Serie numeriche

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Definizione

Sia $a_{n}$ (con $n\in \mathbb {N}$) una successione di numeri reali.

Diciamo serie di termine generale $a_{n}$ la scrittura formale $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$, e la successione $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ prende il nome di successione delle somme parziali della serie.

Consideriamo ora il limite per $n\to \infty$ della successione $S_{n}$.

Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente; se il limite esiste ed è uguale a $+\infty$ oppure a $-\infty$, la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare.

Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata.

Esempio

La serie di Mengoli è definita come:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}$

Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}={\frac {n}{n+1}}$

da cui:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n}{n+1}}=1$

La serie è quindi convergente.

Proprietà basilari

Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:

Se le serie di termini generali $a_{k}$ e $b_{k}$ sono regolari, e se anche la serie di termine generale $a_{k}+b_{k}$ è regolare, allora risulta:

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

e lo stesso vale per:

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

inoltre:

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}*b_{k})\neq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}*\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

Se la serie di termine generale $a_{k}$ è regolare, allora la serie di termine generale $c\cdot a_{k}$, con $c$ numero reale, è anch'essa regolare, e risulta:

$\sum _{k=0}^{\infty }c\cdot a_{k}=c\cdot \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

Serie convergenti

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Se la serie $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ è convergente, allora $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$

È importante ricordare che la condizione è necessaria, ma non sufficiente.

Dimostrazione

Siano $S_{n}$ la successione delle somme parziali, ed $S$ il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1},\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, $n>0$

risulta:

$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-S_{n-1}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n-1}=S-S=0$

$\Box$

Nota:
inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente

Criterio di Cauchy per le serie

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ converge se e solo se $\forall \varepsilon >0$ esiste $\nu \in \mathbb {N}$ tale che:

$\left|\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}\right|=\left|a_{n+1}+\ldots +a_{n+p}\right|<\varepsilon ,\ \ \ \ \forall n,p\in \mathbb {N} ,n\geq \nu$

Dimostrazione

Sia $S_{n}\,\!$ la successione delle somme parziali.

Per il criterio di Cauchy per le successioni, $S_{n}$ converge se e solo se $\forall \varepsilon >0$ esiste $\nu \in \mathbb {N}$ tale che $\left|s_{m}-s_{n}\right|<\varepsilon$ per $m,n\geq \nu$.

Se prendiamo $m>n$ allora $m=n+p$ per qualche $p\in \mathbb {N}$, con $p\neq 0$; l'asserto segue allora dal fatto che:

$\sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}=\sum _{k=0}^{n+p}a_{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}=s_{m}-s_{n}$.

$\Box$

Serie a termini non negativi

Una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ si dice a termini non negativi (positivi) se $\forall n\in \mathbb {N} ,\ \ a_{n}\geq 0\ \left(>0\right)$.

La sua successione $s_{n}\,\!$ delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente); risulta infatti $\forall n\in \mathbb {N}$:

$s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}\geq s_{n}\ \left(>s_{n}\right)$

In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona, risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi:

Una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ a termini non negativi è regolare, cioè non può essere indeterminata;

In particolare può solo convergere o divergere positivamente.

Criteri di convergenza per serie a termini non negativi

È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;

I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi.

Criterio del confronto

Siano $a_{n}\!$ e $b_{n}\!$ due successioni tali che $0\leq a_{n}\leq b_{n},\ \forall n>\nu ,$ con $\nu \in \mathbb {N} \!$ fissato.

Si ha:

$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}<+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=+\infty$

Criterio degli infinitesimi

Sia $a_{n}$ una successione a termini non negativi. Supponiamo che, fissato un numero reale $\rho$ esista il limite:
$l=\lim _{n\to +\infty }n^{\rho }a_{n}$
Si ha:
$l\neq +\infty ,\rho >1\Rightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$
$l\neq 0,\rho \leq 1\Rightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty$

Criterio del rapporto

Si ha la serie a termini positivi $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ tale che esista $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l$

Essa:

- converge se $l<1$

- diverge se $l>1$

- il criterio non è risolutivo se $l=1$

Dimostrazione

Se $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l<1$ possiamo definire un numero k compreso tra l ed 1 per ogni n maggiore di un certo N abbastanza grande.

