Numeri reali

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appunti
Numeri reali
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Relazione d'ordine[modifica]

Sia una relazione. Si dice che è una relazione d'ordine se è

  • riflessiva
  • transitiva
  • antisimmetrica.

Se tale relazione è assegnata ad un insieme , allora si dice che è ordinato e si indica con .

Ad esempio, consideriamo la relazione così definita

È sufficiente verificare le tre proprietà per dimostrare che è una relazione d'ordine. E infatti, è l'usuale relazione d'ordine di .

Se oppure , allora la relazione si dice di ordine totale (o lineare).

Insiemi limitati[modifica]

Sia un insieme ordinato e un sottoinsieme non vuoto. Allora si dice maggiorante di se

Analogamente si dice che è minorante di se

Se è maggiorante (minorante) ed è anche appartenete ad , allora si dice che è il massimo (minimo) di . Si indicano rispettivamente con

Non tutti gli insiemi hanno massimo e minimo, ma se li hanno, essi sono unici. Dimostriamolo solo nel caso del massimo. Consigliamo di provare come esercizio a dimostrare il caso del minimo.

Proposizione (unicità di massimo e minimo)[modifica]

Sia e . Se ha massimo, allora è unico.

Dimostrazione[modifica]

Sia . Supponiamo che esista un altro . Allora, per la definizione di massimo, si ha

(*) e
(**).

Siccome è un elemento di , per la (*) si ha . D'altra parte, siccome anche , per la (**) abbiamo .
Allora altro non può essere che

.

Estremo superiore e inferiore[modifica]

Si dice estremo superiore il più piccolo dei maggioranti ed estremo inferiore il più grande dei minoranti. In altri termini:


Anche per l'estremo superiore e inferiore, se esistono sono unici. Non tutti gli insiemi però hanno tali estremi, perché non tutti gli insiemi hanno un insieme dei maggioranti o minoranti (e dunque non ha senso quanto scritto appena sopra).

Vediamo ora alcuni esempi di quello che abbiamo visto finora.

Esempi[modifica]

1. Sia . Studiamo un po' questo insieme.

è l'insieme dei numeri razionali non negativi e più piccoli di 1. Innanzitutto notiamo che, da quello che abbiamo appena detto, tutti gli elementi dell'insieme sono più piccoli di 1 e quindi, equivalentemente, 1 è un maggiorante. Gli elementi di sono però tutti quei razionali strettamente più piccoli 1, dunque 1 è il minore tra i maggioranti perché se fosse un maggiorante e fosse minore di 1, allora si avrebbe che pur essende stesso un elemento di e questo non è possibile perché possiamo sempre trovare un altro numero razionale . Dunque un siffatto non è un maggiorante e dunque .
Osserviamo anche che gli elementi di sono tutti maggiori o uguali di 0 ma e questo equivale alla definizione di minimo. Dunque .

Stock post message.svg Nota:
vedere se scrivere il teorema 3.7



Se un insieme ordinato ha maggioranti, tale insieme si dice superiormente limitato. Analogamente si dice inferiormente limitato se esistono minoranti.

Completezza di un insieme[modifica]

Un insieme ordinato si dice completo se ogni suo sottoinsieme superiormente limitato ha estremo superiore in .

Proposizione (esistenza dell'estremo inferiore in un insieme completo)[modifica]

Sia completo e . Allora ha estremo inferiore in .

Dimostrazione[modifica]

è inferiormente limitato per ipotesi, dunque certamente esiste in l'insieme dei minoranti di

.

Osserviamo anche l'inverso, cioè che ogni elemento di è maggiorante di , dunque ha estremo superiore in (perché, per ipotesi, è completo). Sia .
Ogni elemento di è più grande di ogni elemento di ma anche dato che è il più piccolo tra i maggioranti di .
Ma allora e dunque . Infine, essendo il massimo dei minoranti di , è per definizione l'estremo inferiore di .


Esercizio: L'insieme dei numeri razionali non è completo

Dimostriamo che non è completo, quindi che esistono sottoinsiemi superiormente limitati ma che non hanno estremo superiore. (d'ora in avanti indicheremo con l'insieme .

Per giungere al nostro scopo, dimostriamo che non è vero che è completo; dunque forniamo un controesempio.
Consideriamo

non è ovviamente vuoto ed ha dei maggioranti (ad esempio 2 è un maggiorante, visto che ). Proviamo ora che non esiste l'estremo superiore di questo insieme, cioè che non esiste un il minore di tutti i maggioranti di .

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esista.

  • Se , allora . Però esiste certamente tale che .
    Infatti è un insieme denso, dunque tra due razionali esiste sempre un altro razionale; in questo caso se , si ha e dunque .
Ma allora e e da qui si ottiene che in c'è un valore più grande di e questo contraddice l'ipotesi che .
  • Se , possiamo scrivere anche (con primi tra loro) e quindi . Da qui e il fatto che il secondo membro sia pari, ci dice che è pari e dunque lo è anche . Allora possiamo scrivere il tutto come (con ) ed equivalentemente . Per lo stesso ragionamento di prima, anche è pari e questa è una contraddizione perché avevamo supposto primi tra loro!
Questa è anche la prova classica che esistono numeri non razionali.
  • Infine, se , allora esiste certamente (per lo stesso criterio del punto 1) un tale che . Ma e siccome entrambi i membri sono positivi, e dunque è un maggiorante di e abbiamo finito, perché questo contraddice l'ipotesi che sia il più piccolo dei maggioranti e dimostra che non può essere nemmeno