Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale

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Esistenza del limite

Vediamo ora alcuni importanti criteri di esistenza del limite.

Teorema (unicità del limite)

Siano $A\subseteq ℝ,x_0\in D(A),f:A\to ℝ$. Sia poi $x_0$ reale o $\pm \mathrm{\infty }$. Se $f$ ha limite per $x$ che tende ad un fissato $x_0$, allora questo è unico.

In altri termini, se una funzione ha due limiti (sempre con $x_0$ fissato), allora necessariamente questi devono essere uguali.

Notazione

Quando vogliamo indicare che un numero reale $x$ è reale oppure $\pm \mathrm{\infty }$, scriviamo che $x\in \overline{ℝ}$, dove $\overline{ℝ}=ℝ\cup \pm \mathrm{\infty }$.

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esistano effettivamente due limiti ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ distinti. Se sono limiti distinti, distinti saranno anche i rispettivi intorni e dunque $I_{{\lambda }_1}\cap I_{{\lambda }_2}=\mathrm{\varnothing }$.
Per la definizione di limite si ha rispettivamente, considerando questi intorni disgiunti,

$\mathrm{\exists }{H}_1\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in I_{{\lambda }_1},\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}\cap H_1$

$\mathrm{\exists }{H}_2\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in I_{{\lambda }_2},\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}\cap H_2$

Ma allora

$f(x)\in I_{{\lambda }_1}\cap I_{{\lambda }_2},\mathrm{\forall }x\in H_1\cap H_2\cap A\setminus \{x_0\}$

e questo è impossibile, perché $x_0$ è un punto di accumulazione e quindi $A\setminus \{x_0\}\cap H_1\cap H_2\ne \mathrm{\varnothing }$ anche $I_{{\lambda }_1}\cap I_{{\lambda }_2}\ne \mathrm{\varnothing }$, contraddicendo l'ipotesi che erano disgiunti. Dunque si ha per forza che

${\lambda }_1={\lambda }_2$.

$◻$

---

È bene non farsi ingannare da alcuni metodi "meccanici" tipici dell'insegnamento delle scuole superiori (quali, ad esempio, calcolare il limite di una funzione che tende a $x_0$ calcolando semplicemente il valore di $f(x_0)$...). Una cosa del genere è possibile (anche se priva di ogni senso, se fatta in questo modo meccanico...) soltanto in particolari casi di funzioni. Ma in generale, ciò potrebbe anche non avere alcun senso in quanto $x_0$ potrebbe non essere nemmeno un punto del dominio della funzione!
Vediamo ora una proposizione che ci dimostra quanto invece sia molto più importante il comportamento di una funzione in opportuni intorni.

Proposizione

Sia $A\subseteq ℝ$, $f,g:A\to ℝ$ ed $x_0\in \overline{ℝ}$ un punto di accumulazione di $A$.
Se esiste un qualche intorno $H_0$ di $x_0$ tale che $f(x)=g(x),\mathrm{\forall }x\in A\setminus \{x_0\}\cap H_o$ ed esiste il limite per $x\to x_0$ di $f(x)$, allora esiste anche il limite di $g(x)$ (sempre per $x\to x_0$) e i due limiti sono uguali.

Dimostrazione

Sia $\lambda$ il limite di $f(x)$ per $x\to x_0$. Per la definizione di limite si ha

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$.

Ponendo $K=H_0\cap H$, abbiamo che $f(x)=g(x)$ per ogni $x$ nell'intervallo $K$ (se le due funzioni assumono gli stessi valori in $H_0$, continueranno a farlo nell'intersezione). Dunque

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }K\in {ℐ}_{x_0}:g(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap K$.

Pertanto

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\lambda =\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

$◻$

Teorema (limite delle restrizioni)

Siano $B\subseteq A\subseteq ℝ$, $x_0$ un punto di accumulazione di $A$ e di $B$. Sia infine $f:A\to ℝ$.
Allora, se esiste il limite di $f(x)$, esiste anche il limite di $f(x),x\in B$ ed i due limiti coincidono.

