Analisi matematica > Forme differenziali lineari
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Sia
un aperto connesso; si dice campo di forze un'applicazione
, che ad ogni punto
associa un vettore
, che rappresenta la forza agente su di una particella puntiforme posta in
.
Data una curva regolare a tratti
di estremi
e
, tale che il suo sostegno
sia contenuto in
, si definisce il lavoro compiuto su di una particella per spostarla, lungo la curva, da
a
come:
,
dove
indica il versore tangente alla curva nel punto
.
Un campo di forze
si dice conservativo se il lavoro
compiuto dal campo di forze per spostare una particella da un generico punto
ad un punto
non dipende dalla curva
lungo cui ci si sposta, ma solo dai due estremi e dal verso di percorrenza.
Consideriamo il campo di forze generato da una particella puntiforme, di massa
, posta nell'origine del sistema di riferimento assegnato.
Il campo di forze agente su di una qualsiasi altra particella di massa
è, come è noto dalla Fisica:
,
dove
è la costante di gravitazione universale, ed
è la distanza della particella di massa
dall'origine.
Consideriamo ora una curva regolare a tratti
, di equazioni parametriche
;
il lavoro compiuto per spostare la particella di massa
lungo
, dal punto
al punto
, è:
Dal risultato si evince che il lavoro
non dipende dalla particolare curva scelta, ma solo dalla posizione iniziale e finale da essa assunte, ovvero il campo di forze da noi considerato è conservativo.
Questa proprietà sarà approfondita nella trattazione delle forme differenziali esatte.
Formalizziamo ora un concetto di cui quanto visto nel paragrafo precedente è un caso particolare; prima di procedere, abbiamo bisogno di alcune nozioni preliminari di Algebra lineare.
Nota:
inserire collegamento alla lezione di algebra lineare sui funzionali lineari, al momento non esistente
Un generico elemento dello spazio duale
di
, ovvero un generico funzionale lineare su
, può sempre essere scritto nella forma
,
dove gli
sono numeri reali, e
,
, è il funzionale lineare che ad ogni vettore
associa la sua componente i-esima
.
Il funzionale
vale quindi
.
Poiché i funzionali
costituiscono una base per
, la rappresentazione utilizzata per un generico funzionale lineare su
è unica.
Sia
un aperto. Si dice forma differenziale lineare un'applicazione
che ad ogni
associa il funzionale lineare su
.
Le funzioni
sono i coefficienti della forma differenziale; se tutti i coefficienti sono di classe
, con
, la forma differenziale si dice di classe
.
Sia
un aperto. Una generica forma differenziale lineare
si può rappresentare nella forma
.
Possiamo sempre associare ad essa il campo di forze
definito come:
,
le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale.
Sia
un aperto. Date una forma differenziale lineare continua
ed una curva regolare a tratti
, di equazioni parametriche
, si definisce integrale della forma differenziale esteso alla curva
l'integrale:
[1]
dove
è il versore tangente alla curva in
.
Elenchiamo ora alcune proprietà che derivano immediatamente dalla definizione:
- Se indichiamo con
la curva equivalente a
, ma con orientazione opposta, risulta:

- Se spezziamo
in
curve regolari a tratti
con
e
risulta:

- Se
e
sono forme differenziali lineari continue in
e
sono numeri reali, risulta:

Sia
una forma differenziale lineare continua, definita in un aperto
, e
, con
, una curva regolare a tratti con sostegno in
. Risulta:
Tale integrale coincide con il lavoro
compiuto per spostare una particella da
a
lungo la curva dal campo di forze
- ↑
Si noti che