La migliore rappresentazione della curva è sicuramente quella parametrica, del tipo:
oppure:
dove si chiama parametro.
La condizione di continuità non basta per rappresentare e studiare le curve intese come oggetti filiformi ad una dimensione con le caratteristiche di regolarità volute. La condizione aggiuntiva è che la curva piana sia differenziabile entro I.
Una curva nello spazio parametrizzata: si dice differenziabile in ogni punto di I se le funzioni , e hanno derivate continue in ogni punto dell'intervallo.
Una curva nello spazio differenziabile si dice regolare in un punto se e regolare in I se in ogni punto di I.
Un punto per cui è un punto singolare per la curva.
Una curva è semplice se non si autointerseca, ovvero se
La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva. Sia una curva differenziabile e un punto regolare. Si può definire la retta tangente (chiamata anche velocità) alla curva nel punto , la retta parallela al vettore:
Ogni curva regolare permette di definire una retta normale in ogni suo punto. Considerato un punto della curva, la retta normale è quella singola retta che passa per il punto in considerazione, è perpendicolare alla retta tangente e alla curva.
Si definisce ascissa curvilinea oppure parametro lunghezza arco la riparametrizzazione particolare ottenuta fissando l'estremo inferiore di integrazione a in modo che l'integrale:
dipenda solo dall'estremo superiore t inteso come variabile. Questa funzione è la lunghezza dell'arco di curva a partire da un punto fisso a e può avere segno. Si può sempre riparametrizzare la curva nell'ascissa curvilinea.
L'ultima affermazione si dimostra nel modo seguente:
dato che allora si può invertire s(t) e se la sua inversa è t = t(s) allora si ha la riparametrizzazione ascissa curvilinea o naturale data da:
Una curva nello spazio (sufficientemente regolare) ha in ogni punto un sistema di riferimento detto triedro di Frenet, dato da una terna di versori tangente, normale e binormale. Da notare che il poter definire il triedro di Frenet in ogni punto della curva è subordinato al fatto che la curva abbia versore tangente e normale in ogni punto della curva: per questo motivo si parlerà d'ora in poi di campo dei versori tangenti e campo dei versori normali. Inoltre la curva deve essere due volte derivabile e questa è una condizione aggiuntiva non prevista nella definizione precedente.
Sia una curva parametrizzata secondo l'ascissa curvilinea. Il campo dei versori tangenti alla curva è dato da:
Il campo dei versori normali è dato da:
Sfruttando la definizione di curvatura si può dare un'altra forma al campo dei versori normali:
Poiché ha norma costante, anche la quantità sarà costante, ovvero
riscrivendo:
Sviluppando si ottiene:
Ovvero il vettore è ortogonale a e quindi parallelo ad .
Si definisce ancora il campo dei versori binormali:
L'importanza del triedro di Frenet è che esso è un sistema di riferimento ortonormale "mobile", cioè al muoversi del punto lungo la curva , il triedro di Frenet si muove in modo solidale con e rimane sempre un sistema ortonormale. In altre parole il triedro di Frenet è una base ortormale e quindi si hanno le formule di Frenet:
Se abbiamo una parametrizzazione qualsiasi della curva: , formalmente il triedro di Frenet è uguale e si hanno le formule di Frenet:
questo perché se per esempio è il campo tangente della parametrizzazione qualsiasi allora la sua derivata rispetto a t:
Una curva nello spazio è quindi interamente definita dai due parametri curvatura e torsione. Fondamentale a questo punto è il loro calcolo esplicito sia in parametrizzazione ascissa curvilinea, che in parametrizzazione qualsiasi.
Curvatura e torsione in parametrizzazione naturale