Funzioni monotone

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Si dice che una funzione $f:A\to ℝ$ è monotona

• crescente quando $f(x_1)\le f(x_2),\mathrm{\forall }{x}_1\le x_2\in A$
• strettamente crescente quando $f(x_1)<f(x_2),\mathrm{\forall }{x}_1<x_2\in A$
• decrescente quando $f(x_1)\ge f(x_2),\mathrm{\forall }{x}_1\le x_2\in A$
• strettamente decrescente quando $f(x_1)>f(x_2),\mathrm{\forall }{x}_1<x_2\in A$

nota

Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo $f\uparrow$ e $f\downarrow$.

Esistenza del limite per le funzioni monotone

Sia $f:A\to ℝ,f\uparrow$. Allora:

1. $x_0\in D(A)\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ e $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f$
2. $x_0\in D(A)\cap ]-\mathrm{\infty },x_0[\mathrm{\exists }\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$ e $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{A\cap ]-\mathrm{\infty },x_0[}{sup}f$
3. $+\mathrm{\infty }\in D(A)\mathrm{\exists }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ e $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{A}{sup}f$
4. $-\mathrm{\infty }\in D(A)\mathrm{\exists }\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ e $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{A}{inf}f$

In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.

Dimostrazione

Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima $\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f=\lambda \in ℝ$.
Per definizione di estremo inferiore, se $\lambda$ è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in $f$, non dimentichiamolo) di $A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[$. Dunque, se aggiungiamo qualcosa a $\lambda$, non è più un minorante e dunque esiste in $A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[$ un qualche valore che chiamiamo $x^{\prime }$ tale che $f(x^{\prime })$ sia minore di $\lambda +\epsilon$, cioè

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{x}^{\prime }\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[:f(x^{\prime })<\lambda +\epsilon$.

D'altra parte, per la monotonia (crescente) di $f$,

$f(x)\le f(x^{\prime }),\mathrm{\forall }x\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[,x\le x^{\prime }$ ed in particolare se $x<x^{\prime }$. Conseguentemente

$f(x)<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[,x<x^{\prime }$ e questo vale quindi, per ogni $x$ tale che $x_0<x<x^{\prime }$.

D'altra parte, poiché $\lambda =\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f$, abbiamo che

$\lambda \le f(x),\mathrm{\forall }x\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[$ e conseguentemente

$\lambda -\epsilon <f(x),\mathrm{\forall }x\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[$.

Dunque abbiamo visto che $f(x)$ è compresa tra $\lambda -\epsilon$ e $\lambda +\epsilon$ per degli opportuni $x$ e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\lambda -\epsilon <f(x)<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in A,x\in ]x_0,x^{\prime }[$

Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo $\delta =x^{\prime }-x_0$ (che è maggiore di zero) si ha

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\lambda -\epsilon <f(x)<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in A,x\in ]x_0,x_0+\delta [$

che è la definizione di questo limite:

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\lambda =\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f$

Se invece $\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f=-\mathrm{\infty }$, abbiamo che

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }{x}^{\prime }A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[:f(x^{\prime })<y\in$.

Poiché $f$ è monotona crescente, si ha $f(x)\le f(x^{\prime }),\mathrm{\forall }x<x^{\prime }$ (e naturalmente $x\in A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[)$. Dunque, ponendo anche qui $\delta =x^{\prime }-x_0$, abbiamo:

$\mathrm{\forall }y\in ℝ\mathrm{\exists }\delta >0:f(x)<y,\mathrm{\forall }x\in A,x\in ]x_0,x_0+\delta [$

che è la definizione di questo limite:

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }=\underset{A\cap ]x_0,+\mathrm{\infty }[}{inf}f$

$◻$

Esempi conclusivi

Esempio 1

1

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln x=+\mathrm{\infty }$

La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se $x<x^{\prime }\in A={ℝ}^{+}$, si ha che $y=\ln x<y^{\prime }=\ln x^{\prime }$ perché $e^y<e^{y^{\prime }},\mathrm{\forall }y<y^{\prime }$.

Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln x$ esiste ed è uguale al $\underset{{ℝ}^{+}}{sup}\ln$.
d'altra parte, $\ln e^n=n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e $\underset{R^{+}}{sup}\ln =+\mathrm{\infty }$. Dunque, per il precedente Teorema,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln x=+\mathrm{\infty }$

come si voleva dimostrare.

2

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\mathrm{\infty }$

Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente $-\mathrm{\infty }$ (sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x$ esiste ed è uguale al $\underset{{ℝ}^{+}}{inf}\ln$. Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che $\ln e^{-n}=\ln \frac{1}{e^n}=-n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ e siccome $(a_n)=-n$ è una successione divergente a $-\mathrm{\infty }$, allora certamente $\underset{{ℝ}^{+}}{inf}\ln$ sarà anche lui $-\mathrm{\infty }$. Dunque, per il Teorema precedente, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\mathrm{\infty }$.

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