Funzioni continue reali di variabile reale

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Sia $f:A\to ℝ$, $A\subseteq ℝ$ e $x_0$ un punto di accumulazione di $A$.
La funzione $f$ si dice continua in $x_0$ se

$\mathrm{\forall }V\in {ℐ}_{f(x_0)}\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in V,\mathrm{\forall }x\in A\cap H$

oppure

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|f(x)-f(x_0)|<\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in A,x\in |x-x_0|<\delta$

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.

Se $f$ è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che $f$ è continua su $A$.

nota

Si indica con $C(A,ℝ)$ l'insieme delle funzioni da $A$ ad $ℝ$ continue in ogni punto di $A$.

Continuità

Se $x_0\in ̸D(A)$ e $x_0\in A$, esiste $H\in {ℐ}_{x_0}:A\cap H=\{x_0\}$ e dunque, per ogni intorno di $V\in {ℐ}_{f(x_0)}$ si ha che $f(x)\in V,\mathrm{\forall }x\in A\cap H$. Infatti, se $x\in A\cap H$ si ha per forza che $x=x_0$ e dunque certamente $f(x_0)\in ]f(x_0)-\delta ,f(x_0)+\delta [$.

Se invece $x_0\in D(A)$, $f$ è continua se e solo se $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$. Infatti, se il limite di $f(x)$ è $f(x_0)$, per la definizione di limite si ha:

Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere

.

Criteri di continuità

Lemma (esistenza di una successione convergente)

Siano $A\subseteq ℝ,x_0\in A,f:A\to ℝ$.

$f$ è continua in $x_0$ $⟺$ $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(x_0),\mathrm{\forall }(x_n)\in A$ convergente a $x_0$

Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo $f$ continua in $x_0$ e $(x_n)$ convergente a $x_0$. Se $f$ è continua in $x_0$ si ha

$\mathrm{\forall }V\in {ℐ}_{f(x_0)}\mathrm{\exists }H\in {ℐ}_{x_0}:f(x)\in V,\mathrm{\forall }x\in A\cap H$.

Inoltre, se $(x_n)\to x_0$, si ha

$\mathrm{\forall }L\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:x_n\in L,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$.

Abbiamo che $x_n\in A,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ (essendo una successione in $A$) e $x_n\in A\cap H$ solo se $n>m$.
Otteniamo dunque

$\mathrm{\forall }V\in {ℐ}_{f(x_0)}\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:f(x_n)\in V,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

che è la definizione del limite $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(x_0)$.

$\Leftarrow )$ . Supponiamo $f(x_n)\to f(x_0)$, qualunque sia la successione $(x_n)\in A$ convergente a $x_0$. Per provare che $f$ è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora

$\mathrm{\exists }V\in {ℐ}_{f(x_0)}:\mathrm{\forall }H\in {ℐ}_{x_0}\mathrm{\exists }x\in A\cap H:f(x)\in ̸V$.

In parole povere, c'è un qualche intervallo di $f(x_0)$ per cui, per ogni intervallo di $x_0$, si ha che $f(x)$ non sta in quell'intervallo, per un qualche $x$ nell'intervallo di $x_0$.
Ora, la successione $(x_n)$ è convergente a $x_0$, dunque per ogni intervallo di $x_0$ ci saranno dei termini di $(x_n)$. L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di $x_0$, il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in $V$ (cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di $f$). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }{x}_n\in A\cap ]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n}[:f(x_n)\in ̸V$ (*)

La successione è convergente in $x_0$ ma $f(x_n)\to ̸f(x_0)$ perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che $f(x_n)\to f(x_0)$ e prova il Lemma.

$◻$

Proposizione (continuità di della funzione composta)

Se $f:A\to B,g:B\to ℝ$ sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

$g\circ f$

è continua su tutto $A$ (cioè su tutto il suo dominio).

Dimostrazione

$g\circ f$ è continua in $A$ se è continua in $x_0$, per ogni $x_0\in A$. Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in $A$ convergente a $x_0\in A$. Siccome, per ipotesi, $f$ è continua in $x_0$ (lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque $f(x_n)\to f(x_0)$. Per ipotesi, anche $g$ è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in $f(x_0)=y_0\in B$.
Dunque, sempre per il Lemma,

$g(y_n)\to g(y_0)⟺g(f(x_n))\to g(f(x_0)),\mathrm{\forall }{x}_0\in A$.

$◻$

Algebra delle funzioni continue

Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.

Siano $A\subseteq ℝ$, $f,g$ funzioni continue su tutto $A$.

Somma di funzioni continue

$f+g\in C(A,ℝ)$

Infatti:

$\underset{x\to x_0}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)+\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=f(x_0)+g(x_0)$.

Prodotto di funzioni continue

$fg\in C(A,ℝ)$

Quoziente di funzioni continue

$\frac{f}{g}\in C(A,ℝ)$