Funzioni circolari

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appunti
Funzioni circolari
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 50%.

Circonferenza unitaria[modifica]

La circonferenza unitaria, detta anche goniometrica è la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Circonferenza unitaria.png

Per brevità la indicheremo con la circonferenza unitaria e con la semicirconferenza unitaria formata dai complessi con parte immaginaria non negativa, cioè in altri termini primo e quatro quadrante.
Definiamo poi l' arco di estremi 1 e l'insieme dei punti di tali che la parte reale di ogni punto di questo insieme sia minore uguale di .

Notiamo che per ogni punto di esiste un solo tale che . Infatti se così non fosse, avremmo che e di conseguenza , che implica o . Ma per ipotesi e dunque non è possibile che anche e dunque non può essere e così l'unicità è dimostrata.
Ponendo (sempre considerandoci in

si ha infatti:

. Ora, ricordando che perché e sostituendo al numeratore con , abbiamo
.

Graficamente, è il punto medio dell'arco da ad .

Punto medio arco circonferenza unitaria.png

Definiamo poi una successione tale che

.

In altri termini, abbiamo definito la successione "punto medio" di ogni segmento tale da creare segmenti sempre più piccoli avvicinandosi sempre di più alla circonferenza, per che tende all'infinito.

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da a come

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni applicato alla successione comporta che il segmento disti e dunque, siccome sono , la lunghezza dell'intero arco fino ad è data da . La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di .

Poniamo infine (in accordo con l'usuale conoscenza che abbiamo di come .

Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arco[modifica]

Vediamo ora alcuni aspetti importanti di e di .
Siano e . Si ha allora che

.

Per definizione di sappiamo che è quell'unico elemento tale che . Notiamo però che e dunque è quell'unico elemento in che elevato al quadrato da . Quindi è .

Inoltre, . La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

Infatti, nel caso , visto che , e dunque

.

Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)[modifica]

e lo è anche

Non dimostreremo questa proposizione adesso in quanto si richiedono conoscenze di continuità e di connessione che vedremo più avanti. Per ora, accettate "con fiducia" quanto detto.

Per ogni poniamo

.

Essendo , possiamo porre

Formula di Eulero[modifica]

Dalla definizione di numero complesso, si ha:


Radici n-esime complesse[modifica]

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