Numeri interi

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lezione
Numeri interi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.

Conosciamo già l'insieme dei numeri naturali, che in questa sede comprende pure lo 0:

.

Conosciamo pure le operazioni tra numeri naturali e le loro proprietà. In particolare sappiamo che l'operazione di sottrazione non è sempre eseguibile: la possiamo infatti eseguire se e solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. È questo il motivo che ha portato alla formazione dell'insieme dei numeri interi che indichiamo con .

Costruzione e definizione formale[modifica]

Inanzitutto si definisce la relazione :

.

Ora notiamo che è una relazione di equivalenza (la dimostrazione la lasciamo al lettore). Per questo motivo si può eseguire una partizione in mediante la relazione . Possiamo ora dare la seguente definizione.

Definizione

Definiamo insieme dei numeri interi l'insieme , ovvero l'insieme quoziente di con la relazione . Diciamo numero intero l'insieme

dove .


Somma[modifica]

La somma associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale, questa frase si sintetizza formalmente come segue:

.

Agli elementi viene associato un nuovo elemento che si dice , formalmente:

Assiomi dell'operazione somma[modifica]

Valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di somma :

1) Esiste, in ,un elemento neutro rispetto alla somma che si indica con :

2) , (proprietà commutativa);

3) , (proprietà associativa o del porre parentesi).

Prodotto[modifica]

Il prodotto associa ad ogni coppia di numeri naturali un opportuno naturale:

Agli elementi viene associato un nuovo elemento che si dice oppure :

valgono le seguenti proprietà (assiomi) dell'operazione di prodotto :

Proprietà dell'operazione prodotto[modifica]

1) Esiste, in ,un elemento neutro rispetto al prodotto che si indica con :



2) , (proprietà commutativa);

3) , (proprietà associativa).

Valgono due ulteriori assiomi: , che in realtà sarà una proposizione dimostrabile nell'insieme dei numeri interi;

e la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

.

Principio di induzione[modifica]

Il principio di Induzione è un ulteriore assioma della Teoria dei Numeri. (Vedere anche Gli assiomi di Peano e il principio di induzione.)

Considerata una determinata proprietà, , che può essere vera o falsa per ciascun numero naturale, il principio afferma che se risulta vera e se la verità di implica quella della proposizione per ogni diverso da uno, allora la proprietà è vera per ciascun numero naturale.

Ad esempio si può utilizzare tale principio per dimostrare che la somma dei primi numeri naturali è

. è vera nel caso infatti

è l'effettivo valore somma per il primo numero naturale.

Supponendo vera la proprietà nel caso di un generico si studia il valore :

Dunque la proprietà risulta vera .

Nella stessa maniera è un utile esercizio dimostrare che la somma dei primi quadrati è .


Il principio di induzione può essere "generalizzato" nel senso che può essere applicato per dimostrare la verità di proposizioni da un certo naturale in poi: se la proprietà risulta vera per un certo e se la verità di implica quella della proposizione per ogni allora la proprietà è vera per ciascun numero naturale non minore di .

Può essere un ulteriore esercizio dimostrare per induzione che il numero di diagonali di un poligono di lati, , è dato da .