Punti di accumulazione e chiusura di un insieme

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appunti
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Intervalli e intorni[modifica]

Sia e . Si dice intorno di di raggio l'intervallo

Rappresentiamo poi l'insieme degli intorni di con

Punti di accumulazione[modifica]

Sia . Un punto si dice punto di accumulazione di se per ogni intorno di esistono punti di diversi da stesso. Formalmente:

punto di accumulazione di


L'insieme di tutti i punti di accumulazione di si indica con e si chiama derivato di e se un punto non appartiene al derivato di , tale punto si dice punto isolato di .

Proposizione[modifica]

Sia finito. Allora .

Dimostrazione[modifica]

Supponiamo (altrimenti l'affermazione è banale) e . Prendiamo poi un qualsiasi numero reale e poniamo

in altri termini, è il raggio più piccolo dell'intervallo che possiamo avere in per ogni numero reale che scegliamo. Si ha

, .

Supponiamo, per assurdo, che . Allora, esiste e dunque (per un opportuno , e (per la definizione di punto di accumulazione). Ma questo contraddice la definizione che abbiamo dato di (infatti è già il raggio minimo di un intervallo ottenibile in con il numero reale ) e prova l'asserto.


Lemma[modifica]

Sia e . Allora è un punto di accumulazione di se e solo se esiste una successione in

Dimostrazione del Lemma[modifica]

implica ovviamente che .

Allora questo varrà anche per l'intervallo di raggio , cioè

Per l'assioma della scelta, esiste una funzione che ad ogni naturale associa un elemento di . Tale funzione è allora una successione ed è convergente in . Infatti sono successioni convergenti a e

.

Dunque, per il teorema del confronto, la successione converge a .

(completare la dimostrazione)

Teorema (esistenza di punti di accumulazione per insiemi infiniti e limitati)[modifica]

Sia un sottoinsieme di infinito e limitato. Allora ha punti di accumulazione.

Dimostrazione[modifica]

Cerchiamo di ricondurci al caso del lemma precedente.
La prima ipotesi ci dice che è infinito, dunque esiste una successione in di valori distinti, cioè .
Inoltre, la seconda ipotesi ci dice che è limitato e dunque sarà limitata anche la nostra successione. Allora, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un qualche punto .

Ora, se ogni termine della sottosuccessione è diverso da , per il lemma precedente è un punto di accumulazione di in quanto esiste una successione in convergente a . Se invece esiste un termine della sottosuccessione , essendo (per definizione di sottosuccessione, la quale ha indici crescenti e dunque diversi tra loro), esiste però una successione i cui termini sono tutti diversi da ed anch'essa però convergente ad stesso (sempre per il teorema di Bolzano-Weierstrass). Dunque tale successione è in , convergente in e dunque, per il lemma precedente, e dunque .


Chiusura di un insieme ed insiemi chiusi[modifica]

Un punto si dice è un punto aderente di un insieme se

qualsiasi sia l'intervallo di .

L'insieme dei punti aderenti di si dice chiusura di e si denota con il simbolo

.

In termini intuitivi, un punto aderente è un punto reale "vicino quanto si voglia" ad un sottoinsieme .

Proposizione[modifica]

Sia . Allora

.
Dimostrazione[modifica]

Notiamo innanzitutto che in quanto ogni punto di è ovviamente punto aderente di , ma ce ne potrebbero essere anche altri al di fuori di , dunque .
Analogamente, anche perché facendo il confronto di definizioni abbiamo

mentre

è un punto aderente di se e solo se

Anche qui, la maggiore (o al più uguale) cardinalità della chiusura di rispetto ad stesso è evidente.

Ora, proviamo che . Se (preventivamente abbiamo supposto che stia nella chiusura), allora

e non c'è nulla da provare.
Se invece , se però stà nella chiusura di abbiamo (dalla definizione)

che è equivalente a dire

dal momento che non contiene .
Dunque abbiamo che , ma in quanto contiene anche

, dunque .



Un insieme si dice chiuso se uguale alla sua chiusura, cioè se .