Analisi matematica > Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
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Introduciamo qui alcuni teoremi di notevole importanza del punto di vista del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat[modifica]
Supponiamo
punto di massimo di f (è naturalmente possibile ragionare in maniera analoga considerandolo un punto di minimo). Allora se
è massimo relativo di f si avrà che,
in un intorno del tipo
con
. Dunque:

e
quindi

.
Ma sappiamo
derivabile in
per ipotesi, dunque possiamo dedurre che
.

Una conseguenza del teorema di Fermat è il seguente teorema di Rolle.
Teorema di Rolle[modifica]
Siano
ed
una funzione continua in
derivabile in ogni punto di
. Supponiamo
. Allora:
tale che
.
In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull'intervallo
ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con
e
).
Si danno due casi: o il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi (dunque
sono estremanti ) oppure almeno uno dei due appartiene all'intervallo
.
Caso 1) Il massimo e il minimo si trovano entrambi negli estremi e quindi poiché
ne segue dalla continuità di
che
Questo implica che la funzione è costante sull'intervallo
e quindi la derivata è nulla in ciascun punto
dell'intervallo
.
Caso 2) Il massimo o il minimo si trovano all'interno dell'intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto
dell'intervallo aperto
, cioè
.
Dunque per il Teorema di Fermat la derivata è nulla nel punto
.

Teorema di Lagrange (o del valor medio)[modifica]
Supponiamo una funzione
definita nell'intervallo
come nell'immagine a fianco, continua nell'intervallo e ogni suo punto ha una tangente, e tracciamo la retta secante il grafico che passa per i punti
e
, gli estremi di
nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà
almeno in due punti, inizialmente:
e
.
Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla curva nel punto
: il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate è sempre possibile trovare un punto
, come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.
Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il teorema di Rolle. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi del teorema di Lagrange.
Sia
la seguente funzione:

Si tratta della retta passante per i punti
della figura.
Sia ora
la differenza tra le due funzioni
Quindi h(x) si annulla nei punti a e b (vi assume quindi valori identici):
Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo [a, b], derivabile in (a, b) ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.
La funzione h(x) è continua perché somma di funzione continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.
Applichiamo quindi il teorema alla funzione h(x), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:
g(x) è una retta, la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:
ed il teorema è così dimostrato.

Teorema di Cauchy[modifica]
Siano
con
e siano
derivabili in ogni punto di
. Supponiamo
per ogni
. Allora esiste un punto
tale che

Si consideri la funzione
definita su
Verifica tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, infatti è continua in
e derivabile in
.
Inoltre si ha che
e
Quindi esiste un punto
in
tale che
, cioè
Come volevasi dimostrare.