Analisi matematica > Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
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Punto di Accumulazione[modifica]
Sia
,
un intorno di
e
l'insieme degli intorni di
.
Si dice che
è un punto di accumulazione di
se

quindi

In altri termini, per ogni intorno del punto
, esiste almeno un altro punto di
che non sia
.
Si dice derivato di
l'insieme dei punti di accumulazione di
e si indica con
.
punti di accumulazione[modifica]
Sia
. Si dice che
è un punto di accumulazione di
se:

In questa definizione evitiamo di specificare
perché
non è un punto di
.
Possiamo dedurre questa interessante osservazione:
Sia
un punto di accumulazione di
. Allora
(ricordiamo che
)
se e solo se
cioè

Dunque
non ha maggiorante.
Definizione di Limite[modifica]
Sia
. Scrivere

significa che se
è "vicino" a
allora anche
è vicina a
.
Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o
) per
che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o
). Per comodità di notazione scriveremo

Enunciamo ora la definizione di limite:
Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza.
Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.
Caso1:
e limite reale[modifica]
In questo caso, con
reale e il limite reale, abbiamo
![{\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{\lambda }=\{]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\varepsilon >0\}\\{\mathcal {I}}_{x_{0}}=\{]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [,\delta >0\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aaf4ed1382fe696456d5525d29d063980acb5c7)
Dunque,
lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [,\forall x\in A\setminus \{x_{0}\},x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33f9460cc7f84eafadf1129348d99e5e637b97c)
Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che
![{\displaystyle f(x)\in ]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow ]\lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon [\Leftrightarrow -\varepsilon <f(x)-\lambda <\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-\lambda |<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025dfea3de63d5b64171c71edc3754d3085770d0)
ed allo stesso modo
![{\displaystyle x\in ]x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta [=x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta =-\delta <x-x_{0}<\delta \Leftrightarrow |x-x_{0}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28577f6f18692e7276bb1b58c18979fa86dc9d7)
Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.
Caso2:
e limite
[modifica]
I rispettivi intervalli sono
e ![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{+\infty }=]y,+\infty [,\ y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6e0a6484152c734f75de2d2720ed6ceae9b8d5)
La definizione di limite diventa per questo caso

e nella versione operativa

Caso3:
e limite
[modifica]
I rispettivi intervalli sono
e ![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{-\infty }=]-\infty ,y[,\ y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f959aecd51bbac8b57cfac5cc530bbf1c1191a4e)
Dunque, la definizione di limite diventa

e nella versione operativa

Caso4:
e limite reale[modifica]
Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono
e ![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba054e9f864843d0c1dbeb91d0c624c89a60c2d8)
La definizione di limite è allora

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale
tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno
abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di
(tendente quindi a
).
In versione compatta abbiamo

Caso5:
e limite reale[modifica]
e ![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }=]\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba054e9f864843d0c1dbeb91d0c624c89a60c2d8)
La definizione di limite è

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale
tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno
abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di
(tendente quindi a
).
In versione compatta abbiamo

Caso6:
[modifica]
e ![{\displaystyle {\mathcal {I}}_{\lambda }={\mathcal {I}}_{+\infty }=]z,+\infty [,z\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab05580a3d8ec120f249856ea7ca323d0d709a48)
e dunque

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di


.