Successioni di funzioni

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Successioni di funzioni
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Analisi matematica > Successioni di funzioni

Definizione e funzione limite[modifica]

Sia . Sia l'insieme delle funzioni . Una successione di funzioni (reali a valori reali) è un'applicazione definita in questo modo:

Questa definizione contiene il concetto di successione reale: fissato un qualsiasi in , è l'applicazione che, ad ogni , associa il numero reale .

Si può definire la successione di funzioni anche come una funzione in due variabili, ossia:

Con questa definizione viene messa in evidenzia la dipendenza della funzione da e da .

Avendo visto che può essere espressa come un'applicazione che, ad ogni in , associa nell'insieme delle successioni reali, si può trasportare il concetto di limite di una successione reale a limite di una successione di funzioni, definita nel modo seguente:

sia . Tale insieme viene definito insieme di convergenza della successione.

Supponiamo . Allora è possibile definire l'applicazione: .

è definita come la funzione limite della successione , ossia .

Definizione delle convergenze[modifica]

Una successione di funzioni , definita in , si dice che converge puntualmente a una funzione in se, e solo se è limite della successione di , ossia, per la definizione di limite di una successione reale:

Va notato che, in base a questa definizione, dipende non solo da , ma anche, in generale, da .

Sia una successione di funzioni definita in . Allora essa converge uniformemente a in se, e solo se, in poche parole, dipende solo da , ossia:

Per definizione, se una successione di funzioni converge puntualmente(risp. uniformemente) alla funzione limite in , allora è chiaro che converge puntualmente(risp. uniformemente) .

La convergenza uniforme ha la seguente e utile equivalenza, facilmente dimostrabile:

  • , definito in , converge uniformemente a in
  • , ossia,

Questa equivalenza è molto utile per verificare la convergenza uniforme.

Esempi[modifica]

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inserire degli esempi

Collegamento tra le due convergenze[modifica]

Se converge uniformemente a in , allora converge puntualmente in .

Dimostrazione[modifica]

Sia fissato , e sia tale che .
È chiaro che, per la proprietà dell'estremo superiore, se scelgo , .
Per l'arbitrarietà di e , si è giunti alla tesi.

Il viceversa non vale in generale.

Stock post message.svg Nota:
mostrarlo con un esempio


Criteri di Cauchy[modifica]

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale[modifica]

converge puntualmente a in se e solo se

Dimostrazione[modifica]


converge puntualmente in , quindi, , la successione numerica è convergente ma, come è noto, ogni successione convergente è di Cauchy, quindi vale la tesi.

In base alle ipotesi, , la successione numerica è di Cauchy ma, in base al teorema di Cauchy sulle successioni numeriche, essa deve convergere a un valore , e quindi esiste ed è finito, , il limite della successione di funzioni, che denotiamo con , da cui segue la tesi.


Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme[modifica]

converge uniformemente a in se e solo se

Dimostrazione[modifica]


Dall'arbitrarietà di , segue la tesi.


è di Cauchy in , quindi e quindi c'è convergenza puntuale.
Per il teorema della permanenza del segno, se , allora . Dall'arbitrarietà di , segue la tesi.


Convergenza uniforme e continuità[modifica]

Teorema di inversione dei limiti[modifica]

Bisogna ricordare che, se , allora è chiamato derivato di , ed è l'insieme dei suoi punti di accumulazione (se si ha bisogno, rivederli qui).

Supponiamo che . Sia converge uniformemente a in . Sia . Supponiamo inoltre che . Allora:

, ossia,
.

Attenzione: la validità del teorema viene perduta se si sostituisce nelle ipotesi la convergenza uniforme con quella puntuale!

Dimostrazione[modifica]

Sia fissato . Per il criterio di Cauchy uniforme, sia tale che .
Sapendo che , allora, per il teorema della permanenza del segno (se si vuole rivederlo, qui), .
Ciò mostra che la successione è di Cauchy, quindi converge verso un , e quindi .

Sia fissato . Allora:



Siano fissati e . Per ipotesi , quindi .
Ciò implica che fissato .

Per l'arbitrarietà di , è stato dimostrato che:


Corollario (Teorema sulla continuità del limite)[modifica]

Sia converge uniformemente a in . Sia . Se, , è continua in , allora è continua in

Attenzione:vale la stessa considerazione fatta nel precedente teorema.

Dimostrazione[modifica]

, da cui la tesi.


Criterio 1[modifica]

Sia una successione di funzioni continue, che converge uniformemente a in . Se una successione reale che converge a , allora:

.

Dimostrazione[modifica]


Sia fissato .
Per l'uniforme convergenza, .
Per il teorema sulla continuità del limite, , e quindi .

In conclusione, fissato , da cui la tesi.


Convergenza uniforme ed integrabilità[modifica]

Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale[modifica]

Sia una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in che converge uniformemente a in . Allora è integrabile, e vale la formula:

Dimostrazione[modifica]

.
Ricordando che , e (rivedere Integrale di Riemann), allora si può dire che:

, per l'uniforme convergenza della successione.
Ciò implica che , e quindi è integrabile.

