Polinomi di Taylor

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Derivate di ordine superiore

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,A\subseteq D(A)$ e sia $f:A\to \mathbb {R}$ derivabile in ogni punto di $A$. Se $x_{0}\in A$ si dice che $f$ ha derivata seconda in $x_{0}$ se esiste

$(f')'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}}$.

Se esiste tale limite si denota con le seguenti notazioni:

${\begin{matrix}f''(x_{0})&D^{2}f(x_{0})&f^{(2)}(x_{0})&{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}_{x=x_{0}}\end{matrix}}$

In modo analogo si definiscono le derivate di ordine $n$: $f$ è derivabile $n+1$ volte in $x_{0}$ se $f$ è derivabile $n$ volte in ogni punto di $A$ e se esiste il limite sopra (con le opportune modifiche di ordine).

Indichiamo inoltre con

$C^{n}(A,\mathbb {R} )$

l'insieme delle funzioni $n$ volte derivabili in ogni punto di $A$ e con $f^{(0)}(x)$ la semplice funzione $f$ derivata 0 volte.