Algebra dei limiti

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Analisi matematica > Algebra dei limiti


appunti
Algebra dei limiti
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica




In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.

Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)[modifica]

Sia , , un punto di accumulazione (reale o e .
Allora la funzione ammette limite (ed il suo limite è ) se e solo , per ogni successione in convergente a .


Dimostrazione[modifica]

. Supponiamo che tenda a , per . Sia poi una successione in convergente a .
Per la definizione di limite abbiamo

.

Inoltre, siccome la successione converge , per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo

.

Per come definita la successione , i termini della successione stanno tutti in ma anche in (perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni , abbiamo che
Di conseguenza, per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in per ogni . Riassumendo

.

. Supponiamo ora che e che questo valga per ogni successione in convergente a .
Per provare che anche , ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque

.

Definiamo poi

e .
Notiamo subito che perché è sempre diverso dal vuoto (in forza di nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un , altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di ) ed inoltre .
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione tale che . Tale successione implica che ogni suo elemento sta in ma .

Da qui si deduce che la successione converge a ma non tende a , contraddicendo l'ipotesi.


Algebra dei Limiti[modifica]

Sia , , un punto di accumulazione di e .

Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.

Limite della somma[modifica]

Se e , allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè

.

Infatti, consideriamo una successione in convergente a . Per il Lemma precedente, siccome e , anche e , per . Allora (applicando l'algebra delle successioni) abbiamo che

.

Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche .

Limite del prodotto[modifica]

Limite del quoziente[modifica]

Limite di funzioni che tendono a infinito[modifica]

Limite di infinito per un reale[modifica]

Limite del reciproco di una funzione[modifica]

Confronto di Limiti[modifica]