Forme differenziali lineari

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Lavoro e campi conservativi

Sia $A\subseteq {ℝ}^3$ un aperto connesso; si dice campo di forze un'applicazione $𝐅:𝐱\in A\to 𝐅(𝐱)=(F_1(𝐱),F_2(𝐱),F_3(𝐱))\in {ℝ}^3$, che ad ogni punto $𝐱\in A$ associa un vettore $𝐅(𝐱)$, che rappresenta la forza agente su di una particella puntiforme posta in $𝐱\in A$.

Data una curva regolare a tratti $\gamma$ di estremi $P_1$ e $P_2$, tale che il suo sostegno $\Gamma =\text{Im}\gamma$ sia contenuto in $A$, si definisce il lavoro compiuto su di una particella per spostarla, lungo la curva, da $P_1$ a $P_2$ come:

$W={\int }_{\gamma }𝐅(𝐱)\cdot 𝐓(𝐱)ds$,

dove $𝐓(𝐱)$ indica il versore tangente alla curva nel punto $𝐱$.

Un campo di forze $𝐅:A\to {ℝ}^3$ si dice conservativo se il lavoro $W$ compiuto dal campo di forze per spostare una particella da un generico punto $P_1$ ad un punto $P_2$ non dipende dalla curva $\gamma$ lungo cui ci si sposta, ma solo dai due estremi e dal verso di percorrenza.

Esempio

Consideriamo il campo di forze generato da una particella puntiforme, di massa $M$, posta nell'origine del sistema di riferimento assegnato. Il campo di forze agente su di una qualsiasi altra particella di massa $m$ è, come è noto dalla Fisica:

$𝐅:(x,y,z)\in {ℝ}^3-\{0\}\to 𝐅(x,y,z)=-\frac{GmM}{r^2}(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r})\in {ℝ}^3$,

dove $G$ è la costante di gravitazione universale, ed $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ è la distanza della particella di massa $m$ dall'origine.

Consideriamo ora una curva regolare a tratti $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^3$, di equazioni parametriche $\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))$; il lavoro compiuto per spostare la particella di massa $m$ lungo $\gamma$, dal punto $\gamma (a)$ al punto $\gamma (b)$, è:

$\begin{array}{ccc}W& =& {\int }_a^b𝐅(\gamma (t))\cdot (\frac{x^{\prime }(t)}{|{\gamma }^{\prime }(t)|},\frac{y^{\prime }(t)}{|{\gamma }^{\prime }(t)|},\frac{z^{\prime }(t)}{|{\gamma }^{\prime }(t)|})|{\gamma }^{\prime }(t)|dt=\\ \\ & =& -GmM{\int }_a^b\frac{x(t)x^{\prime }(t)+y(t)y^{\prime }(t)+z(t)z^{\prime }(t)}{{(x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))}^{3/2}}dt=\\ \\ & =& -GmM{\int }_a^b\frac{d}{dt}(-{(x^2(t)+y^2(t)+z^2(t))}^{-1/2})dt=\\ \\ & =& GmM(\frac{1}{|\gamma (b)|}-\frac{1}{|\gamma (a)|})\end{array}$

Dal risultato si evince che il lavoro $W$ non dipende dalla particolare curva scelta, ma solo dalla posizione iniziale e finale da essa assunte, ovvero il campo di forze da noi considerato è conservativo.

Questa proprietà sarà approfondita nella trattazione delle forme differenziali esatte.

Forme differenziali lineari

Formalizziamo ora un concetto di cui quanto visto nel paragrafo precedente è un caso particolare; prima di procedere, abbiamo bisogno di alcune nozioni preliminari di Algebra lineare.

Nota:
inserire collegamento alla lezione di algebra lineare sui funzionali lineari, al momento non esistente

Un generico elemento dello spazio duale ${\left({ℝ}^n\right)}^{\ast }$di ${ℝ}^n$, ovvero un generico funzionale lineare su ${ℝ}^n$, può sempre essere scritto nella forma

$L=\sum _{i=1}^n{a}_i{e}^i=\sum _{i=1}^n{a}_{i}d{x}_i$,

dove gli $a_i$ sono numeri reali, e $e^i=d{x}_i$, $i=1,2,\dots ,n$, è il funzionale lineare che ad ogni vettore $h\in {ℝ}^n$ associa la sua componente i-esima $h_i$.

