Funzioni continue reali di variabile reale

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Analisi matematica > Funzioni continue reali di variabile reale

appunti
Funzioni continue reali di variabile reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Sia , e un punto di accumulazione di .
La funzione si dice continua in se

oppure

La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.

Se è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che è continua su .


nota
Si indica con l'insieme delle funzioni da ad continue in ogni punto di .


Continuità[modifica]

Se e , esiste e dunque, per ogni intorno di si ha che . Infatti, se si ha per forza che e dunque certamente .

Se invece , è continua se e solo se . Infatti, se il limite di è , per la definizione di limite si ha:

Stock post message.svg Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere

.

Criteri di continuità[modifica]

Lemma (esistenza di una successione convergente)[modifica]

Siano .

è continua in convergente a
Dimostrazione[modifica]

. Supponiamo continua in e convergente a . Se è continua in si ha

.

Inoltre, se , si ha

.

Abbiamo che (essendo una successione in ) e solo se .
Otteniamo dunque


che è la definizione del limite .

. Supponiamo , qualunque sia la successione convergente a . Per provare che è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora

.

In parole povere, c'è un qualche intervallo di per cui, per ogni intervallo di , si ha che non sta in quell'intervallo, per un qualche nell'intervallo di .
Ora, la successione è convergente a , dunque per ogni intervallo di ci saranno dei termini di . L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di , il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in (cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di ). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo

(*)

La successione è convergente in ma perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che e prova il Lemma.


Proposizione (continuità di della funzione composta)[modifica]

Se sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta

è continua su tutto (cioè su tutto il suo dominio).

Dimostrazione[modifica]

è continua in se è continua in , per ogni . Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in convergente a . Siccome, per ipotesi, è continua in (lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque . Per ipotesi, anche è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in .
Dunque, sempre per il Lemma,

.


Algebra delle funzioni continue[modifica]

Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.

Siano , funzioni continue su tutto .

Somma di funzioni continue[modifica]


Infatti:

.

Prodotto di funzioni continue[modifica]

Quoziente di funzioni continue[modifica]