Compattezza di un insieme

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Analisi matematica > Compattezza di un insieme

appunti
Compattezza di un insieme
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Compattezza di un insieme[modifica]

Un insieme si dice compatto se da ogni successione di punti di si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di .

Prima di vedere alcune proprietà degli insiemi compatti, premettiamo il seguente Lemma.

Lemma[modifica]

chiuso successione in .

Dimostrazione[modifica]

chiuso significa , dunque se ed è chiuso, allora .
Ora, considerando una successione convergente ad un , per il Lemma 1.1.2 (al quale sostituiamo con ) e dunque .

Se ogni successione in convergente a implica che , deve per forza essere chiuso. Infatti, se per assurdo , esiste almeno un che però non sta in .

Però, sempre per il Lemma 1.1.2 (e sempre sostituendo gli insiemi in considerazione), se esiste una successione in convergente a . Ma abbiamo ipotizzato prima che ogni successione in convergente ad un punto implicasse ! Cadiamo in contraddizione e dunque completiamo così la dimostrazione.


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completare gli ultimi due teoremi