Forme differenziali lineari

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search

Analisi matematica > Forme differenziali lineari

appunti
Forme differenziali lineari
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Lavoro e campi conservativi[modifica]

Sia un aperto connesso; si dice campo di forze un'applicazione , che ad ogni punto associa un vettore , che rappresenta la forza agente su di una particella puntiforme posta in .

Data una curva regolare a tratti di estremi e , tale che il suo sostegno sia contenuto in , si definisce il lavoro compiuto su di una particella per spostarla, lungo la curva, da a come:

,

dove indica il versore tangente alla curva nel punto .

Un campo di forze si dice conservativo se il lavoro compiuto dal campo di forze per spostare una particella da un generico punto ad un punto non dipende dalla curva lungo cui ci si sposta, ma solo dai due estremi e dal verso di percorrenza.

Esempio[modifica]

Consideriamo il campo di forze generato da una particella puntiforme, di massa , posta nell'origine del sistema di riferimento assegnato. Il campo di forze agente su di una qualsiasi altra particella di massa è, come è noto dalla Fisica:

,

dove è la costante di gravitazione universale, ed è la distanza della particella di massa dall'origine.

Consideriamo ora una curva regolare a tratti , di equazioni parametriche ; il lavoro compiuto per spostare la particella di massa lungo , dal punto al punto , è:

Dal risultato si evince che il lavoro non dipende dalla particolare curva scelta, ma solo dalla posizione iniziale e finale da essa assunte, ovvero il campo di forze da noi considerato è conservativo.

Questa proprietà sarà approfondita nella trattazione delle forme differenziali esatte.

Forme differenziali lineari[modifica]

Formalizziamo ora un concetto di cui quanto visto nel paragrafo precedente è un caso particolare; prima di procedere, abbiamo bisogno di alcune nozioni preliminari di Algebra lineare.

Stock post message.svg Nota:
inserire collegamento alla lezione di algebra lineare sui funzionali lineari, al momento non esistente

Un generico elemento dello spazio duale di , ovvero un generico funzionale lineare su , può sempre essere scritto nella forma

,

dove gli sono numeri reali, e , , è il funzionale lineare che ad ogni vettore associa la sua componente i-esima .

Il funzionale vale quindi

.

Poiché i funzionali costituiscono una base per , la rappresentazione utilizzata per un generico funzionale lineare su è unica.

Definizione[modifica]

Sia un aperto. Si dice forma differenziale lineare un'applicazione che ad ogni associa il funzionale lineare su

.

Le funzioni sono i coefficienti della forma differenziale; se tutti i coefficienti sono di classe , con , la forma differenziale si dice di classe .

Esempio[modifica]

Sia un aperto. Una generica forma differenziale lineare si può rappresentare nella forma

.

Possiamo sempre associare ad essa il campo di forze definito come:

,

le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale.

Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare[modifica]

Definizione[modifica]

Sia un aperto. Date una forma differenziale lineare continua ed una curva regolare a tratti , di equazioni parametriche , si definisce integrale della forma differenziale esteso alla curva l'integrale:

[1]

dove è il versore tangente alla curva in .

Proprietà[modifica]

Elenchiamo ora alcune proprietà che derivano immediatamente dalla definizione:

  1. Se indichiamo con la curva equivalente a , ma con orientazione opposta, risulta:
  2. Se spezziamo in curve regolari a tratti con e risulta:
  3. Se e sono forme differenziali lineari continue in e sono numeri reali, risulta:

Esempio[modifica]

Sia una forma differenziale lineare continua, definita in un aperto , e , con , una curva regolare a tratti con sostegno in . Risulta:

Tale integrale coincide con il lavoro compiuto per spostare una particella da a lungo la curva dal campo di forze

Note[modifica]

  1. Si noti che