continua in


Teorema di integrazione per le serie[modifica]

Se la serie di funzioni integrabili in converge uniformemente, allora la serie è integrabile in , e vale:

E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.

Teorema di derivazione per le serie[modifica]

Se la serie di funzioni derivabili in converge in , e la serie derivata converge uniformemente in , allora la serie è derivabile in , e vale:

E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.

Serie di potenze[modifica]

Sia una successione reale. La serie di funzioni prende il nome di serie di potenze di coefficienti .

Vi è da notare che, ponendo , la serie di potenze di coefficienti si riduce allo , e quindi sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con .

Teorema 1[modifica]

Se la serie di potenze di coefficienti converge per qualche , allora la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in .

Dimostrazione[modifica]

Dato che la serie numerica di termine generale converge, allora la successione converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
.
Sia , quindi . Allora, , .
La serie numerica di termine generale è una serie geometrica di ragione strettamente minore di , che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni , e quindi, scelti , la serie converge totalmente in ogni , da cui la tesi.

Di conseguenza, è un intervallo di contenente . Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:

Teorema 2[modifica]

Sia . Allora , e si hanno tre casi:

  • , ossia la serie converge , e la serie non converge


Dimostrazione[modifica]

Supponiamo, per assurdo, che . Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di , il che contrasta con il fatto che .

I primi due * sono banalmente dimostrabili.


Sia tale che . Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un tale che . E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in .
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto tale che , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni , che contraddice il fatto che , da cui l'assurdo.

Sia tale che la serie converge in ogni , e la serie non converge in ogni . Se la serie converge in ogni , allora , e quindi .

Se, per assurdo, , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni , il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni , da cui l'assurdo.


Si conclude che, in base al teorema precedente, se , l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro e di raggio , che si riduce al solo se ,e che si estende a tutto , se . Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro e raggio . Allora diciamo che è il raggio di convergenza della serie di potenze. Il teorema non dice nulla se la serie converge in . In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.

Esempi[modifica]

  • La serie è, come è noto, la serie geometrica di ragione , che converge se , e diverge se . Quindi il raggio di convergenza della serie è . Tuttavia, per , la serie diverge positivamente, mentre per , la serie non è regolare, e quindi .
  • La serie ha raggio di convergenza , e la serie converge sia per (la serie armonica con ), sia per (criterio di Leibniz), quindi .
  • La serie ha raggio di convergenza , e la serie converge per (criterio di Leibniz), ma non per (serie armonica con ), quindi .

I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.

Criterio di Cauchy-Hadamard[modifica]

Sia il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti . Se , allora:


Dimostrazione[modifica]

Per ogni .
Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni , e quindi . Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in , e quindi .

Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge se , e la serie non converge se , ossia, per il teorema precedente, .


Criterio di D'Alembert[modifica]

Sia il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti . Se , allora:


Dimostrazione[modifica]

Per ogni .
Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni , e quindi . Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in , e quindi .

Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se , e la serie non converge se , ossia, per il teorema precedente, .


Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.

Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata[modifica]

Sia il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti , e sia il raggio di convergenza della serie derivata. Allora .


Dimostrazione[modifica]

Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti converga in . Da ciò segue che la successione converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia . Allora, :
.
La serie di termine generale è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie derivata, converge in ogni punto , da cui segue che .

Supponiamo che la serie derivata converge in . Allora, come prima: , quindi, :
.

La serie di termine generale converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti converge in ogni punto , da cui segue che .


Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.

Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze[modifica]

Sia il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti . Supponiamo che la sua somma, ossia:
.
Allora risulta anche:


Dimostrazione[modifica]

Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in , con il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.


Serie di potenze generalizzato[modifica]

Si dice serie di punto iniziale e di coefficienti la serie: .
Ponendo , la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se è il raggio di convergenza della serie di potenze , allora la serie di punto iniziale e di coefficienti converge assolutamente: solo in se ; in se ; in ogni punto tale che e non converge in ogni punto tale che .

Serie di Taylor[modifica]

Sia . Sia .
si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale se esiste una successione numerica tale che

Teorema 1[modifica]

Sia . Allora è indefinitamente derivabile in , e valgono le due uguaglianze:
, con

Dimostrazione[modifica]

Applicando volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: .

Posto , , da cui , da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.


indefinitamente derivabile in . si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in se:

La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione di punto iniziale .
La serie di Taylor della funzione di punto iniziale si dice serie di Mac Laurin di .

Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.

Stock post message.svg Nota:
Fare un esempio

Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor[modifica]

Sia indefinitamente derivabile in . Supponiamo che esistono tali che: . Allora , è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in

Dimostrazione[modifica]

Fissato . Consideriamo il resto -esimo di Lagrange della formula di Taylor di di punto iniziale un qualunque punto :
.
Per ipotesi si ha che: .

La serie di termine generale converge per il criterio del rapporto: .

Da cui segue che: , quindi la tesi.

Esempio[modifica]

Sia . Si sa che , e le derivate di sono: , per ogni e per ogni .
Sia poi un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in , allora .
Quindi posto e , risulta che .
Per il teorema 1 risulta che è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in , qualunque sia .
Dato che è stato scelto in maniera arbitraria in , allora si può concludere che è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in .

Teorema 2[modifica]

Sia indefinitamente derivabile in . Sia .
Se , allora è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in .

Dimostrazione[modifica]

Siano tale che . Allora la serie converge totalmente in , quindi uniformemente in alla funzione . Chiaramente la serie di Taylor di di punto iniziale converge per .

Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di di punto iniziale converge uniformemente in in una funzione tale che , e . Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, , da cui, per l'arbitrarietà di e , segue la tesi.