Analisi matematica > Funzioni continue reali di variabile reale
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Sia
,
e
un punto di accumulazione di
.
La funzione
si dice continua in
se
![{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\ \exists H\in {\mathcal {I}}_{x_{0}}\ :\ f(x)\in V,\ \forall x\in A\cap H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e813956b10cc4fd9842e2070f6f78c7748e3ff)
oppure
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in |x-x_{0}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad28f4021671581adba5ceb09dad990de9f3c64)
La definizione esprime il seguente concetto: a piccole variazioni dei valori del domino corrispondono piccole variazione dei valore della funzione.
Se
è continua in ogni punto del suo dominio, allora si dice che
è continua su
.
nota
|
Si indica con l'insieme delle funzioni da ad continue in ogni punto di .
|
Se
e
, esiste
e dunque, per ogni intorno di
si ha che
. Infatti, se
si ha per forza che
e dunque certamente
.
Se invece
,
è continua se e solo se
. Infatti, se il limite di
è
, per la definizione di limite si ha:
Nota:
dimostrazione non chiara. rivedere
.
Lemma (esistenza di una successione convergente)
[modifica]
Siano
.
. Supponiamo
continua in
e
convergente a
. Se
è continua in
si ha
.
Inoltre, se
, si ha
.
Abbiamo che
(essendo una successione in
) e
solo se
.
Otteniamo dunque
![{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {I}}_{f(x_{0})}\exists m\in \mathbb {N} \ :\ f(x_{n})\in V,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab21a69fe58398893e667c110964b1a6e198915f)
che è la definizione del limite
.
. Supponiamo
, qualunque sia la successione
convergente a
. Per provare che
è continua, ragioniamo per assurdo e supponiamo che non lo sia. Allora
.
In parole povere, c'è un qualche intervallo di
per cui, per ogni intervallo di
, si ha che
non sta in quell'intervallo, per un qualche
nell'intervallo di
.
Ora, la successione
è convergente a
, dunque per ogni intervallo di
ci saranno dei termini di
. L'affermazione sopra dice che per ogni intervallo di
, il valore della funzione di ogni punto di questi intervalli non sta in
(cioè in quell'intervallo per cui non vale la continuità di
). Dunque, in particolare, possiamo prendere questo
(*)
La successione è convergente in
ma
perché (*) è addirittura la negazione della definizione di limite!
Questo contraddice l'ipotesi che
e prova il Lemma.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Proposizione (continuità di della funzione composta)
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Se
sono funzioni continue in tutto il loro dominio, allora la funzione composta
![{\displaystyle g\circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92)
è continua su tutto
(cioè su tutto il suo dominio).
è continua in
se è continua in
, per ogni
. Allora, per il Lemma precedente, prendiamo una successione in
convergente a
. Siccome, per ipotesi,
è continua in
(lo è addirittura in tutto il suo dominio) e dunque
. Per ipotesi, anche
è continua in tutto il suo dominio ed in particolare anche in
.
Dunque, sempre per il Lemma,
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Algebra delle funzioni continue
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Enunciamo qui le quattro proprietà delle funzioni continue. Dimostriamo solo la prima per ragioni di brevità, ma provare a dimostrarle è un utile esercizio che vi invitiamo a fare.
Siano
,
funzioni continue su tutto
.
![{\displaystyle f+g\in C(A,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f483e8203e6fc4beb710af61f56cc733dd0c8dc)
Infatti:
.
![{\displaystyle fg\in C(A,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3720ff6573d1030f89f4956b676e4bd96814e5c)
Quoziente di funzioni continue
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![{\displaystyle {\frac {f}{g}}\in C(A,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c638c08fd862c83674f8f9c2ae2f5a21a1b55cd4)