Forme indeterminate (successioni)

Per comprendere appieno gli argomenti trattati in questa lezione è necessario conoscere i seguenti argomenti:algebra dei limiti

lezione Forme indeterminate (successioni)
	Tipo: lezione
	Materia: Analisi matematica
	Avanzamento: lezione completa al 75%

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Quando ci troviamo di fronte a successioni che divergono in senso opposto, non possiamo a priori stabilire la convergenza o meno della somma delle due successioni.

Cioè, se $(a_{n}) \to + \infty$ e $(b_{n}) \to - \infty$ , non possiamo sapere a cosa tenda $(a_{n} + b_{n})$ . Infatti, dipende tutto dalla situazione particolare: può essere convergente, può essere divergente positivamente, negativamente o addirittura essere oscillante!

Una forma di questo tipo si chiama forma indeterminata di tipo $\infty - \infty$ . Altre forme indeterminate sono

$\frac{\infty}{\infty}$
$\frac{0}{0}$

Facciamo qualche esempio:

$a_{n} = n^{2}, b_{n} = - n$ si ha $a_{n} + b_{n} = lim_{n \to \infty} n^{2} - n = lim_{n \to \infty} n^{2} (1 - \frac{1}{n}) = + \infty \cdot (1 - 0) = + \infty$
...

Teorema di Cesaro

Forme $\frac{\infty}{\infty}$

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ successioni reali e supponiamo che $b_{n}$ diverga positivamente. Inoltre sia $b_{n}$ una successione monotona strettamente crescente e positiva.

Allora, se esiste

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}}

esiste anche

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}

e i due limiti sono uguali.

Forme $\frac{0}{0}$

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ successioni reali tali che entrambe le successioni convergono a $0$ e $b_{n}$ sia monotona strettamente crescente o decrescente.

Allora, se esiste

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{b_{n + 1} - b_{n}}

esiste anche

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}

e i due limiti sono uguali.

Esempi