Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

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Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)

Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ a valori reali. Allora $f\in {ℛ}_{[a,b]}$.

Dimostrazione

$f$ è continua in $[a,b]$ per ipotesi, dunque $|f(x)-f(x^{\prime })|<\epsilon ,\mathrm{\forall }\epsilon ,\delta >0,\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in [a,b],|x-x^{\prime }|<\delta$.

Sia poi $\sigma =\{x_0,\dots ,x_n\}$ una scomposizione con parametro di finezza $|\sigma |<\delta$. Si ha

$S(f,\sigma )-s(f,\sigma )=\sum _{i=1}^n(\underset{I_i}{sup}f-\underset{I_i}{inf}f)(x_{i+1}-x_i)$ .

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ esistono degli ${x_i}^{\prime },{x_i}^{″}$ tali che $f({x_i}^{\prime })=\underset{I_i}{sup}f$ e $f({x_i}^{″})=\underset{I_i}{inf}$.

Si ha inoltre che $|{x_i}^{\prime }-{x_i}^{″}|\le \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{s}{I}_i\le |\sigma |\le \delta ,\mathrm{\forall }i\in \{1,2,\dots ,n\}$ e per la continuità, abbiamo $f({x_i}^{\prime })-f({x_i}^{″})<\epsilon$ e infine

$S(f,\sigma )-s(f,\sigma )<\sum _{i=1}^n\epsilon \cdot \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{s}{I}_i=\epsilon \sum _{i=1}^n\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{s}{I}_i=\epsilon (b-a)$

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che $f\in {ℛ}_{[a,b]}$.

$◻$

Proposizione

Sia $f:[a,b]\to ℝ$ una funzione limitata e sia $c\in ]a,b[$. Allora

$f\in {ℛ}_{[a,b]}⟺f\in {ℛ}_{[a,c]}\wedge f\in {ℛ}_{[c,b]}$ .