Algebra dei limiti

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In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.

Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $f:A\to \mathbb {R}$, $x_{0}$ un punto di accumulazione (reale o $\pm \infty )$ e $\lambda \in {\overline {\mathbb {R} }}$.
Allora la funzione $f$ ammette limite (ed il suo limite è $\lambda$) se e solo $\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda$, per ogni successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$.

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo che $f(x)$ tenda a $\lambda$, per $x\to x_{0}$. Sia poi $(x_{n})$ una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$convergente a $x_{0}$.
Per la definizione di limite abbiamo

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$.

Inoltre, siccome la successione converge $x_{0}$, per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo

$\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ x_{n}\in H,\ \forall n>m$.

Per come definita la successione $\left(x_{n}:\mathbb {N} \to A\setminus \{x_{0}\}\right)$, i termini della successione stanno tutti in $A\setminus \{x_{0}\}$ ma anche in $H$ (perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni $n\in \mathbb {N}$, abbiamo che $x_{n}\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H$
Di conseguenza, $f(x_{n})\in L$ per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in $L$ per ogni $n>m$. Riassumendo

$\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in L,\ \forall n>m$$\Leftrightarrow \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda$.

$\Leftarrow )$ . Supponiamo ora che $\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=\lambda$ e che questo valga per ogni successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$.
Per provare che anche $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda$, ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque

$\neg {\Bigg (}\forall L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in L,\ \forall x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H{\Bigg )}\Leftrightarrow$$\exists L\in {\mathcal {I}}_{\lambda }:\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ \exists x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\ :\ f(x)\not \in L$.

Definiamo poi

$H_{n}:={\begin{cases}\left]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}\right[,\ x\in \mathbb {R} \\]n,+\infty [,\ x=+\infty \\]-\infty ,-n[,\ x=-\infty \end{cases}}$

e $A_{n}:=\left\{x\in \left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap H\ :\ f(x)\not \in L\right\}$.
Notiamo subito che $A_{n}\neq \emptyset ,\ \forall n\in \mathbb {N}$ perché $H_{n}$ è sempre diverso dal vuoto (in forza di $\forall H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$ nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un $H_{n}=\emptyset$, altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di $x_{0}$) ed inoltre $A_{n}\subseteq A\setminus \{x_{0}\},\ \forall n\in \mathbb {N}$.
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione $x_{n}:\mathbb {N} \to A\setminus \{x_{0}\}$ tale che $x(n)=x_{n}\in A_{n},\ \forall n\in \mathbb {N}$. Tale successione implica che ogni suo elemento sta in $H_{n}$ ma $f(x_{n})\not \in L$.

Da qui si deduce che la successione converge a $x_{0}$ ma $f(x_{n})$ non tende a $\lambda$, contraddicendo l'ipotesi.

$\Box$

Algebra dei Limiti

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, $f,g:A\to \mathbb {R}$, $x_{0}$ un punto di accumulazione di $A$ e $x_{0}\in {\overline {\mathbb {R} }}$.

Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.

Limite della somma

Se $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda$ e $\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu$, allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=\lambda +\mu$.

Infatti, consideriamo una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$. Per il Lemma precedente, siccome $f(x)\to \lambda$ e $g(x)\to \mu$, anche $f(x_{n})\to \lambda$ e $g(x_{n})\to \mu$, per $n\to +\infty$. Allora (applicando l'algebra delle successioni) abbiamo che

$\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})+g(x_{n})=\lambda +\mu$.

Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche $\lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=\lambda +\mu$.

Limite del prodotto

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \ \ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu \ \Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=\lambda \mu$

Limite del quoziente

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lambda \ \ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu ,\ g(x)\neq 0\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},\mu \neq 0$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lambda }{\mu }}$

Limite di funzioni che tendono a infinito

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty (-\infty )$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty (-\infty )$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=-\infty (+\infty )$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=-\infty$

Limite di infinito per un reale

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty )$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu >0$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)g(x)=+\infty$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty (-\infty )\ \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mu <0$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)+g(x)=+\infty$

Limite del reciproco di una funzione

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty ,\ f(x)\neq 0\forall x\in A\setminus \{x_{0}\}$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0$

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=0,\ f(x)>0(<0)\forall x\in A\setminus \{x_{0}\}$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=+\infty (-\infty )$

Confronto di Limiti

$f(x)\leq g(x),\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\}$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=+\infty$

$f(x)\leq g(x),\ \forall x\in A\setminus \{x_{0}\}$ $\Longrightarrow \lim _{x\to x_{0}}g(x)=-\infty \Rightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty$