Analisi matematica > Esistenza del limite di una successione reale
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Sia
una successione reale tale che
![{\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104f3e2bc64e7f4d07a4881f59f0ab8b3c9dac80)
Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se
si dice monotona strettamente crescente
Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
si dice monotona decrescente;
si dice monotona strettamente decrescente;
Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo
o
per indicare una successione monotona crescente e decrescente.
Vediamo ora un importante teorema.
Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)
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(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di
, sappiamo che esiste
. Sia
.
Allora
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,a_{n}-\lambda <\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5242bb006d592cf39aaacd1fe1dfa5805785d1)
Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :a_{n}+\varepsilon >\lambda ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee779804f6aac75d97ffc306b1953de1fee44c5a)
e siccome la successione è crescente,
e quindi
.
Dunque abbiamo verificato che:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists m\in \mathbb {N} \ :|a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f0afd5991f89abbfebb4e277db4987f8b78ced)
Ossia la tesi.
2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè
. Analogamente a prima, abbiamo che
.
Sempre per la monotonia di
, sappiamo che
anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque
![{\displaystyle \forall k\in \mathbb {R} \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a016f399c5785e4065bb0d10195b0b9c1f46b1d)
Dunque la successione è divergente e
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n\in \mathbb {N} }a_{n}=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07f9fde6349ff3141b62f890487f29b94b8977b)
(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)
Teorema (di Bolzano-Weiestrass)
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Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.
Nota:
problemi con la dimostrazione poco chiara