Esercitazione 1 (analisi matematica)

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esercitazione
Esercitazione 1 (analisi matematica)
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: esercitazione completa al 100%.

Operazioni elementari con i numeri complessi[modifica]

Esercizio 1 Dati i numeri : con valutare:

(1)

(2)

(3)

Soluzione


(1) Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:

e allora:



Nel nostro facile esempio abbiamo che:

mentre dunque:



(2) Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

e mentre e .

Quindi:


.


Ora quindi l'espressione precedente diventa:



Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che


mentre di conseguenza:



(3) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di , è quindi necessario valutarlo. Dato un numero , si definisce numero complesso coniugato di , denotato con :

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di . Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di :

:

pertanto:


Esercizio 2

Determinare per quali valori reali si ha che

Soluzione È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

.

Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:

Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:

facendo i conti otteniamo che:

adesso facciamo una sostituzione all'indietro:

,

ma dunque

Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono: