Funzioni derivabili e derivata di una funzione

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lezione
Funzioni derivabili e derivata di una funzione
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare

Analisi matematica > Funzioni derivabili e derivata di una funzione

Rapporto incrementale e definizione di derivata[modifica]

Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.

Siano un sottoinsieme non vuoto di e il suo insieme derivato. Consideriamo una funzione e un punto . Definiamo il rapporto incrementale di nel punto la funzione

.

Si dice poi che è derivabile in se esiste ed è reale

.

Tale limite si chiama derivata di nel punto e si denota equivalentemente con

, ,

Se il limite esiste ma non è reale (è dunque o , si dice derivabile in senso esteso in , o ancora non derivabile in .


In termini geometrici, il rapporto incrementale di una funzione è il coefficiente angolare della retta secante la funzione e passante per i punti di ascissa e . Vediamone un esempio grafico intuitivo.

Derivata come coefficente angolare.png

Dalla geometria analitica sappiamo inoltre che il coefficiente angolare di una retta è uguale alla tangente dell'angolo che si viene a formare tra essa e una qualsiasi retta parallela all'asse delle ascisse.

Essendo e , la tangente , cioè il coefficiente angolare della nostra retta è che è proprio il rapporto incrementale!

Osservazione[modifica]

Sia e sia .

derivabile in continua.
Dimostrazione[modifica]

Supponiamo che sia continua. Allora tende a 0 per che tende a . Allora

il rapporto incrementale tende a e tende a per . Dunque:

anch'esso, come volevamo dimostrare.

È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo un controesempio; . La funzione valore assoluto è certamente continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in , tuttavia non è derivabile nel punto .

Absolute value.png

Infatti

.

I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.

Esempi di funzioni derivabili[modifica]

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.

e scriviamo ora . Allora e per . Abbiamo ora che

Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.


1 - derivata di una potenza[modifica]

. Dimostriamo che . Infatti, tenendo a mente che ) abbiamo:

2 - derivata di [modifica]

Dimostriamo che la derivata di è uguale a . Fissiamo e sfruttiamo la definizione di derivata intesa come limite del rapporto incrementale centrato in :

.

Quando si ha che:

  • tende a perché tale fattore non dipende dalla variabile ;
  • tende a 1 per via del limite notevole associato all'esponenziale;

pertanto il limite precedente è uguale a . Concludiamo quindi che la derivata della funzione esponenziale coincide con se stessa, ossia:

che è quello che volevamo dimostrare.

3 - derivata di [modifica]

. Scriviamo e .

. Abbiamo che e dunque il denominatore tende a . Dunque .

4-Derivata delle funzioni circolari[modifica]

Dimostriamo che e .

Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile: .

Ora:

Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di .

.

tende a 0 mentre tende a . Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.

Analoghe dimostrazioni provano la derivata delle altre funzioni circolari e sono lasciate per esercizio.



Vediamo ora un'ultima osservazione estremamente importante.

Osservazione[modifica]

Sia e sia e supponiamo derivabile in .

Allora . Dunque è un infinitesimo.

Quindi

In altri termini, la funzione differisce da un polinomio lineare del tipo solo di un infinitesimo. Da questo possiamo anche dedurre che è derivabile in se e .


Esempi[modifica]

Consideriamo ad esempio la funzione e . Per applicare la relazione

abbiamo la necessità di valutare la derivata prima di nel punto . Nel paragrafo relativo alle derivate delle funzioni circolari abbiamo dimostrato che di conseguenza . Ora disponiamo di tutte le informazioni necessarie per utilizzare la relazione

che diventa

vale a dire

Scriviamo la formula in favore di :

e infine ne calcoliamo il limite per che tende a

Il limite è zero perché per , in virtù del limite notevole del seno.