Analisi matematica > Serie di funzioni
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Definizione di serie e convergenze di serie
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Sia una successione di funzioni reali, definite in .
Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale la scrittura , e la successione si dice successione delle somme parziali.
La scrittura viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.
Se, , la serie numerica converge, ossia se la successione converge puntualmente in , allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in .
Se la successione converge uniformemente in , la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in .
Inoltre, la serie di funzioni si dice assolutamente convergente in se e solo se la serie converge puntualmente.
Infine, una serie di funzioni di termine generale si dice totalmente convergente in se e solo se:
È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in , essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme .
Criteri di Cauchy per le serie di funzioni
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Si vede che, , .
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:
La serie di funzioni di termine generale converge puntualmente in se e solo se:
La serie di funzioni di termine generale converge uniformemente in se e solo se:
Collegamento tra la varie convergenze
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- Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
- La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.
- Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.
Grazie alla disuguaglianza triangolare: , dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale , si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale , quindi la tesi.
- Sia una serie di funzioni che converge totalmente in . Sia .
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: .
Da ciò segue che, : .
Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie , sia per , ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine converge sia assolutamente, sia uniformemente in , ossia la tesi.
Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale converge. Infatti vale il seguente risultato:
Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale converge.
Se la serie di funzioni converge totalmente, allora: .
Quindi, , ha un maggiorante che converge. Tuttavia, , poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.
Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare ):
Teorema sulla continuità della somma
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Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in , allora il limite è una funzione anch'essa continua in
Teorema di integrazione per le serie
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E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.
Teorema di derivazione per le serie
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E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.
Sia una successione reale. La serie di funzioni prende il nome di serie di potenze di coefficienti .
Vi è da notare che, ponendo , la serie di potenze di coefficienti si riduce allo , e quindi sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con .
Dato che la serie numerica di termine generale converge, allora la successione converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
.
Sia , quindi . Allora, , .
La serie numerica di termine generale è una serie geometrica di ragione strettamente minore di , che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni , e quindi, scelti , la serie converge totalmente in ogni , da cui la tesi.
Di conseguenza, è un intervallo di contenente .
Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:
Sia . Allora , e si hanno tre casi:
- , ossia la serie converge , e la serie non converge
Supponiamo, per assurdo, che . Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di , il che contrasta con il fatto che .
I primi due * sono banalmente dimostrabili.
Sia tale che . Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un tale che . E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in .
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto tale che , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni , che contraddice il fatto che , da cui l'assurdo.
Sia tale che la serie converge in ogni , e la serie non converge in ogni . Se la serie converge in ogni , allora , e quindi .
Se, per assurdo, , allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni , il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni , da cui l'assurdo.
Si conclude che, in base al teorema precedente, se , l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro e di raggio , che si riduce al solo se ,e che si estende a tutto , se . Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro e raggio . Allora diciamo che è il raggio di convergenza della serie di potenze.
Il teorema non dice nulla se la serie converge in . In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.
- La serie è, come è noto, la serie geometrica di ragione , che converge se , e diverge se . Quindi il raggio di convergenza della serie è . Tuttavia, per , la serie diverge positivamente, mentre per , la serie non è regolare, e quindi .
- La serie ha raggio di convergenza , e la serie converge sia per (la serie armonica con ), sia per (criterio di Leibniz), quindi .
- La serie ha raggio di convergenza , e la serie converge per (criterio di Leibniz), ma non per (serie armonica con ), quindi .
I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.
Per ogni .
Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni , e quindi .
Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in , e quindi .
Se , allora, per il criterio della radice, la serie converge se , e la serie non converge se , ossia, per il teorema precedente, .
Per ogni .
Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni , e quindi .
Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in , e quindi .
Se , allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se , e la serie non converge se , ossia, per il teorema precedente, .
Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.
Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata
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Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti converga in . Da ciò segue che la successione converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia . Allora, :
.
La serie di termine generale è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie derivata, converge in ogni punto , da cui segue che .
Supponiamo che la serie derivata converge in . Allora, come prima: , quindi, :
.
La serie di termine generale converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti converge in ogni punto , da cui segue che .
Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti la serie di potenze di coefficienti , ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.
Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze
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Sia il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti . Supponiamo che la sua somma, ossia:
.
Allora risulta anche:
Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in , con il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.
Serie di potenze generalizzato
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Si dice serie di punto iniziale e di coefficienti la serie: .
Ponendo , la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se è il raggio di convergenza della serie di potenze , allora la serie di punto iniziale e di coefficienti converge assolutamente: solo in se ; in se ; in ogni punto tale che e non converge in ogni punto tale che .
Sia . Sia .
si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale se esiste una successione numerica tale che
Sia . Allora è indefinitamente derivabile in , e valgono le due uguaglianze:
, con
Applicando volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: .
Posto , , da cui , da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.
indefinitamente derivabile in . si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in se:
La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione di punto iniziale .
La serie di Taylor della funzione di punto iniziale si dice serie di Mac Laurin di .
Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.
Nota:
Fare un esempio
Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor
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Sia indefinitamente derivabile in . Supponiamo che esistono tali che: .
Allora , è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in
Fissato . Consideriamo il resto -esimo di Lagrange della formula di Taylor di di punto iniziale un qualunque punto :
.
Per ipotesi si ha che: .
La serie di termine generale converge per il criterio del rapporto: .
Da cui segue che: , quindi la tesi.
Sia . Si sa che , e le derivate di sono: , per ogni e per ogni .
Sia poi un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in , allora .
Quindi posto e , risulta che .
Per il teorema 1 risulta che è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in , qualunque sia .
Dato che è stato scelto in maniera arbitraria in , allora si può concludere che è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in .
Sia indefinitamente derivabile in . Sia .
Se , allora è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale in .
Siano tale che . Allora la serie converge totalmente in , quindi uniformemente in alla funzione .
Chiaramente la serie di Taylor di di punto iniziale converge per .
Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di di punto iniziale converge uniformemente in in una funzione tale che , e . Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, , da cui, per l'arbitrarietà di e , segue la tesi.