Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

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Intervalli e intorni

Sia $x_{0}\in \mathbb {R}$ e $\varepsilon >0$, si dice intorno di $x_{0}$ di raggio $\varepsilon$ l'intervallo

$]x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon [$

Rappresentiamo poi l'insieme degli intorni di $x_{0}$ con

${\mathcal {I}}_{x_{0}}=\{]x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon [\ :\ \varepsilon \in \mathbb {R} ,\varepsilon >0\}$

Punti di accumulazione

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$, un punto $x_{0}$ si dice punto di accumulazione di $A$ se per ogni intorno di $x_{0}$ esistono punti di $A$ diversi da $x_{0}$ stesso.

Formalmente:

$x_{0}$ punto di accumulazione di $A\ \Leftrightarrow (A\setminus \{x_{0}\})\cap I\neq \emptyset ,\ \ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di $A$ si indica con $D(A)$ e si chiama derivato di $A$.

Se un punto appartiene ad $A$ ma non al suo derivato, tale punto si dice punto isolato di $A$.

Proposizione

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$ finito. Allora $D(A)=\emptyset$.

Dimostrazione

Supponiamo $A\neq \emptyset$ (altrimenti l'affermazione è banale) e $A=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$. Prendiamo poi un qualsiasi numero reale $y$ e poniamo

$\phi =\min\{|y-x_{i}|,\ i\in 1,\dots ,n,\ x_{i}\neq y\}$

$\phi$ in altri termini, è il raggio più piccolo dell'intervallo che possiamo avere in $A$ per ogni numero reale che scegliamo. Si ha

$x_{i}\neq y$, $\phi >0,\ \forall y\in \mathbb {R} ,\forall x_{i}\in A$.

Supponiamo, per assurdo, che $D(A)\neq \emptyset$. Allora, esiste $x\in (A\setminus \{y\})\cap ]y-\phi ,y+\phi [$ e dunque $x=x_{i}$ (per un opportuno $i\in \{1,\dots ,n\}$, $x\neq y$ e $|x-y|<\phi$ (per la definizione di punto di accumulazione). Ma questo contraddice la definizione che abbiamo dato di $\phi$ (infatti $\phi$ è già il raggio minimo di un intervallo ottenibile in $A$ con il numero reale $y$) e prova l'asserto.

$\Box$

Lemma

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$ e $x_{0}\in \mathbb {R}$. Allora $x_{0}$ è un punto di accumulazione di $A$ se e solo se esiste una successione in $A\setminus \{x_{0}\}\ :\ \lim _{n\to +\infty }x_{n}=x_{0}$

Dimostrazione del Lemma

$\Rightarrow \ )$ $x_{0}\in D(A)$ implica ovviamente che $D(A)\neq \emptyset \Leftrightarrow (A\setminus \{x_{0}\})\cap I\neq \emptyset ,\ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$.

Allora questo varrà anche per l'intervallo di raggio ${\frac {1}{n}}$ , cioè

$(A\setminus \{x_{0}\})\cap ]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}[\neq \emptyset ,\ \forall n\in \mathbb {N}$

Per l'assioma della scelta, esiste una funzione che ad ogni naturale associa un elemento di $(A\setminus \{x_{0}\})\cap ]x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}[$. Tale funzione è allora una successione ed è convergente in $x_{0}$. Infatti $x_{0}-{\frac {1}{n}},x_{0}+{\frac {1}{n}}$ sono successioni convergenti a $x_{0}$ e

$x_{0}-{\frac {1}{n}}<x_{0}<x_{0}+{\frac {1}{n}}$.

Dunque, per il teorema del confronto, la successione converge a $x_{0}$.

$\Leftarrow \ )$ (completare la dimostrazione)

Teorema (esistenza di punti di accumulazione per insiemi infiniti e limitati)

Sia $A$ un sottoinsieme di $\mathbb {R}$ infinito e limitato. Allora $A$ ha punti di accumulazione.

