Analisi matematica > Funzioni monotone
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Si dice che una funzione
è monotona
- crescente quando
![{\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3526e0eb5e029c24b01620eb80d81bc58c355c18)
- strettamente crescente quando
![{\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76057dfc75705f22c44a76cfe76351fb4958669)
- decrescente quando
![{\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2}),\ \forall x_{1}\leq x_{2}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e86b583bcf10bad05245e473bbfc65bd0f4253c)
- strettamente decrescente quando
![{\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2}),\ \forall x_{1}<x_{2}\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5584786ca757e371a3cc880338d4e20e5e498142)
nota
|
Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo e .
|
Esistenza del limite per le funzioni monotone
[modifica]
Sia
. Allora:
e ![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ac60fbdf1224a59a0d01b0ca69d3f89cf05da)
e ![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\sup _{A\cap ]-\infty ,x_{0}[}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec68c6baf639db41e80ce259be3d618e7a666f2)
e ![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\sup _{A}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c6c59e2b1bf43068f62d5b0c544a58e514d4f8)
e ![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\inf _{A}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb8d79c12d43c79305e87a9b668fc6dec42d65d)
In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.
Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima
.
Per definizione di estremo inferiore, se
è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in
, non dimentichiamolo) di
. Dunque, se aggiungiamo qualcosa a
, non è più un minorante e dunque esiste in
un qualche valore che chiamiamo
tale che
sia minore di
, cioè
.
D'altra parte, per la monotonia (crescente) di
,
ed in particolare se
. Conseguentemente
e questo vale quindi, per ogni
tale che
.
D'altra parte, poiché
, abbiamo che
e conseguentemente
.
Dunque abbiamo visto che
è compresa tra
e
per degli opportuni
e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x'[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cac011375d5835d3bae2b07a1f4eab6362e319)
Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo
(che è maggiore di zero) si ha
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists \delta >0\ :\ \lambda -\varepsilon <f(x)<\lambda +\varepsilon ,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3680d48f91fe9e8047f82c217498e55f1fbda7cb)
che è la definizione di questo limite:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lambda =\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086ccd35db6c5dfdb76cae7858836938aa30e8ec)
Se invece
, abbiamo che
.
Poiché
è monotona crescente, si ha
(e naturalmente
. Dunque, ponendo anche qui
, abbiamo:
![{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \exists \delta >0\ :\ f(x)<y,\ \forall x\in A,x\in ]x_{0},x_{0}+\delta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02448b19edc13363dfc63d5b944633ed0e142d41)
che è la definizione di questo limite:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty =\inf _{A\cap ]x_{0},+\infty [}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf8eb5d83cf03370146647e4e5dd8899e2a1bea)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96994bba313bf5f858c0d245c0e173238cdd681e)
La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se
, si ha che
perché
.
Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere
esiste ed è uguale al
.
d'altra parte,
che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e
. Dunque, per il precedente Teorema,
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\ln x=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96994bba313bf5f858c0d245c0e173238cdd681e)
come si voleva dimostrare.
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8886764acce409bb35d0520dffd94ff5f95c5ef5)
Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente
(sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere
esiste ed è uguale al
. Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che
e siccome
è una successione divergente a
, allora certamente
sarà anche lui
. Dunque, per il Teorema precedente,
.
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