Analisi matematica > Numeri reali (seconda parte)
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Proprietà di 
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è un campo commutativo e totalmente ordinato.
è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato
, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.
Sia
. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di
il numero reale
.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
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La 1 segue dal fatto che
contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di
, si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione
.
La 2 segue dal fatto che
è il massimo dell'insieme
, mentre la 3 è facile da verificare.
Si dimostra la 4. Se
, allora
, mentre se
, allora
, da cui
. In conclusione
. La 4 vale anche se si sostituiscono
e
con rispettivamente
e
.
La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti
.
Si dimostra la 6. Se
, allora
, mentre se
, allora
, da cui
. Concludendo
. La 6 vale anche se si sostituiscono
e
con rispettivamente
e
.
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo
e
, da cui sommando membro a membro si ha
. In conclusione per la proprietà 4

.
Sia
. Si definisce parte intera di
il numero intero, denotato con
, tale che:
![{\displaystyle [x]=\max\{p\in \mathbb {Z} |p\leq x\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4020dcd4cbc23cef82877c46d8a9cbb9317c4555)
.
Si può verificare facilmente che
.
Sia
e
parte intera di
. Si definisce il mantissa di
il numero reale, denotato con
, tale che:
![{\displaystyle (x)=x-[x]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d96ec215a0a040fe8e654f8655eb658a0f60d1c)
Si può dimostrare facilmente che
. Infatti sottraendo ai membri di
il numero
,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa,
.
Induzione matematica e insiemi induttivi
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Un insieme
tale che


si dice induttivo.
Chiamiamo insieme dei numeri naturali
l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.
Facciamo notare che per definizione
è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.
Teorema (principio di induzione matematica)
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Sia
l'insieme degli
per cui valgano le condizioni 1 e 2.
è allora un insieme induttivo e quindi
. D'altra parte si ha, per ipotesi, che
. In conclusione
.
Importanti considerazioni finali
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non è superiormente limitato.
Infatti, se lo fosse, per la completezza di
esisterebbe un reale
tale che
. Però, siccome
è il minore di tutti i maggioranti,
non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno
si ha che
e dunque
e abbiamo finito, perché l'ipotesi che
sia un maggiorante è contraddetta.
Teorema (proprietà di Archimede)
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è archimedeo, ovvero
.
Sia invece
. Dunque
e quindi
è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.
Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)
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Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che
da cui si evince facilmente che
. Essendo
archimedeo, allora esisterà un
tale che

.
Ora notando che
![{\displaystyle nx<[nx]+1\leq nx+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f02b5a43d62bafb976c01f1f1f7bef91dae791)
si ha
![{\displaystyle nx<[nx]+1<ny}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c083210bbf37332f4b1fea3e07a2a705c19543)
.
Dividendo per
tutti i tre membri si ricava
![{\displaystyle x<{\frac {[nx]+1}{n}}<y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20acc229e02b60ac2a65268d1bea52b5f066d11d)
in cui
.
Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)
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Dall'ipotesi
segue che
. Per il precedente teorema, esiste almeno un numero
tale che

,
da cui, aggiungendo a tutti i membri
,

.
Non è difficile verificare che
.
Terminiamo con la seguente conclusione.
Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati
,

,

,
![{\displaystyle (a;b]:=(a;b)\cup \left\{b\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df099e4165ec98b45c1d870ea73c9fe68c958ae2)
,
![{\displaystyle [a;b]:=(a;b)\cup \left\{a;b\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d70e42b4d6b017a4d289e4403b8d4fbb332ca9)
,

,

,

,
![{\displaystyle (-\infty ;a]:=(-\infty ;a)\cup \left\{a\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46bced0eba5b7a4b3ae851b8227ecb34c72f6ba)
.
Poniamo inoltre
.