Dimostrazione

Cerchiamo di ricondurci al caso del lemma precedente.
La prima ipotesi ci dice che $A$ è infinito, dunque esiste una successione in $A$ di valori distinti, cioè $a_{n}\neq a_{m},\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,n\neq m$.
Inoltre, la seconda ipotesi ci dice che $A$ è limitato e dunque sarà limitata anche la nostra successione. Allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un qualche punto $x_{0}\in \mathbb {R}$.

Ora, se ogni termine della sottosuccessione è diverso da $x_{0}$, per il lemma precedente $x_{0}$ è un punto di accumulazione di $A$ in quanto esiste una successione in $A\setminus \{x_{0}\}$ convergente a $x_{0}$. Se invece esiste un termine della sottosuccessione $x_{k_{r}}=x_{0},\ r\in \mathbb {N}$, essendo $x_{k_{q}}\neq x_{k_{r}},\ \forall q,r\in \mathbb {N}$ (per definizione di sottosuccessione, la quale ha indici crescenti e dunque diversi tra loro), esiste però una successione $(x_{k_{q+r}})$ i cui termini sono tutti diversi da $x_{0}$ ed anch'essa però convergente ad $x_{0}$ stesso (sempre per il teorema di Bolzano-Weierstrass). Dunque tale successione è in $A\setminus \{x_{0}\}$, convergente in $x_{0}$ e dunque, per il lemma precedente, $x_{0}\in D(A)$ e dunque $D(A)\neq \emptyset$.

$\Box$

Chiusura di un insieme ed insiemi chiusi

Un punto $x_{0}\in \mathbb {R}$ si dice è un punto aderente di un insieme $A\subseteq \mathbb {R}$ se

$A\cap I\neq \emptyset$

qualsiasi sia l'intervallo di $x_{0}$.

L'insieme dei punti aderenti di $A$ si dice chiusura di $A$ e si denota con il simbolo

${\overline {A}}$.

In termini intuitivi, un punto aderente è un punto reale "vicino quanto si voglia" ad un sottoinsieme $A$.

Proposizione

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$. Allora

${\overline {A}}=A\cup D(A)$.

Dimostrazione

Notiamo innanzitutto che ${\overline {A}}\supseteq A$ in quanto ogni punto di $A$ è ovviamente punto aderente di $A$, ma ce ne potrebbero essere anche altri al di fuori di $A$, dunque ${\rm {card}}{\overline {A}}\geq {\rm {card}}A$.
Analogamente, anche ${\overline {A}}\supseteq D(A)$ perché facendo il confronto di definizioni abbiamo

$x_{0}\in D(A)\Longleftrightarrow \left(A\setminus {x_{0}}\right)\cap I\neq \emptyset ,\ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

mentre

$x_{0}$ è un punto aderente di $A$ se e solo se $A\cap I\neq \emptyset ,\ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

Anche qui, la maggiore (o al più uguale) cardinalità della chiusura di $A$ rispetto ad $A$ stesso è evidente.

Ora, proviamo che $x_{0}\in A\cup D(A),\ \forall x_{0}\in {\overline {A}}$. Se $x_{0}\in A$ (preventivamente abbiamo supposto che stia nella chiusura), allora

$A={\overline {A}}=D(A)$

e non c'è nulla da provare.
Se invece $x_{0}\not \in A$, se però stà nella chiusura di $A$ abbiamo (dalla definizione)

$A\cap I\neq \emptyset ,\ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

che è equivalente a dire

$\left(A\setminus \{x_{0}\}\right)\cap I\neq \emptyset ,\ \forall I\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}$

dal momento che $A$ non contiene $x_{0}$.
Dunque abbiamo che $D(A)={\overline {A}}$, ma $D(A)\supset A$ in quanto contiene anche $x_{0}$

, dunque $D(A)\cup A=D(A)={\overline {A}}$.

$\Box$

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Un insieme $A\subseteq \mathbb {R}$ si dice chiuso se uguale alla sua chiusura, cioè se $A={\overline {A}}$.