Analisi matematica > Funzioni derivabili e derivata di una funzione
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Rapporto incrementale e definizione di derivata[modifica]
Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.
In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa
e
. Vediamone un esempio grafico intuitivo.
Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.
Essendo
e
, la tangente
, cioè il coefficiente angolare della nostra retta è
che è proprio il rapporto incrementale!
Supponiamo che
sia continua. Allora
tende a 0 per
che tende a
. Allora

il rapporto incrementale tende a
e
tende a
per
. Dunque:
anch'esso, come volevamo dimostrare.
È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio;
.
La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in
, tuttavia
non è derivabile nel punto
.
Infatti
.
I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.
Esempi di funzioni derivabili[modifica]
Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.
1 - derivata di una potenza[modifica]
. Dimostriamo che
.
Infatti, tenendo a mente che
) abbiamo:
2 - derivata di
[modifica]
Dimostriamo che la derivata di
è uguale a
. Fissiamo
e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in
:
.
Quando
si ha che:
tende a
perché tale fattore non dipende dalla variabile
;
tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;
pertanto il limite precedente è uguale a
. Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale
coincide con se stessa, ossia:
che è quello che volevamo dimostrare.
3 - derivata di
[modifica]
. Scriviamo
e
.
. Abbiamo che
e dunque il denominatore tende a
. Dunque
.
4-Derivata delle funzioni circolari[modifica]
Dimostriamo che
e
.
Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile:
.
Ora:
Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di
.
.
tende a 0 mentre
tende a
. Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.
Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.
Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.
Consideriamo ad esempio la funzione
e
. Per applicare la relazione
abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di
nel punto
. Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che
di conseguenza
. Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione
che diventa
vale a dire
Scriviamo la formula in favore di
:
e infine ne calcoliamo il limite per
che tende a
Il limite è zero perché
per
, in virtù del limite notevole del seno.