Analisi matematica > Numeri complessi
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L'insieme dei numeri complessi, denotato con
, è un anello così composto:

cioè un insieme composto da coppie di numeri reali con le operazioni di somma e prodotto definite nel modo seguente :
,

In definitiva,
è un campo. Omettiamo la dimostrazione perché è una semplice verifica, ma invitiamo a farla come esercizio.
come sottocampo di 
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Poniamo
. È immediato verificare che
è un sottocampo di
, ma la cosa interessante è che
è isomorfo a
, dunque in particolare esiste una funzione
tale che
. Quindi
è un'"estensione" dei numeri reali e identifichiamo
con
e dunque,

.
Definiamo l' unità immaginaria il numero complesso

.
Con la definizione che abbiamo dato di
, possiamo scrivere ogni numero complesso in forma algebrica, cioè

Infatti:

L'unità immaginaria ha una proprietà veramente notevole, che è una di quelle proprietà che caratterizzano i numeri complessi:
è una radice dell'equazione

.
Infatti:
.
Questo è un risultato veramente notevole che è caratteristico di
. Infatti, tale soluzione nei numeri reali non esiste.
Proposizione (non esistenza di una relazione d'ordine in
)
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Se per assurdo esistesse una tale relazione, si avrebbe
.
dunque non esiste in
una radice negativa e questo è falso, perché
.

Parte reale e coefficiente dell'Immaginario
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Consideriamo un numero complesso
. Si definisce
- parte reale il numero reale
;
- coefficiente dell'immaginario il numero reale
;
coniugato di
.
Proposizione (algebra dei coniugati)
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Queste dimostrazioni sono una semplice verifica. Dimostriamo la terza solo per esempio.
Valore assoluto di un numero complesso
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Definiamo il valore assoluto di

Tenete presente che
e
. Questo ne garantisce l'esistenza.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
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Nota:
dimostrarlo brevemente