Numeri interi

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Conosciamo già l'insieme dei numeri naturali, che in questa sede comprende pure lo 0:

$\mathbb {N} =\{0,1,2,...,n,...\}$.

Conosciamo pure le operazioni tra numeri naturali e le loro proprietà. In particolare sappiamo che l'operazione di sottrazione non è sempre eseguibile: la possiamo infatti eseguire se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. È questo il motivo che ha portato alla formazione dell'insieme dei numeri interi che indichiamo con $\mathbb {Z}$.

Costruzione e definizione formale

Inanzitutto si definisce la relazione $*$:

$\forall a,b,c,d\in \mathbb {N} ,(a;b)*(c;d)\Leftrightarrow a+d=b+c$.

Ora notiamo che $*$ è una relazione di equivalenza (la dimostrazione la lasciamo al lettore). Per questo motivo si può eseguire una partizione in $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ mediante la relazione $*$. Possiamo ora dare la seguente definizione.

Definizione

Definiamo insieme dei numeri interi l'insieme $\mathbb {Z} :=\mathbb {N} ^{2}|*$, ovvero l'insieme quoziente di $\mathbb {N} ^{2}$ con la relazione $*$. Diciamo numero intero l'insieme

$[(a;b)]:=\{(x;y)\in \mathbb {N} ^{2}|(x;y)*(a;b)\}$

dove $a,b\in \mathbb {N}$.

Somma

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

$+:\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N}$.

Agli elementi $a,b\in \mathbb {N}$ viene associato un nuovo elemento che si dice $a+b$, formalmente:

$(a,b)\mapsto a+b$

Assiomi dell'operazione somma

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in $\mathbb {N}$,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con $0$:

$a+0=0+a=a\,\!$ $\forall a\in \mathbb {N}$

2) $a+b=b+a\,\!$ $\forall a,b\in \mathbb {N}$, (proprietà commutativa);

3) $a+(b+c)=(a+b)+c\,\!$ $\forall a,b,c\in \mathbb {N}$, (proprietà associativa o del porre parentesi).

Prodotto

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

$\cdot :\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N}$

Agli elementi $a,b\in \mathbb {N}$ viene associato un nuovo elemento che si dice $ab$ oppure $a\cdot b$:

$(a,b)\mapsto a\cdot b$

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodotto

1) Esiste, in $\mathbb {N}$,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con $1$:

$a\cdot 1=1\cdot a=a$ $\forall a\in \mathbb {N}$

2) $a\cdot b=b\cdot a\,\!$ $\forall a,b\in \mathbb {N}$, (proprietà commutativa);

3) $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\,\!$ $\forall a,b,c\in \mathbb {N}$, (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi: $a\cdot 0=0$ $\forall a\in \mathbb {N}$, che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\,\!$ $\forall a,b,c\in \mathbb {N}$

.

Principio di induzione

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri. (Vedere anche Gli assiomi di Peano e il principio di induzione.)

Considerata una determinata proprietà, $P(n)$, che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera $P(1)$ e se la verità di $P(n-1)$ implica quella della proposizione $P(n)$ per ogni $n\in \mathbb {N}$ diverso da uno, allora la proprietà $P$ è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi $n$ numeri naturali è

$S(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$

. $S(n)=1+2+3+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}$ è vera nel caso $n=1$ infatti

$S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1$

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico $n-1\in \mathbb {N}$ si studia il valore $S(n)$: $S(n)=S(n-1)+n$

$S(n-1)+n={\frac {n(n-1)}{2}}+n={\frac {n(n-1)+2n}{2}}=$

$={\frac {n(n+1)}{2}}$

Dunque la proprietà risulta vera $\forall n\in \mathbb {N}$.

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi $n$ quadrati è $Q(n)=1^{2}+2^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$.

Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale $s$ in poi: se la proprietà $P(n)$ risulta vera per un certo $s\in \mathbb {N}$ e se la verità di $P(n-1)$ implica quella della proposizione $P(n)$ per ogni $n-1\in \mathbb {N} ,n<s$ allora la proprietà $P(n)$ è vera per ciascun numero naturale non minore di $s$.

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di $n$ lati, $n>3$, è dato da $D(n)={\frac {n(n-3)}{2}}$.