Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

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appunti
Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 75%.

Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)[modifica]

Sia una funzione continua in a valori reali. Allora .


Dimostrazione[modifica]

è continua in per ipotesi, dunque .

Sia poi una scomposizione con parametro di finezza . Si ha

.

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni esistono degli tali che e .

Si ha inoltre che e per la continuità, abbiamo e infine

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che .


Corollario (integrabilità delle funzioni monotone in un intervallo chiuso)[modifica]

Dimostrazione[modifica]

Proposizione[modifica]

Sia una funzione limitata e sia . Allora

.


Dimostrazione[modifica]

Proposizione (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo aperto)[modifica]

Dimostrazione[modifica]

Proposizione[modifica]

Dimostrazione[modifica]