Analisi matematica > Numeri complessi
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L'insieme dei numeri complessi, denotato con
, è un anello così composto:
![{\displaystyle \mathbb {C} :=(\mathbb {R} ^{2},+,\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369696cfe31a412d8ca73c7eae13ae226875b015)
cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente :
,
![{\displaystyle {\begin{array}{l}(x,y)+(x',y'):=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y'):=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdae5a15f25ddbd77c8cb0da6aa7212ada4979e)
In definitiva,
è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.
come sottocampo di ![{\displaystyle \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
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Poniamo
. È immediato verificare che
è un sottocampo di
, ma la cosa interessante è che
è isomorfo a
, dunque in particolare esiste una funzione
tale che
. Quindi
è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo
con
e dunque,
![{\displaystyle (x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac661c62cc1a0710bda2a5494e60fdbfb3ff894c)
.
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
![{\displaystyle i:=(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddac66a3585e1817356a0f4e9b7af93923db22e8)
.
Con la definizione che abbiamo dato di
, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè
![{\displaystyle (x,y)=x+iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288117ee283a9b78a5ee881e1b844d5b0133d45d)
Infatti:
![{\displaystyle (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be8d8319a086591c075b8dcf0f950c8e51ba11)
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:
è una radice dell'equazione
![{\displaystyle x^{2}+1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01c67127b28bb80e2102c934d0d01daa5c20a61)
.
Infatti:
.
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di
. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in
)
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Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
.
dunque non esiste in
una radice negativa e questo è falso, perché
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Parte reale e coefficiente dell'Immaginario
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Consideriamo un numero complesso
. Si definisce
- parte reale il numero reale
;
- coefficiente dell'immaginario il numero reale
;
coniugato di
.
Proposizione (algebra dei coniugati)
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![{\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae723346bd587f98cb486fbbadf06da77b0c788a)
![{\displaystyle {\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0a1d26eaa4aac0b28972c309d617941e31d9b2)
![{\displaystyle a+{\overline {a}}=2\Re (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c397de7b70e4f8b003f28f0e26ca81b57d900915)
![{\displaystyle a-{\overline {a}}=2i\Im (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95e643045572051fda14a084d86c20fff9fc9f7)
![{\displaystyle a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02a491df80fcffbc526e16ad3b79c43a97ebcfa)
![{\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128c07570a51edf5f3023d69d97654e02956aa03)
Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
Valore assoluto di un numero complesso
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Definiamo il valore assoluto di
![{\displaystyle |a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb007dda21cf5f3d9d680c5b649337d0510d831)
Tenete presente che
e
. Questo ne garantisce l'esistenza.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
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Nota:
dimostrarlo brevemente