Dimostrazione

Sia $\lambda$ il limite di $f(x)$. Sempre per la definizione di limite, abbiamo

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$.

Ma $B\subseteq A$ e dunque la definizione sopra vale a maggior ragione per $B$, dal momento che vale per ogni $x\in A$ escluso $x_0$ e $B\subseteq A$. In definitiva

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (B\setminus \{x_0\})\cap H$

e dunque

$\underset{x\to x_0}{lim}{f}_{{|}_B}(x)=\lambda$

$◻$

Concludiamo questa non certo leggera ma fondamentale lezione con un teorema molto importante che ci può aiutare a stabilire quando esiste il limite di una funzione.

Teorema (esistenza del limite rispetto alle successioni convergenti)

Siano $A\subseteq ℝ$, $x_0$ un punto di accumulazione di $A$, $f:A\to ℝ$. Siano infine $\lambda ,x_0\in \overline{ℝ}$.
Allora, esiste il limite di $f(x)$ per $x\to x_0$ ed è $\lambda$ se e solo se, per ogni successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x_0$, $f(x_n)\to \lambda$.
Formalizzando:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\lambda \iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\lambda ,\mathrm{\forall }(x_n)\in A\setminus \{x_0\}:x_n\to x_0$.

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\lambda$ e consideriamo $(x_n)\to x_0$ una successione convergente a $x_0$ in $A\setminus \{x_0\}$.
Confrontiamo ora le due definizioni, quella di limite di funzione e di limite di una successione:

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in L,\mathrm{\forall }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H$

$\mathrm{\forall }{L}^{\prime }\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:x_n\in L^{\prime },\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

Siccome $(x_n)$ è una successione in $a\setminus \{x_0\}$, ogni $x_n$ appartiene ad $a\setminus \{x_0\}$. Inoltre, ogni $x_n$ con $n>m$ appartiene anche a $H$ intorno di $x_0$, perché la successione converge ad $x_0$ per ipotesi.
Mettendo insieme le cose, $f(x_n)\in L,\mathrm{\forall }n>m$. In definitiva:

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{\lambda }\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:f(x_n)\in L,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$.

$\Leftarrow )$ . Supponiamo ora che $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\lambda$ per ogni successione $(x_n)\in A\setminus \{x_0\}$ convergente ad $x_0$.
Per assurdo, supponiamo che se si ha l'ipotesi, non accade che $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\lambda$. Allora, negando la definizione di limite, otteniamo:

$\mathrm{\exists }L\in {ℐ}_{\lambda }:\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H:f(x)\in ̸L$

cioè, per ogni intervallo di $x_0$, esiste almeno un $x\in (A\setminus \{x_0\})$ intersecato questo intervallo per cui si ha che $f(x)\in ̸L$, per un qualche $L$ intervallo del limite.
Poniamo allora

$H_n=\{\begin{array}{c}]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[,x_0\in ℝ\\ ]n,+\mathrm{\infty }[,x_0=+\mathrm{\infty }\\ ]-\mathrm{\infty },x_0[,x_0=-\mathrm{\infty }\end{array}$.

e

$A_n=\{x\in (A\setminus \{x_0\})\cap H:f(x)\in ̸L\}$

Per la negazione della definizione di limite che abbiamo dato prima, $A_n\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ ed è certamente contenuto in $A\setminus \{x_0\}$. Allora, per l'assioma della scelta, esiste una funzione $x:\mathbb{N}\to A\setminus \{x_0\}$ tale che $x(n)\equiv x_n\in A_n$, per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Ma $(x_n)$ è dunque una successione in $A\setminus \{x_0\}$ tale che $x_n\in H_n$ e $f(x_n)\in ̸L$ e conseguentemente $x_n\to x_0$ ma $f(x_n)\to ̸\lambda$.
Questo contraddice la tesi.

$◻$

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