Analisi matematica > Funzioni continue reali di variabile reale
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Sia
,
e
un punto di accumulazione di
.
La funzione
si dice continua in
se

oppure

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.
Se
è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che
è continua su
.
nota
|
Si indica con l'insieme delle funzioni da ad continue in ogni punto di .
|
Se
e
, esiste
e dunque, per ogni intorno di
si ha che
. Infatti, se
si ha per forza che
e dunque certamente
.
Se invece
,
è continua se e solo se
. Infatti, se il limite di
è
, per la definizione di limite si ha:
Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere
.
Lemma (esistenza di una successione convergente)
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Siano
.
. Supponiamo
continua in
e
convergente a
. Se
è continua in
si ha
.
Inoltre, se
, si ha
.
Abbiamo che
(essendo una successione in
) e
solo se
.
Otteniamo dunque

che è la definizione del limite
.
. Supponiamo
, qualunque sia la successione
convergente a
. Per provare che
è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora
.
In parole povere, c'è un qualche intervallo di
per cui, per ogni intervallo di
, si ha che
non sta in quell'intervallo, per un qualche
nell'intervallo di
.
Ora, la successione
è convergente a
, dunque per ogni intervallo di
ci saranno dei termini di
. L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di
, il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in
(cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di
). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo
(*)
La successione è convergente in
ma
perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che
e prova il Lemma.

Proposizione (continuità di della funzione composta)
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Se
sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

è continua su tutto
(cioè su tutto il suo dominio).
è continua in
se è continua in
, per ogni
. Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in
convergente a
. Siccome, per ipotesi,
è continua in
(lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque
. Per ipotesi, anche
è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in
.
Dunque, sempre per il Lemma,
.

Algebra delle funzioni continue
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Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.
Siano
,
funzioni continue su tutto
.

Infatti:
.

Quoziente di funzioni continue
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