Inoltre:
.
Sia fissato . Per ipotesi .

Quindi: , cioè la tesi.


Convergenza uniforme e derivabilità[modifica]

Dimostriamo i seguenti due lemmi:

Lemma 1[modifica]

Sia una successione di funzioni derivabili in . Supponiamo che sia convergente e che converga uniformemente in . Allora converge uniformemente in

Dimostrazione[modifica]

e per si ha:

. Per il teorema di Lagrange, applicato alla funzione , (supponiamo ) tale che:
.
Da ciò segue che: .
Fissato .
Per il criterio di Cauchy uniforme,
Per il criterio di Cauchy per le successioni reali,
Cioè:


Lemma 2[modifica]

Sia una successione di funzioni derivabili che converge uniformemente in . Sia , e sia:

Se converge uniformemente in , allora converge uniformemente in

Dimostrazione[modifica]

Per e per , Per il teorema di Lagrange, applicato a , se , altrimenti in , tale che: .
Per il criterio di Cauchy uniforme, applicato a , .

Quindi converge uniformemente in , cioè la tesi.


Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata[modifica]

Sia una successione di funzioni derivabili in un intervallo . Supponiamo che sia convergente e che converga uniformemente in ogni . Allora converge uniformemente in ogni verso una funzione , derivabile in ogni e risulta:

Dimostrazione[modifica]

Dal lemma 1 segue che converge uniformemente in ogni . Sia la funzione limite. Fissati , e fissato , definiamo:
,
.
Per il lemma 2, converge uniformemente verso in .
Dal teorema di inversione dei limiti si ha: .
Per l'arbitrarietà di , e , segue la tesi.


Convergenza uniforme e monotonia[modifica]

Teorema del Dini per le successioni di funzioni[modifica]

Sia una successione di funzioni continue in , monotona rispetto a n (cioè, se ad esempio crescente: ), convergente puntualmente in verso una funzione continua . Allora converge uniformemente verso in .

Dimostrazione[modifica]

Supponiamo che sia monotona crescente (quindi ).
Supponiamo, per assurdo, che non converga uniformemente in . Quindi tale che:

Osserviamo che .
Fissato . Allora
Fissato , quindi
La successione , quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass,
Sappiamo che .
Per il teorema della permanenza del segno,
Per lo stesso teorema , e quindi 0>0, ovviamente assurdo.

L'errore è sorto nell'aver supposto che non converga uniformemente in , e quindi la tesi è verificata.


Teorema 2[modifica]

Sia una successione di funzioni, definite in e monotone rispetto alla variabile , che converge puntualmente in una funzione continua in . Allora è crescente, e la convergenza è uniforme in

Dimostrazione[modifica]

Fissato . Per ipotesi è continua in , e quindi, per il teorema di Cantor, uniformemente continua, e quindi:

Visto che c'è convergenza puntuale, siano i raggi di convergenza puntuale associati agli (e a , ovviamente), e sia .
.
Fissati e . Ecco cosa succede:

.
Scegliendo un , allora:


Sempre per ,

E quindi è stato mostrato che, , cioè la tesi.


Compattezza delle funzioni continue in [modifica]

Sia una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di contenente .
Tali funzioni si dicono equilimitate in se e solo se .

Tali funzioni si dicono equicontinue in se e solo se .

Teorema di Ascoli-Arzelà[modifica]

Se è una successione di funzioni equilimitate ed equicontinue in , allora essa ammette una successione estratta convergente uniformemente in .

Dimostrazione[modifica]

Sia l'insieme dei razionali di . Essendo di cardinalità infinita, allora , sottoinsieme di cardinalità infinita, è equipotente a , ma esso è a sua volta equipotente a , e quindi lo possiamo scrivere come una successione numerica: .

  • Diagonale di Cantor:

Consideriamo : la successione è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta (non è la successione delle derivate) convergente in . Sia il limite di tale successione.
Consideriamo : la successione è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta (non è la successione delle derivate seconde) convergente in . Sia il limite di tale successione.
Procedendo nella stessa maniera volte, si trova che:
Consideriamo la successione è una successione limitata per ipotesi, e quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una successione estratta (non è la successione delle derivate k-esime) convergente in . Sia il limite di tale successione.
Inoltre, per ogni converge a .

Procedendo indefinitamente, si è costruita la seguente tabella di successioni:

Adesso consideriamo la successione diagonale, ossia la seguente successione: . Per l'osservazione fatta precedentemente, per ogni , converge a .

  • Successione di Cauchy:

Fissato , sia tale che . Suddividiamo in sottointervalli aventi ampiezza minore di , e quindi , e in ciascuno degli intervalli , scegliamo un razionale, siano essi .
Allora, . Inoltre, per ogni , converge, e quindi essa è di Cauchy, e quindi .
Fissato , sia tale che . Allora, per ogni :

, e quindi soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi converge uniformemente in .