Il funzionale $L:{ℝ}^n\to ℝ$ vale quindi

$L(𝐡)=\sum _{i=1}^n{a}_i{e}^i(𝐡)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}d{x}_i(𝐡)=\sum _{i=1}^n{a}_i{h}_i,\mathrm{\forall }𝐡\in {ℝ}^n$.

Poiché i funzionali $\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}$ costituiscono una base per ${\left({ℝ}^n\right)}^{\ast }$, la rappresentazione utilizzata per un generico funzionale lineare su ${ℝ}^n$ è unica.

Definizione

Sia $A\subseteq {ℝ}^n$ un aperto. Si dice forma differenziale lineare un'applicazione $\omega :A\to {\left({ℝ}^n\right)}^{\ast }$ che ad ogni $𝐱\in A$ associa il funzionale lineare su ${ℝ}^n$

$\omega (𝐱)(𝐡)=\sum _{i=1}^n{a}_i(𝐱)d{x}_i(𝐡)=\sum _{i=1}^n{a}_i(𝐱)h_i,\mathrm{\forall }𝐡\in {ℝ}^n$.

Le funzioni $a_1(𝐱),a_2(𝐱),\dots ,a_n(𝐱)$ sono i coefficienti della forma differenziale; se tutti i coefficienti sono di classe $C^k$, con $k\ge 0$, la forma differenziale si dice di classe $C^k$.

Esempio

Sia $A\subseteq {ℝ}^3$ un aperto. Una generica forma differenziale lineare $\omega :A\to {\left({ℝ}^3\right)}^{\ast }$ si può rappresentare nella forma

$\omega (x,y,z)=a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz$.

Possiamo sempre associare ad essa il campo di forze $𝐅:A\to {ℝ}^3$ definito come:

$𝐅(x,y,z)=(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))$,

le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale.

Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare

Definizione

Sia $A\subset {ℝ}^n$ un aperto. Date una forma differenziale lineare continua $\omega :A\to {\left(R^n\right)}^{\ast }$ ed una curva regolare a tratti $\gamma :[a,b]\to A$, di equazioni parametriche $x_i=x_i(t),i=1,2,\dots ,n$, si definisce integrale della forma differenziale esteso alla curva $\gamma$ l'integrale:

${\int }_{\gamma }\omega \equiv {\int }_{\gamma }\omega (𝐱)(𝐓(𝐱))ds=\sum _{i=1}^n{\int }_a^b{a}_i(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)){x_i}^{\prime }(t)dt,$

dove $𝐓(𝐱)$ è il versore tangente alla curva in $𝐱$.

Proprietà

Elenchiamo ora alcune proprietà che derivano immediatamente dalla definizione:

1. Se indichiamo con $-\gamma$ la curva equivalente a $\gamma$, ma con orientazione opposta, risulta:

   ${\int }_{-\gamma }^{}\omega =-{\int }_{\gamma }\omega$

2. Se spezziamo $\gamma$ in $k$ curve regolari a tratti ${\gamma }_i:[t_{i-1},t_i]\to A,$ con $a=t_0<t_1<\dots <t_k=b,$ e ${\gamma }_i=\gamma {\upharpoonright }_{[t_{i-1},t_i]},$ risulta:

   ${\int }_{\gamma }\omega =\sum _{i=1}^k{\int }_{{\gamma }_i}\omega$

3. Se $\omega$ e $\zeta$ sono forme differenziali lineari continue in $A\subseteq {ℝ}^n$ e $\alpha ,\beta$ sono numeri reali, risulta:

   ${\int }_{\gamma }(\alpha \omega +\beta \zeta )=\alpha {\int }_{\gamma }\omega +\beta {\int }_{\gamma }\zeta$

Esempio

Sia $\omega (x,y,z)=a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz$ una forma differenziale lineare continua, definita in un aperto $A\subseteq {ℝ}^3$, e $\gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))$, con $t\in [a,b]$, una curva regolare a tratti con sostegno in $A$. Risulta:

${\int }_{\gamma }\omega ={\int }_{\gamma }\omega (x,y,z)(𝐓(x,y,z))ds=$

$={\int }_a^b\{a(x(t),y(t),z(t))x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t),z(t))y^{\prime }(t)+c(x(t),y(t),z(t))z^{\prime }(t)\}dt.$

Tale integrale coincide con il lavoro $W$ compiuto per spostare una particella da $\gamma (a)$ a $\gamma (b)$ lungo la curva dal campo di forze

$𝐅(x,y,z)=(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)).$