Numeri reali

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Relazione d'ordine

Sia $R$ una relazione. Si dice che $R$ è una relazione d'ordine se è

• riflessiva
• transitiva
• antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme $A$, allora si dice che $A$ è ordinato e si indica con $(A,\le )$.

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

$xRy\iff \mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:x+n=y$

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che $R$ è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di $\le$.

Se $x\le y$ oppure $y\le x$, allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitati

Sia $(A,\le )$ un insieme ordinato e $A^{\prime }\subseteq A$ un sottoinsieme non vuoto. Allora $a\in A$ si dice maggiorante di $A^{\prime }$ se

$a\ge b,\mathrm{\forall }b\in A^{\prime }$

Analogamente si dice che $a\in A$ è minorante di $A$ se

$a\le b,\mathrm{\forall }b\in A^{\prime }$

Se $a$ è maggiorante (minorante) ed è anche appartenente ad $A^{\prime }$, allora si dice che $a$ è il massimo (minimo) di $A^{\prime }$. Si indicano rispettivamente con

$maxAminA$

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)

Sia $(A,\le )\ne \mathrm{\varnothing }$ e $A\subseteq B$. Se $A$ ha massimo, allora è unico.

Dimostrazione

Sia $m=maxA$. Supponiamo che esista un altro $m^{\prime }=maxA$. Allora, per la definizione di massimo, si ha

$m,m^{\prime }\in Am\ge a\in A$(*) e

$m^{\prime }\ge a\in A$(**).

Siccome $m^{\prime }$ è un elemento di $A$, per la (*) si ha $m\ge m^{\prime }$. D'altra parte, siccome anche $m\in A$, per la (**) abbiamo $m^{\prime }\ge m\in A$.
Allora altro non può essere che

$m=m^{\prime }$.

$◻$

Estremo superiore e inferiore

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:

$supA=min\{x\ge a,\mathrm{\forall }a\in A\}$
$infA=max\{x\le a,\mathrm{\forall }a\in A\}$

Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

Esempi

1. Sia $A=\{x\in \mathbb{Q}:0\le x<1\}$. Studiamo un po' questo insieme.

$A$ è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di $A$ sono però tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se $\lambda$ fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che $\lambda \ge x\in A$ pur essendo lo stesso un elemento di $A$ e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale $y\in \mathbb{Q}:x<y<1,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Q}$. Dunque un $\lambda$ siffatto non è un maggiorante e dunque $supA=1$.

Osserviamo anche che gli elementi di $A$ sono tutti maggiori o uguali di 0 ma $0\in A$ e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque $0=minA$.

Nota:
vedere se scrivere il teorema 3.7

Se un insieme ordinato $A$ ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insieme

Un insieme ordinato $A$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in $A$.

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)

Sia $(𝕀,\le )$ completo e $A\subseteq 𝕀,A\ne \mathrm{\varnothing }$. Allora $A$ ha estremo inferiore in $𝕀$.

Dimostrazione

$A$ è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in $𝕀$ l'insieme dei minoranti di $A$

$M=\{m\le a,\mathrm{\forall }a\in A\}$.

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di $A$ è maggiorante di $M$, dunque $M$ ha estremo superiore in $𝕀$ (perché, per ipotesi, $𝕀$ è completo). Sia $\lambda =supM$.
Ogni elemento di $A$ è più grande di ogni elemento di $M$ ma anche $a\ge \lambda ,\mathrm{\forall }a\in A$ dato che $\lambda$ è il più piccolo tra i maggioranti di $M$.
Ma allora $\lambda \in M$ e dunque $\lambda =maxM$. Infine, essendo $\lambda$ il massimo dei minoranti di $A$, è per definizione l'estremo inferiore di $A$.

$◻$

Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo

Dimostriamo che $(\mathbb{Q},\le )$ non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. (d'ora in avanti indicheremo con $\mathbb{Q}$ l'insieme $(\mathbb{Q},\le )$.

Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che $\mathbb{Q}$ è completo; dunque forniamo un controesempio.
Consideriamo

$R=\{x\in \mathbb{Q}:x>0,x^2<2\}$

$R$ non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che $2^2=4>2\Rightarrow 2>x,\mathrm{\forall }x\in R$). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un $m\in \mathbb{Q}$ il minore di tutti i maggioranti di $R$.

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che $m=supR$ esista.

• Se $m^2<2$, allora $m\in R$. Però esiste certamente $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tale che $(m+\epsilon {)}^2<2$.
  Infatti $\mathbb{Q}$ è un insieme denso, dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se $2=m+\alpha$, si ha $0<\epsilon <\alpha$ e dunque $m+\epsilon <m+\alpha =2$.

Ma allora $m\in R$ e $m+\epsilon \in R$ e da qui si ottiene che in $R$ c'è un valore più grande di $m$ e questo contraddice l'ipotesi che $m^2<2$.

• Se $m^2=2$, possiamo scrivere anche $m=\frac{p}{q}$ (con $p,q$ primi tra loro) e quindi $\frac{p^2}{q^2}=2$. Da qui $p^2=2q^2$ e il fatto che il secondo membro sia pari, ci dice che $p^2$ è pari e dunque lo è anche $p$. Allora possiamo scrivere il tutto come $4y^2=2q^2$ (con $p=2y$) ed equivalentemente $2y{=}^2=q^2$. Per lo stesso ragionamento di prima, anche $q$ è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto $p,q$ primi tra loro!

Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.

• Infine, se $m^2>2$, allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un $\epsilon \in \mathbb{Q}$ tale che $(m-\epsilon {)}^2>2$. Ma $x^2<(m-\epsilon {)}^2$ e siccome entrambi i membri sono positivi, $x<m-\epsilon$ e dunque $m-\epsilon$ è un maggiorante di $R$ e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che $m$ sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno $m^2>2$