$\forall n>N,\ {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k$

da cui

$a_{n}<a_{n-1}k<a_{n-2}k^{2}<a_{n-3}k^{3}<\dots <a_{N+1}k^{n-(N+1)}=\left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)k^{n}$

$\left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)$ è una costante ininfluente ai fini della determinazione del carattere della serie.

$k^{n}$ è una serie geometrica di ragione k minore di 1 e che quindi converge.

Quindi dato che una successione maggiorante di $a_{n}$ risulta convergente, anche $a_{n}$ risulta convergente.

Criterio della radice

Dimostrazione

Supponiamo che il limite di ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L , 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1. Applica la definizione di limite alla successione ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ scegliendo un particolare $\epsilon$, precisamente $\epsilon =q-L$ (puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sarà compreso tra $L-\epsilon$ ed $L+\epsilon$, cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q$. Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è ${\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}<q$, cioè $a_{N+1}<q\cdot a_{N}$ (occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche ${\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}<q$, il che implica $a_{N+2}<q\cdot a_{N+1}<q^{2}\cdot a_{N}$. Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza $a_{N+n}<q^{n}\cdot a_{N}$. Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di $a_{n}$ si maggiora con la costante $a_{N}$ moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di $q^{n}$, che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di $a_{n}$ converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini..

Serie Alternate

Una serie del tipo $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}a_{k}$, con $a_{n}>0,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, si dice serie alternata; la successione delle somme parziali corrispondente sarà:

$s_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots +\left(-1\right)^{n-1}a_{n}$

Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.

Criterio di convergenza per le serie alternate

Per studiare il carattere delle serie a termini alterni del tipo $\sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}a_{k}$, con $a_{n}>0,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$ si usa il criterio di Liebniz:

1)$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$

2)$\ a_{n}$ è monotona decrescente, ovvero $\ a_{n}>=a_{n+1}$

allora la serie è convergente.

Dimostrazione

Poiché {a_n} è decrescente, per ogni n si ha che

$s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}$

da cui segue che

$s_{0}\geq s_{2}\geq s_{4}\geq \cdots \geq s_{2n}\geq \cdots$

Similmente

$s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}$

e quindi

$s_{1}\leq s_{3}\leq s_{5}\leq \cdots \leq s_{2n+1}\leq \cdots$

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre $s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n}$ e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre $D=\lim _{n\to \infty }s_{2n+1}$ e $P=\lim _{n\to \infty }s_{2n}$. Per ogni n si ha

$s_{2n+1}\leq D\leq P\leq s_{2n}$

perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni $\varepsilon$ da P e termine dispari distanti da D meno di $\varepsilon$; per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni a_m; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P = D. Poniamo S = P = D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni $\varepsilon >0$ esiste m tale che $|S-s_{n}|<\varepsilon$ per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo $h=\mathrm {max} ~(m,k)$ la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=S$

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazione

• Dalla dimostrazione, abbiamo che $|S-s_{n}|\leq a_{n+1}$; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale $n$-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:

$\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}$;

calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene

$s_{10}=\sum _{k=1}^{10}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\approx -0,6456$,

mentre la somma infinita vale esattamente

$S=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}=-\ln {2}\approx -0,6931$,

e si nota che $|s_{10}-S|\approx |-0,6456+0,6931|=0,0475<0,090909...={\frac {1}{11}}$.

• Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè $a_{k}\geq 0\ \forall k,\lim _{k\to +\infty }{a_{k}}=0,a_{k}\sim b_{k}$ dove $\{b_{k}\}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

Convergenza assoluta

Una serie di termine generale $a_{n}\,\!$ si dice assolutamente convergente, per definizione, se la serie di termine generale $\left|a_{n}\right|$ risulta convergente.

Vale il seguente teorema:

Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.

Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione $a_{n}\,\!$, la serie di termine generale $\left|a_{n}\right|$ risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.

Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente.

Dimostrazione

Per ipotesi, la serie $\sum _{k=1}^{\infty }\left|a_{k}\right|$ è convergente.

Consideriamo la serie $\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)$; essa converge per il criterio del confronto, poiché:

$0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,\ \ \ \ \forall k\in \mathbb {N}$

Dal momento che:

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum _{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|$

Il limite per $n\to +\infty$ del primo mebro deve necessariamente esistere finito, poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.

$\Box$