Altri criteri di integrabilità secondo Riemann

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Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)

Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ a valori reali. Allora $f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}$.

Dimostrazione

$f$ è continua in $[a,b]$ per ipotesi, dunque $|f(x)-f(x')|<\varepsilon ,\ \forall \varepsilon ,\delta >0,\forall x,x'\in [a,b],\ |x-x'|<\delta$.

Sia poi $\sigma =\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ una scomposizione con parametro di finezza $|\sigma |<\delta$. Si ha

$S(f,\sigma )-s(f,\sigma )=\sum _{i=1}^{n}(\sup _{I_{i}}f-\inf _{I_{i}}f)(x_{i+1}-x_{i})$ .

Per il Teorema di Weierstrass, per ogni $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ esistono degli $x_{i}',x_{i}''$ tali che $f(x_{i}')=\sup _{I_{i}}f$ e $f(x_{i}'')=\inf _{I_{i}}$.

Si ha inoltre che $|x_{i}'-x_{i}''|\leq {\rm {mis}}I_{i}\leq |\sigma |\leq \delta ,\ \forall i\in \{1,2,\dots ,n\}$ e per la continuità, abbiamo $f(x_{i}')-f(x_{i}'')<\varepsilon$ e infine

$S(f,\sigma )-s(f,\sigma )<\sum _{i=1}^{n}\varepsilon \cdot {\rm {mis}}I_{i}=\varepsilon \sum _{i=1}^{n}{\rm {mis}}I_{i}=\varepsilon (b-a)$

E abbiamo già finito, perché per il Teorema di Riemann concludiamo che $f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}$.

$\Box$

Proposizione

Sia $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ una funzione limitata e sia $c\in ]a,b[$. Allora

$f\in {\mathcal {R}}_{[a,b]}\Longleftrightarrow f\in {\mathcal {R}}_{[a,c]}\wedge f\in {\mathcal {R}}_{[c,b]}$ .