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Analisi matematica > Numeri complessi
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Insieme dei numeri complessi [ modifica ]
L'insieme dei numeri complessi , denotato con
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, è un anello così composto:
C
:=
(
R
2
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle \mathbb {C} :=(\mathbb {R} ^{2},+,\cdot )}
cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente :
∀
(
x
,
y
)
,
(
x
′
,
y
′
)
∈
C
{\displaystyle \forall (x,y),(x',y')\in \mathbb {C} }
,
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
:=
(
x
+
x
′
,
y
+
y
′
)
(
x
,
y
)
⋅
(
x
′
,
y
′
)
:=
(
x
x
′
−
y
y
′
,
x
y
′
+
y
x
′
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}(x,y)+(x',y'):=(x+x',y+y')\\(x,y)\cdot (x',y'):=(xx'-yy',xy'+yx')\end{array}}}
In definitiva,
(
C
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )}
è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
come sottocampo di
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[ modifica ]
Poniamo
R
∗
:=
{
(
x
,
0
)
,
x
∈
R
}
⊂
C
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}:=\{(x,0),\ x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C} }
. È immediato verificare che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
è un sottocampo di
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, ma la cosa interessante è che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
è isomorfo a
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, dunque in particolare esiste una funzione
f
:
R
→
R
∗
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{*}}
tale che
f
(
x
)
=
(
x
,
0
)
{\displaystyle f(x)=(x,0)}
. Quindi
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
con
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e dunque,
(
x
,
0
)
=
x
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle (x,0)=x,\ \forall x\in \mathbb {R} }
.
Unità immaginaria [ modifica ]
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso
i
:=
(
0
,
1
)
{\displaystyle i:=(0,1)}
.
Con la definizione che abbiamo dato di
i
{\displaystyle i}
, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica , cioè
(
x
,
y
)
=
x
+
i
y
{\displaystyle (x,y)=x+iy}
Infatti:
(
x
,
y
)
=
(
x
,
0
)
+
(
0
,
y
)
=
(
x
,
0
)
+
(
0
,
1
)
(
y
,
0
)
=
x
+
i
y
{\displaystyle (x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy}
L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:
i
{\displaystyle i}
è una radice dell'equazione
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
.
Infatti:
i
2
=
(
0
,
1
)
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1}
.
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
) [ modifica ]
Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
a
a
=
a
2
≥
0
,
∀
c
=
a
≥
0
∈
C
{\displaystyle aa=a^{2}\geq 0,\ \forall c=a\geq 0\in \mathbb {C} }
.
dunque non esiste in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
una radice negativa e questo è falso, perché
i
2
=
−
1
<
0
{\displaystyle i^{2}=-1<0}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Parte reale e coefficiente dell'Immaginario [ modifica ]
Consideriamo un numero complesso
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
. Si definisce
parte reale il numero reale
x
:=
ℜ
(
z
)
{\displaystyle x:=\Re (z)}
;
coefficiente dell'immaginario il numero reale
y
:=
ℑ
(
z
)
{\displaystyle y:=\Im (z)}
;
x
−
i
y
:=
x
+
i
y
¯
{\displaystyle x-iy:={\overline {x+iy}}}
coniugato di
x
+
i
y
{\displaystyle x+iy}
.
Proposizione (algebra dei coniugati) [ modifica ]
a
+
b
¯
=
a
¯
+
b
¯
{\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}
a
b
¯
=
a
¯
b
¯
{\displaystyle {\overline {ab}}={\overline {a}}{\overline {b}}}
a
+
a
¯
=
2
ℜ
(
a
)
{\displaystyle a+{\overline {a}}=2\Re (a)}
a
−
a
¯
=
2
i
ℑ
(
a
)
{\displaystyle a-{\overline {a}}=2i\Im (a)}
a
a
¯
=
(
ℜ
(
a
)
)
2
+
(
ℑ
(
a
)
)
2
{\displaystyle a{\overline {a}}=\left(\Re (a)\right)^{2}+\left(\Im (a)\right)^{2}}
a
¯
¯
=
a
{\displaystyle {\overline {\overline {a}}}=a}
Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
a
+
a
¯
=
(
x
+
i
y
)
+
(
x
−
i
y
)
=
2
x
=
2
ℜ
(
a
)
{\displaystyle a+{\overline {a}}=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\Re (a)}
Valore assoluto di un numero complesso [ modifica ]
Definiamo il valore assoluto di
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
|
a
|
=
a
a
¯
=
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
=
|
a
¯
|
∈
R
{\displaystyle |a|={\sqrt {a{\overline {a}}}}={\sqrt {(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}}}=|{\overline {a}}|\in \mathbb {R} }
Tenete presente che
a
a
¯
=
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
∈
R
{\displaystyle a{\overline {a}}=(\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\in \mathbb {R} }
e
(
ℜ
a
)
2
+
(
ℑ
a
)
2
≥
0
{\displaystyle (\Re a)^{2}+(\Im a)^{2}\geq 0}
. Questo ne garantisce l'esistenza.
Proposizione (proprietà del valore assoluto) [ modifica ]
Nota:
dimostrarlo brevemente