Compattezza di un insieme

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Compattezza di un insieme

Un insieme $A\subseteq ℝ$ si dice compatto se da ogni successione di punti di $A$ si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di $A$.

Prima di vedere alcune proprietà degli insiemi compatti, premettiamo il seguente Lemma.

Lemma

$A$ chiuso $⟺$ $(x_n)$ successione in $A:x_n\to x_0$ $\Rightarrow x_0\in A$.

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ $A$ chiuso significa $A=\bar{A}$, dunque se $x_0\in A$ ed $A$ è chiuso, allora $x_0\in \bar{A}$.
Ora, considerando una successione $x_n$ convergente ad un $x_0\in ℝ$, per il Lemma 1.1.2 (al quale sostituiamo $A\setminus \{x_0\}$ con $A$) $x_0\in \bar{A}$ e dunque $x_0\in A$.

$\Leftarrow )$ Se ogni successione in $A$ convergente a $x_0$ implica che $x_0\in A$, deve per forza essere $A$ chiuso. Infatti, se per assurdo $A\ne \bar{A}$, esiste almeno un $x_0\in \bar{A}$ che però non sta in $A$.

Però, sempre per il Lemma 1.1.2 (e sempre sostituendo gli insiemi in considerazione), se $x_0\in \bar{A}$ esiste una successione in $A$ convergente a $x_0$. Ma abbiamo ipotizzato prima che ogni successione in $A$ convergente ad un punto $x_0\in ℝ$ implicasse $x_0\in A$! Cadiamo in contraddizione e dunque completiamo così la dimostrazione.

$◻$

Nota:
completare gli ultimi due teoremi