Numeri reali (seconda parte)

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search

Analisi matematica > Numeri reali (seconda parte)


Lezione precedente Materia Lezione successiva
Numeri reali Analisi matematica Numeri complessi
appunti
Numeri reali (seconda parte)
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Proprietà di [modifica]

  1. è un campo commutativo e totalmente ordinato.
  2. è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutativo e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assoluto[modifica]

Sia . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di il numero reale .

Proposizione (proprietà del valore assoluto)[modifica]

,

  1. (disuguaglianza triangolare)


Dimostrazione[modifica]

La 1 segue dal fatto che contiene sempre un numero non negativo e uno non positivo: infatti essendo il numero non negativo maggiore o uguale a ciascun elemento di , si ha che il massimo di tale insieme è questo numero. In conclusione .

La 2 segue dal fatto che è il massimo dell'insieme , mentre la 3 è facile da verificare.

Si dimostra la 4. Se , allora , mentre se , allora , da cui . In conclusione . La 4 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e . La 5 è diretta conseguenza della 4: basta porre infatti .

Si dimostra la 6. Se , allora , mentre se , allora , da cui . Concludendo . La 6 vale anche se si sostituiscono e con rispettivamente e .

Riguardo la disuguaglianza triangolare, se almeno uno dei due numeri è zero, la tesi è verificata. Se sono entrambi diversi da zero, per la proprietà 5 abbiamo e , da cui sommando membro a membro si ha . In conclusione per la proprietà 4

.

Parte intera[modifica]

Sia . Si definisce il parte intera di il numero intero, denotato con , tale che:

.

Si può verificare facilmente che .

Mantissa[modifica]

Sia e parte intera di . Si definisce il mantissa di il numero reale, denotato con , tale che:

Si può dimostrare facilmente che . Infatti sottraendo ai membri di il numero ,si ottiene, ricordando la definizione di mantissa, .

Induzione matematica e insiemi induttivi[modifica]

Un insieme tale che

si dice induttivo.

Insieme dei numeri naturali[modifica]

Chiamiamo insieme dei numeri naturali l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi.

Facciamo notare che per definizione è un insieme induttivo e che ogni insieme induttivo lo contiene.

Teorema (principio di induzione matematica)[modifica]

Sia una proposizione logicamente significativa. Se

  1. è vera

allora è vera per ogni .


Dimostrazione[modifica]

Sia l'insieme degli per cui valgano le condizioni 1 e 2. è allora un insieme induttivo e quindi . D'altra parte si ha, per ipotesi, che . In conclusione .

Importanti considerazioni finali[modifica]

Lemma[modifica]

non è superiormente limitato.


Dimostrazione del Lemma[modifica]

Infatti, se lo fosse, per la completezza di esisterebbe un reale tale che . Però, siccome è il minore di tutti i maggioranti, non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno si ha che e dunque e abbiamo finito, perché l'ipotesi che sia un maggiorante è contraddetta.

Teorema (proprietà di Archimede)[modifica]

è archimedeo, ovvero .


Dimostrazione[modifica]

Sia invece . Dunque e quindi è superiormente limitato, il che è impossibile: il teorema è dimostrato per assurdo.

Teorema (densità dell'insieme dei numeri razionali in quello dei numeri reali)[modifica]

Siano e sia , allora .


Dimostrazione[modifica]

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che da cui si evince facilmente che . Essendo archimedeo, allora esisterà un tale che

.

Ora notando che

si ha

.

Dividendo per tutti i tre membri si ricava

in cui .

Teorema (densità dell'insieme dei numeri irrazionali in quello dei numeri reali)[modifica]

Siano tali che , allora .


Dimostrazione[modifica]

Dall'ipotesi segue che . Per il precedente teorema, esiste almeno un numero tale che

,

da cui, aggiungendo a tutti i membri ,

.

Non è difficile verificare che .

Intervalli[modifica]

Terminiamo con la seguente conclusione.

Dati tali che , l'insieme contiene almeno un numero razionale ed almeno un numero irrazionale.


Ha senso quindi parlare di intervallo. Per convenzione, dati ,

,
,
,
,
,
,
,
.

Poniamo inoltre .