Numeri complessi

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Analisi matematica > Numeri complessi

appunti
Numeri complessi
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.
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Numeri reali (seconda parte) Analisi matematica Funzioni (superiori)

Insieme dei numeri complessi[modifica]

L'insieme dei numeri complessi, denotato con , è un anello così composto:

cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente : ,

In definitiva, è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.

come sottocampo di [modifica]

Poniamo . È immediato verificare che è un sottocampo di , ma la cosa interessante è che è isomorfo a , dunque in particolare esiste una funzione tale che . Quindi è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo con e dunque,

.

Unità immaginaria[modifica]

Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

.

Con la definizione che abbiamo dato di , possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

Infatti:

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi: è una radice dell'equazione

.

Infatti:

.

Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di . Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.

Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in )[modifica]

non è un insieme ordinato, dunque non esiste una relazione d'ordine tale che



Dimostrazione[modifica]

Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe

.

dunque non esiste in una radice negativa e questo è falso, perché .


Parte reale e coefficiente dell'Immaginario[modifica]

Consideriamo un numero complesso . Si definisce

  • parte reale il numero reale ;
  • coefficiente dell'immaginario il numero reale ;
  • coniugato di .

Proposizione (algebra dei coniugati)[modifica]

Dimostrazione[modifica]

Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.

Valore assoluto di un numero complesso[modifica]

Definiamo il valore assoluto di

Tenete presente che e . Questo ne garantisce l'esistenza.

Proposizione (proprietà del valore assoluto)[modifica]

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

Dimostrazione[modifica]

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dimostrarlo brevemente