Studio di funzioni reali a valori reali

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lezione
Studio di funzioni reali a valori reali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica

Sia una funzione reale a valori reali. Lo studio di consiste nello studiare il suo andamento al variare della variabile indipendente nel suo dominio. Per realizzare tale studio si segue il seguente schema:

  • Dominio: determinare , ossia l'insieme di definizione della funzione ;
  • Simmetria: verificare se è eventualmente:
    • pari: ;
    • dispari: ;

oppure periodica di periodo : ;

  • Intersezione con gli assi e segno della funzione: se i calcoli lo permettono, individuare i punti d'intersezione di e , ossia trovare degli tali che , e, nel caso in cui vi sia definita, di e , ossia calcolarsi il punto e poi, se possibile, vedere per quali nel dominio vale e per quali nel dominio vale .
  • Limiti: calcolarsi i limiti agli estremi del dominio e verificare se vi sono punti di discontinuità:
    • eliminabile: ;
    • di prima specie: ;
    • e di seconda specie: : il limite destro oppure il limite sinistro per che tende a non esiste oppure è infinito;

Inoltre controllare se vi sono:

    • asintoti orizzontali, nel caso in cui il suo dominio sia illimitato a destra o a sinistra: . Se risulta vera ad esempio per che tende a , e tale limite sia , allora è asintoto orizzontale per che tende a .
    • asintoti verticali: : è di discontinuità di seconda specie, tale che almeno uno dei due limiti è infinito, allora è asintoto verticale per che tende a da destra o da sinistra.
    • nel caso in cui non vi siano asintoti orizzontali, cercare eventualmente gli asintoti obliqui: verificare prima se . Se risulta vera ad esempio per che tende a , allora occorre vedere se e se essa vale allora verificare se . Se tali condizioni valgono, allora è asintoto obliquo per che tende a . Da notare che se vi è un asintoto orizzontale, allora è un asintoto obliquo con .
  • Derivata prima: calcolarsi la derivata di , determinarsi il dominio della funzione derivata, vedere dove è crescente o decrescente e trovarsi i punti critici tramite lo studio del segno della funzione derivata e verificare se qualche punto critico è di massimo o di minimo relativo. Trovare eventuali punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale facendo i limiti agli estremi del dominio della derivata prima di .
  • Derivata seconda: calcolarsi la derivata seconda di , vedere dove è convessa o concava tramite il suo studio del segno, e trovare gli eventuali punti di flesso.