Teorema del confronto, di Cauchy

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Analisi matematica > Teorema del confronto, di Cauchy


lezione
Teorema del confronto, di Cauchy
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 100%.

Alcuni importanti teoremi[modifica]

Teorema (del confronto per funzioni)[modifica]

Sia , , .
Se esiste un intervallo per cui per ogni e se i limiti delle due funzioni estremi e sono uguali, allora si ha che


In altre parole, è come se le due funzioni e "intrappolassero" .

Dimostrazione[modifica]

Poniamo .
Se , abbiamo già visto prima cosa succede.
Se invece , utilizziamo il Lemma visto all'inizio per la dimostrazione. Sia allora una successione in convergente a . Allora

e
.

Poiché la successione converge a , (lo abbiamo visto prima, nella dimostrazione della prima implicazione del Lemma iniziale).
Allora, per come è definito il teorema, si ha


Per il Teorema dei due carabinieri (riferito alle successioni) si ha che per e per il Lemma iniziale e poiché è una arbitraria successione in convergente ad abbiamo


Teorema (di Cauchy)[modifica]

Sia , un punto di accumulazione di reale o ed . Allora

In parole povere, esiste il limite di una funzione se e solo se i suoi termini sono vicini quanto si voglia.

Dimostrazione[modifica]

. Supponiamo per ipotesi che esista il limite di e che sia questo limite. Allora, utilizzando la definizione di limite e "truccandola" un po', abbiamo:

.

Ora, per ogni si ha

che è proprio la seconda affermazione.

. Utilizziamo sempre il Lemma che abbiamo visto all'inizio e consideriamo dunque una successione in convergente a che chiamiamo, con grande fantasia, .
Per ipotesi si ha che

Stock post message.svg Nota:
finire la dimostrazione... pag 115



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