Analisi matematica > Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
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Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)
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è continua in
per ipotesi, dunque
.
Sia poi
una scomposizione con parametro di finezza
. Si ha

.
Per il Teorema di Weierstrass, per ogni
esistono degli
tali che
e
.
Si ha inoltre che
e per la continuità, abbiamo
e infine
E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che
.

Corollario (integrabilità delle funzioni monotone in un intervallo chiuso)
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Sia
una funzione limitata e sia
. Allora
![{\displaystyle f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}\Longleftrightarrow f\in {\mathcal {R}}_{[a,c]}\wedge f\in {\mathcal {R}}_{[c,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe5b2b70f42742c8d6737b1ba5bcb1b4acb1ae6)
.
Proposizione (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo aperto)
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