Analisi matematica > Serie di funzioni
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Definizione di serie e convergenze di serie
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Sia
una successione di funzioni reali, definite in
.
Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) serie di funzioni di termine generale
la scrittura
, e la successione
si dice successione delle somme parziali.
La scrittura
viene usata anche per indicare il limite della successione delle somme parziali.
Se,
, la serie numerica
converge, ossia se la successione
converge puntualmente in
, allora la serie di funzioni si dice che converge puntualmente in
.
Se la successione
converge uniformemente in
, la serie di funzioni si dice che converge uniformemente in
.
Inoltre, la serie di funzioni
si dice assolutamente convergente in
se e solo se la serie
converge puntualmente.
Infine, una serie di funzioni di termine generale
si dice totalmente convergente in
se e solo se:
È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in
, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme
.
Criteri di Cauchy per le serie di funzioni
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Si vede che,
,
.
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:
La serie di funzioni di termine generale
converge puntualmente in
se e solo se:
La serie di funzioni di termine generale
converge uniformemente in
se e solo se:
Collegamento tra la varie convergenze
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- Se una serie di funzioni converge assolutamente oppure uniformemente, allora converge puntualmente.
- La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.
- Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.
Grazie alla disuguaglianza triangolare:
, dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale
, si verifica il criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale
, quindi la tesi.
- Sia
una serie di funzioni che converge totalmente in
. Sia
.
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche:
.
Da ciò segue che,
:
.
Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie
, sia per
, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine
converge sia assolutamente, sia uniformemente in
, ossia la tesi.

Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale
converge. Infatti vale il seguente risultato:
Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale
converge.
Se la serie di funzioni converge totalmente, allora:
.
Quindi,
,
ha un maggiorante che converge. Tuttavia,
, poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.

Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare
):
Teorema sulla continuità della somma
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Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in
, allora il limite è una funzione anch'essa continua in
Teorema di integrazione per le serie
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E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.
Teorema di derivazione per le serie
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E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.
Sia
una successione reale. La serie di funzioni
prende il nome di serie di potenze di coefficienti
.
Vi è da notare che, ponendo
, la serie di potenze di coefficienti
si riduce allo
, e quindi
sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con
.
Dato che la serie numerica di termine generale
converge, allora la successione
converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:
.
Sia
, quindi
. Allora,
,
.
La serie numerica di termine generale
è una serie geometrica di ragione strettamente minore di
, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni
, e quindi, scelti
, la serie converge totalmente in ogni
, da cui la tesi.
Di conseguenza,
è un intervallo di
contenente
.
Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:
Sia
. Allora
, e si hanno tre casi:


, ossia la serie converge
, e la serie non converge 
Supponiamo, per assurdo, che
. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di
, il che contrasta con il fatto che
.
I primi due * sono banalmente dimostrabili.
Sia
tale che
. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un
tale che
. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in
.
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto
tale che
, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni
, che contraddice il fatto che
, da cui l'assurdo.
Sia
tale che la serie converge in ogni
, e la serie non converge in ogni
. Se la serie converge in ogni
, allora
, e quindi
.
Se, per assurdo,
, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni
, il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni
, da cui l'assurdo.

Si conclude che, in base al teorema precedente, se
, l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro
e di raggio
, che si riduce al solo
se
,e che si estende a tutto
, se
. Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro
e raggio
. Allora diciamo che
è il raggio di convergenza della serie di potenze.
Il teorema non dice nulla se la serie converge in
. In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.
- La serie
è, come è noto, la serie geometrica di ragione
, che converge se
, e diverge se
. Quindi il raggio di convergenza della serie è
. Tuttavia, per
, la serie diverge positivamente, mentre per
, la serie non è regolare, e quindi
.
- La serie
ha raggio di convergenza
, e la serie converge sia per
(la serie armonica con
), sia per
(criterio di Leibniz), quindi
.
- La serie
ha raggio di convergenza
, e la serie converge per
(criterio di Leibniz), ma non per
(serie armonica con
), quindi
.
I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.
Per ogni
.
Se
, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni
, e quindi
.
Se
, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in
, e quindi
.
Se
, allora, per il criterio della radice, la serie converge se
, e la serie non converge se
, ossia, per il teorema precedente,
.

Per ogni
.
Se
, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni
, e quindi
.
Se
, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in
, e quindi
.
Se
, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se
, e la serie non converge se
, ossia, per il teorema precedente,
.

Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti
la serie di potenze di coefficienti
, ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.
Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata
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Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti
converga in
. Da ciò segue che la successione
converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia
. Allora,
:
.
La serie di termine generale
è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti
, ossia la serie derivata, converge in ogni punto
, da cui segue che
.
Supponiamo che la serie derivata converge in
. Allora, come prima:
, quindi,
:
.
La serie di termine generale
converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti
converge in ogni punto
, da cui segue che
.

Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti
la serie di potenze di coefficienti
, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.
Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze
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Sia
il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti
. Supponiamo che
la sua somma, ossia:
.
Allora risulta anche:
Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in
, con
il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.

Serie di potenze generalizzato
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Si dice serie di punto iniziale
e di coefficienti
la serie:
.
Ponendo
, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se
è il raggio di convergenza della serie di potenze
, allora la serie di punto iniziale
e di coefficienti
converge assolutamente: solo in
se
; in
se
; in ogni punto
tale che
e non converge in ogni punto
tale che
.
Sia
. Sia
.
si dice sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale
se esiste una successione numerica
tale che
Sia
. Allora
è indefinitamente derivabile in
, e valgono le due uguaglianze:
, con 
Applicando
volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza:
.
Posto
,
, da cui
, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.

indefinitamente derivabile in
.
si dice sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale
in
se:
La serie al secondo membro si dice serie di Taylor della funzione
di punto iniziale
.
La serie di Taylor della funzione
di punto iniziale
si dice serie di Mac Laurin di
.
Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor.
Nota:
Fare un esempio
Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor
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Sia
indefinitamente derivabile in
. Supponiamo che esistono
tali che:
.
Allora
,
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale
in
Fissato
. Consideriamo il resto
-esimo di Lagrange della formula di Taylor di
di punto iniziale un qualunque punto
:
.
Per ipotesi si ha che:
.
La serie di termine generale
converge per il criterio del rapporto:
.
Da cui segue che:
, quindi la tesi.

Sia
. Si sa che
, e le derivate di
sono:
, per ogni
e per ogni
.
Sia poi
un numero arbitrario. Dato che la funzione è (strettamente) crescente in
, allora
.
Quindi posto
e
, risulta che
.
Per il teorema 1 risulta che
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale
in
, qualunque sia
.
Dato che
è stato scelto in maniera arbitraria in
, allora si può concludere che
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale
in
.
Sia
indefinitamente derivabile in
. Sia
.
Se
, allora
è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale
in
.
Siano
tale che
. Allora la serie
converge totalmente in
, quindi uniformemente in
alla funzione
.
Chiaramente la serie di Taylor di
di punto iniziale
converge per
.
Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di
di punto iniziale
converge uniformemente in
in una funzione
tale che
, e
. Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale,
, da cui, per l'arbitrarietà di
e
, segue la tesi.
