Esercitazione 1 (analisi matematica)

Analisi matematica > Esercitazione 1 (analisi matematica)

• Indice delle lezioni di:
  • Analisi matematica
• Torna al corso:
  • Matematica

Operazioni elementari con i numeri complessi

Esercizio 1 Dati i numeri $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$: con $z_{1}=1+i,z_{2}=5+3i\,\!$ valutare:

(1) $z_{1}+z_{2}\,\!$

(2) $z_{1}z_{2}\,\!$

(3) $z_{1}{\bar {z_{2}}}$

Soluzione

(1) Ricordiamo ora la regola che ci permette di valutare la somma tra due numeri complessi:

$z_{1}=\Re {(z_{1})}+i\Im {(z_{1})}$ e $z_{2}=\Re {(z_{2})}+i\Im {(z_{2})}$ allora:

$z_{1}+z_{2}=\Re {(z_{1})}+\Re {(z_{2})}+i(\Im {(z_{1})}+\Im {(z_{2})})$

Nel nostro facile esempio abbiamo che:

$\Re {(z_{1})}=1,\Im {(z_{1})}=1$ mentre $\Re {(z_{2})}=5,\Im {(z_{2})}=3$ dunque:

$z_{1}+z_{2}=\Re {(z_{1})}+\Re {(z_{2})}+i(\Im {(z_{1})}+\Im {(z_{2})})=1+5+i(1+3)=6+4i$

(2) Ricordiamo che per valutare il prodotto di due numeri complessi si procede come segue.

Poniamo per semplicità notazionale:

$x_{1}=\Re {(z_{1})}$ e $y_{1}=\Im {(z_{1})}$ mentre $x_{2}=\Re {(z_{2})}$ e $y_{2}=\Im {(z_{2})}$.

Quindi:

$z_{1}z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)=x_{1}(x_{2}+y_{2}i)+y_{1}i(x_{2}+y_{2}i)=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}\,\!$.

Ora $i^{2}=-1$ quindi l'espressione precedente diventa:

$x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i\,\!$

Passiamo ora al calcolo effettivo. Nel nostro caso specifico abbiamo che

$x_{1}=\Re {(z_{1})}=1,y_{1}=\Im {(z_{1})}$ mentre $x_{2}=\Re {(z_{2})}=5,y_{2}=\Im {(z_{2})}=3$ di conseguenza:

$z_{1}z_{2}=(1+i)(5+3i)=(5+3i)+i(5+3i)=5+3i+5i-3=2+8i\,\!$

(3) In questo caso nel prodotto interviene il coniugato di $z_{2}$, è quindi necessario valutarlo. Dato un numero $z=x+yi\in \mathbb {C}$, si definisce numero complesso coniugato di $z$, denotato con ${\bar {z}}$:

${\bar {z}}:=x-yi$

In pratica abbiamo semplicemente cambiato il segno alla parte immaginaria di $z$. Utilizziamo questa definizione per valutare il coniugato di $z_{2}$:

${\bar {z_{2}}}=5-3i$:

pertanto:

$z_{1}{\bar {z_{2}}}=(1+i)(5-3i)=(5-3i)+i(5-3i)=5-3i+5i+3=8+2i$

---

Esercizio 2

Determinare per quali valori reali $x,y\,\!$ si ha che $4x+3xi+9y+4yi=13+7i\,\!$

Soluzione È necessario esprimere diversamente il primo membro in modo da evidenziare la parte reale e la parte immaginaria:

$4x+3xi+9y+4yi=(4x+9y)+(3x+4y)i=13+7i\,\!$.

Osserviamo che due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno sia la stessa parte reale che quella immaginaria. Ragionando in questo modo otteniamo un sistema di due equazioni e in due incognite:

$\left\{{\begin{matrix}4x+9y=13\\3x+4y=7\end{matrix}}\right.$

Possiamo risolverlo per sostituzione, dalla prima equazione $x={\frac {13-9y}{4}}$ sotituiamo il valore ottenuto nella seconda equazione ottenendo:

$3{\frac {13-9y}{4}}+4y=7\Rightarrow {\frac {39-27y+16y}{4}}={\frac {28}{4}}$

facendo i conti otteniamo che:

$-11y=-11\Rightarrow y=1$

adesso facciamo una sostituzione all'indietro:

$x={\frac {13-9y}{4}}$,

ma $y=1$ dunque $x={\frac {13-9}{4}}=1$

Pertanto i valori che soddisfano l'equazione sono:

$x=1,y=1\,\!$