Esercitazione 2 (analisi matematica)

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I seguenti esercizi fanno riferimento alla lezione sulle successioni reali. Vi invito a leggere la parte teorica prima di procedere alla risoluzione degli esercizi.

Successioni

Esercizio 1

Scrivere i primi cinque termini della successione

1. $(a_n{)}_n={\left(\frac{1}{n^2}\right)}_n$
2. $(b_n{)}_n={\left(n^2\right)}_n$
3. $(c_n{)}_n={(n+\frac{1}{n})}_n$
4. $(d_n{)}_n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}_n$

Svolgimento

1. $a_1=1,a_2=\frac{1}{4},a_3=\frac{1}{9},a_4=\frac{1}{16},a_5=\frac{1}{25}$, mettiamo in evidenza il fatto che è impossibile valutare il termine $a_0$ questo perché per $n=0$ il termine $1/n$ perde di significato.

2. $b_0=0,b_1=1,b_2=4,b_3=9,b_4=16$, a differenza della precedente successione, qui possiamo calcolare $b_0$

3. $c_1=2,c_2=\frac{5}{2},c_3=\frac{10}{3},c_4=\frac{17}{4},c_5=\frac{26}{5}$

4. $d_1=2,d_2=\frac{3}{2},d_3=\frac{4}{3},d_4=\frac{5}{4},d_5=\frac{6}{5}$

Esercizio 2

Studiare il segno, la monotonia e la limitatezza delle seguenti successioni:

• $(a_n{)}_n={\left(\frac{1}{n^2}\right)}_n$.

Svolgimento

Il termine n-esimo della successione è $a_n=\frac{1}{n^2}$. Poiché per ogni $n>0$ naturale si ha che $n^2>0$ pertanto $\frac{1}{n^2}>0$.

In questo modo abbiamo ottenuto due informazioni importanti, la prima è che la successione è positiva, la seconda è che la successione è limitata inferiormente.

Ora per ogni $n>0$ naturale si ha che $n<n+1$ ne segue che $n^2<(n+1{)}^2$, pertanto

$a_{n+1}=\frac{1}{(n+1{)}^2}<\frac{1}{n^2}=a_n$

otteniamo quindi che la successione è strettamente decrescente. La decrescenza della successione inoltre ci assicura che ogni elemento della successione è minore o uguale del primo termine, cioè $a_1\ge a_n$ ma $a_1=1$ concludiamo che $0<a_n\le 1$, cioè la successione è limitata sia superiormente che inferiomente.

Limite di successioni

Limiti fondamentali

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^{\alpha }}=0\mathrm{\forall }\alpha >0$.

Svolgimento

Dimostrazione: Sia $ϵ>0$, l'intento è quello di determinare esplicitamente un numero naturale $m$ tale che

$\mathrm{\forall }n>m⟹\left|\frac{1}{n^{\alpha }}\right|<\epsilon$.

Sia fissato $\epsilon >0$, dobbiamo risolvere la disequazione $\left|\frac{1}{n^{\alpha }}\right|<\epsilon$ rispetto ad n. Si osservi ora che il valore assoluto in $\left|\frac{1}{n^{\alpha }}\right|$ è superfluo, poiché $\frac{1}{n^{\alpha }}>0$, ne consegue che $\left|\frac{1}{n^{\alpha }}\right|<\epsilon$ può essere riscritto come $\frac{1}{n^{\alpha }}<\epsilon$ da cui $n^{\alpha }>\frac{1}{\epsilon }⟹n>\sqrt[\alpha ]{\frac{1}{\epsilon }}$. Basta prendere quindi $m=\left[\sqrt[\alpha ]{\frac{1}{\epsilon }}\right]$, dove con [*] si indica la funzione parte intera.

Esercizio 1

• Dimostrare che $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+1}{n+1}=2$.

Svolgimento

Dimostrazione: Per la definizione di limite, abbiamo che

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:|\frac{2n+1}{n+1}-2|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$.

Troviamo allora qual è questo $m$.

$|\frac{2n+1}{n+1}-2|<\epsilon \iff =|-\frac{1}{n+1}|<\epsilon \iff \frac{1}{n+1}<\epsilon \iff$ $1<n\epsilon +\epsilon \iff n>\frac{1-\epsilon }{\epsilon }=\frac{1}{\epsilon }-1$.

Dunque, per ogni $\epsilon >0$, esiste un $m\in N$ (ad esempio $\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$) tale che la successione differisca per $\epsilon$ per un infinitesimo, purché l'indice $n$ della successione sia abbastanza grande ed in particolare più grande di $m=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$.