Analisi matematica > Algebra dei limiti
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In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.
Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)
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. Supponiamo che
tenda a
, per
. Sia poi
una successione in
convergente a
.
Per la definizione di limite abbiamo
.
Inoltre, siccome la successione converge
, per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo
.
Per come definita la successione
, i termini della successione stanno tutti in
ma anche in
(perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni
, abbiamo che ![{\displaystyle x_{n}\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c057bd096055b49d2e4ebb392bf3ebec593db3)
Di conseguenza,
per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in
per ogni
. Riassumendo
![{\displaystyle \forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in L,\ \forall n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56a8ea74cca8197a172ff5ac675cdd5b649a674)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bb5d7b73d0b4b207c1ce4f83f6008a862bc48e)
.
. Supponiamo ora che
e che questo valga per ogni successione in
convergente a
.
Per provare che anche
, ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque
![{\displaystyle \neg {\Bigg (}\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H{\Bigg )}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccfbbe175ef6fc4983c011860fd61c0400f8120)
![{\displaystyle \exists L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }:\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\ :\ f(x)\not \in L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883f9aaf757429c0fce71123d6f147ce90564359)
.
Definiamo poi
![{\displaystyle H_{n}:={\begin{cases}\left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[,\ x\in \mathbb {R} \\]n,+\infty [,\ x=+\infty \\]-\infty ,-n[,\ x=-\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff877f5cdcbe83ffa9c558efa4f4814c4fc97cef)
e
.
Notiamo subito che
perché
è sempre diverso dal vuoto (in forza di
nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un
, altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di
) ed inoltre
.
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione
tale che
. Tale successione implica che ogni suo elemento sta in
ma
.
Da qui si deduce che la successione converge a
ma
non tende a
, contraddicendo l'ipotesi.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Sia
,
,
un punto di accumulazione di
e
.
Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.
Se
e
, allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=\lambda +\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7c9562c64b999f0c5cca1dad0c243d4111455f)
.
Infatti, consideriamo una successione in
convergente a
. Per il Lemma precedente, siccome
e
, anche
e
, per
. Allora (applicando l'algebra delle successioni) abbiamo che
![{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})+g(x_{n})=\lambda +\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78ef6e5e11c1255c928658e010e9540fa70584)
.
Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche
.
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \ \ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu \ \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=\lambda \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa3e4783334c1468e617de03ec8f6ba68be7122)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lambda }{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9274143bd1d9a7746996f8bc8353f4308386306a)
Limite di funzioni che tendono a infinito
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![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081a4145e447a0db6a76bf1cac315bb716c35f8c)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298cf0777bb67b0ff2a41065186ea89c713a6a19)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79152ff35617fe6454e1941d984c9934370ec01)
Limite di infinito per un reale
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![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081a4145e447a0db6a76bf1cac315bb716c35f8c)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298cf0777bb67b0ff2a41065186ea89c713a6a19)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b31d8532d1ed1573347c6e2391cfafd15fffded)
Limite del reciproco di una funzione
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![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590158528be0dbbed598413f8c24cf6d2e254e4e)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=+\infty (-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d1711dd14ab3685cfedd075709881f69637ede)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c970a252926bcfc574209a32507eee9b55099c2)
![{\displaystyle \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=-\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca52f515892d6b787d91acc8935e87d7587d190)