Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale

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appunti
Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 100%.

Punto di Accumulazione[modifica]

Sia , un intorno di e l'insieme degli intorni di .
Si dice che è un punto di accumulazione di se

quindi

In altri termini, per ogni intorno del punto , esiste almeno un altro punto di che non sia .

Si dice derivato di l'insieme dei punti di accumulazione di e si indica con .

Esempio[modifica]

punti di accumulazione[modifica]

Sia . Si dice che è un punto di accumulazione di se:

In questa definizione evitiamo di specificare perché non è un punto di .

Possiamo dedurre questa interessante osservazione:

Sia un punto di accumulazione di . Allora

(ricordiamo che )

se e solo se

cioè

Dunque non ha maggiorante.


Definizione di Limite[modifica]

Sia . Scrivere

significa che se è "vicino" a allora anche è vicina a .

Definizione limite.png

Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o ) per che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o ). Per comodità di notazione scriveremo

Enunciamo ora la definizione di limite:

Sia e sia e . Si dice che tende a per che tende a e si scrive

se


Questa è la definizione generale di limite per una funzione. È davvero molto importante e BISOGNA saperla maneggiare con grande naturalezza. Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.

Caso1: e limite reale[modifica]

In questo caso, con reale e il limite reale, abbiamo

Dunque, lo possiamo rappresentare in base alla definizione di limite come

Ma possiamo giungere anche ad una notazione un po' più compatta. Infatti notiamo che

ed allo stesso modo

Si ottiene infine, con questa nuova notazione,

che è la notazione compatta e più operativa che useremo d'ora in avanti.

Caso2: e limite [modifica]

I rispettivi intervalli sono

e

La definizione di limite diventa per questo caso

e nella versione operativa

Caso3: e limite [modifica]

I rispettivi intervalli sono

e

Dunque, la definizione di limite diventa

e nella versione operativa

Caso4: e limite reale[modifica]

Procediamo come al solito, con i rispettivi intervalli che sono

e

La definizione di limite è allora

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di (tendente quindi a ).

In versione compatta abbiamo

Caso5: e limite reale[modifica]

e

La definizione di limite è

cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di (tendente quindi a ).

In versione compatta abbiamo

Caso6: [modifica]

e

e dunque

Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite. Come esercizio provate a fare voi gli altri, cioè nel caso di

  • .