Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy

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Introduciamo qui alcuni teoremi di notevole importanza del punto di vista del calcolo differenziale.

Teorema di Fermat

Sia $A\subseteq \mathbb {R}$ e $x_{0}$ un punto interno di $A$. Sia inoltre $f:A\to \mathbb {R}$ derivabile in $x_{0}$.

Allora se $x_{0}$ è un estremo relativo di $f$ si ha

$f'(x_{0})=0\,\!$.

Dimostrazione

Supponiamo $x_{0}$ punto di massimo di f (è naturalmente possibile ragionare in maniera analoga considerandolo un punto di minimo). Allora se $x_{0}$ è massimo relativo di f si avrà che,

$f(x)-f(x_{0})\leq 0$ in un intorno del tipo $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subseteq A$ con $\delta \in \mathbb {R} ^{+}$. Dunque:

• ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq 0,\forall x\in (x_{0},x_{0}+\delta )$

e

• ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq 0,\forall x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})$ quindi

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq 0$

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq 0$.

Ma sappiamo $f$ derivabile in $x_{0}$ per ipotesi, dunque possiamo dedurre che

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=0$.

$\Box$

Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente teorema di Rolle.

Teorema di Rolle

Siano $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ed $f$ una funzione continua in $[a,b]$ derivabile in ogni punto di $]a,b[$. Supponiamo

$f(a)=f(b)$. Allora:

$\exists c\in ]a,b[$ tale che $f'(c)=0$.

Dimostrazione

In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo $[a,b]$ ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con $M$ e $m$).

Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi (dunque $a,b$ sono estremanti ) oppure almeno uno dei due appartiene all'intervallo $]a,b[$.

Caso 1) Il massimo e il minimo si trovano entrambi negli estremi e quindi poiché $f(a)=f(b)$ ne segue dalla continuità di $f$ che $M=m.$

Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo $[a,b]$ e quindi la derivata è nulla in ciascun punto $c$ dell'intervallo $]a,b[$.

Caso 2) Il massimo o il minimo si trovano all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto $c$ dell'intervallo aperto $]a,b[$, cioè $f(c)=M$.

Dunque per il Teorema di Fermat la derivata è nulla nel punto $c$.

$\Box$

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Teorema di Lagrange

Supponiamo una funzione $f(x)$ definita nell'intervallo$[a,b]$ come nell'immagine a fianco, continua nell'intervallo e ogni suo punto ha una tangente, e tracciamo la retta secante il grafico che passa per i punti $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$, gli estremi di $f(x)$ nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà $f(x)$ almeno in due punti, inizialmente: $f(a)$ e $f(b)$.

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla curva nel punto $(c,f(c))$: il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate è sempre possibile trovare un punto $c$, come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

Sia $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$. Allora:

$\exists \ c\ \in ]a,b[\ :f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Dimostrazione

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il teorema di Rolle. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi del teorema di Lagrange.

Sia $g(x)$ la seguente funzione:

$g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$

Si tratta della retta passante per i punti $\,A$ $\,B$ della figura.

Sia ora $\,h$ la differenza tra le due funzioni $\,f,g$ $\,h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

$h(x)=f(x)-g(x)\,$

$g(a)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(a-a)=f(a)$

$g(b)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)=f(a)+f(b)-f(a)=f(b)$

Quindi h(x) si annulla nei punti a e b (vi assume quindi valori identici):

$h(a)=f(a)-g(a)=0\qquad \qquad h(b)=f(b)-g(b)=0$

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo [a, b], derivabile in (a, b) ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

La funzione h(x) è continua perché somma di funzione continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

Applichiamo quindi il teorema alla funzione h(x), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

$\exists \ c\in (a,b):h'(c)=0$

$h'(c)=f'(c)-g'(c)=0\Longrightarrow \ f'(c)=g'(c)$

g(x) è una retta, la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:

$g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

$f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

ed il teorema è così dimostrato.

$\Box$

Teorema di Cauchy

Siano $a,b\in \mathbb {R}$ con $a<b$ e siano $f,g\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ derivabili in ogni punto di $]a,b[$. Supponiamo $g'(x)\neq 0$ per ogni $x\in ]a,b[$. Allora esiste un punto $c\in ]a,b[$ tale che

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Dimostrazione

Si consideri la funzione $h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)$ definita su $[a,b]$ Verifica tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, infatti è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$.

Inoltre si ha che $h(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)$ e $h(b)=-f(a)g(b)+g(a)f(b)$ Quindi esiste un punto $c$ in $(a,b)$ tale che $h'(c)=0$, cioè $0=[f(b)-f(a)]g'(c)-[g(b)-g(a)]f'(c)$

Come volevasi dimostrare.