Analisi matematica > Massimi e minimi di una funzione continua
- Indice delle lezioni di:
- Torna al corso:
Massimi e minimi[modifica]
Teorema (di Weierstrass)[modifica]
Dimostrazione del Lemma[modifica]
Proviamo la prima affermazione, ovvero che esiste una successione in
tale che
tende al
.
Questo
può essere un numero reale oppure
. Supponiamo ora il caso che sia reale.
Se
, esiste allora per ogni
un qualche valore
tale che
. Poniamo allora
.
Si ha che (per quanto detto prima)
non è vuoto e certamente è contenuto in
. Allora, per l'assioma della scelta, esiste una funzione
tale che
, cioè esiste una funzione che associa ad ogni naturale, quell'
che sta nell'intervallo corrispondente al naturale in esame.
Dunque tutti questi
formano una successione che chiamiamo appunto
in
che ha limite
.
Dunque
.
Proviamo ora la seconda affermazione nel secondo caso, ovvero supponiamo l'
e dimostriamo che esiste una successione
che tende all'
, che chiamiamo
.
Se
, poniamo allora
.
Siccome la condizione che
è sempre verificata, per un fissato
ed un opportuno
,
non è vuoto ed è contenuto in
. Per l'assioma della scelta esiste una funzione
tale che ad ogni naturale viene associato un valore di
. Denotiamo questi valori con
. Ma per come è definita,
è in realtà una successione che diverge a
in quanto
, per un
indice della successione "abbastanza grande". E questo vuole appunto dire che

Gli altri casi si provano in maniera analoga e sono lasciati per esercizio.

Dimostrazione del Teorema di Weierstrass[modifica]
Proviamo l'esistenza del massimo. Ancora, quella del minimo la omettiamo per brevità ma è un utile esercizio che vi consigliamo di fare.
Per il Lemma, esiste in
una successione
tale che
e poiché
è compatto, si può estrarre da ogni successione di
una sottosuccessione convergente ad un punto
. Se si può estrarre da ogni successione, in particolare lo si può fare anche con la nostra successione
e lo facciamo con la sottosuccessione
.
Ma
è continua in ogni punto di
e quindi anche in
. Allora
.
Però avevamo trovato prima che
. Allora, per il Teorema di convergenza/divergenza delle sottosuccessioni, necessariamente anche la sottosuccesione tende a
.
Per l'unicità del limite però, si ha che

dunque
ma
, dunque
e quindi


Teorema (di Bolzano o degli zeri)[modifica]
Siano
. Sia poi
tale che
.
Allora
![{\displaystyle \exists x_{0}\in [a,b]\ :\ f(x_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc54857798d33f82fbe8784ec194b59dc232992)
Poniamo
come il punto medio di
, cioè
.
Possono dunque presentarsi due possibilità:

.
Se si verifica la prima condizione, poniamo
e 
Se invece si verifica il secondo caso, poniamo
e
.
Abbiamo ora:

e si ha in entrambe le eventualità

.
Ripetiamo il procedimento e poniamo
, cioè sia
il punto medio dell'intervallo
.
Anche in questo caso si possono presentare le due eventualità di prima, cioè
ed in tal caso 
ed in tal caso
.
Abbiamo ora:

e si ha in entrambe le eventualità

cioè l'ampiezza dell'intervallo dove è contenuto lo zero si è dimezzata ulteriormente.
Ripetendo questo procedimento si ottengono due successioni
e
in
tali che:

e

.
Tutte e due le successioni sono in
e dunque sono limitate. Inoltre sono monotone (
è crescente mentre
è decrescente). Essendo allora limitate e monotone, sono convergenti. Infatti,
è limitata e dunque non può essere maggiore di
né minore di
. D'altra parte è sempre crescente, dunque
e questo implica che

e dunque converge ad un certo valore in
.
Inoltre notiamo che

cioè mano a mano che ripetiamo il procedimento all'infinito l'intervallo in cui è contenuto lo zero si restringe fino a diventare nullo (cioè fino ad essere lo zero che cerchiamo).
Poiché le successioni sopra sono in
, per quanto visto sopra si ha
.
Siccome
è continua,
e
. Dunque, ripetendo all'infinito il procedimento solito, si ha

.
Ma
e dunque anche
.
E questo implica necessariamente che
(perché stiamo parlando di numeri reali e non può mai essere che
).

Teorema (del valor intermedio)[modifica]
(per definizione di funzione). Allora possiamo avere
o
. Consideriamo per brevità solo il primo caso, ma il secondo si proverà in maniera analoga.Poniamo:
.
è continua in
e
perché
. Essendo
, il primo fattore è negativo mentre il secondo è positivo.
Per il Teorema di Bolzano, esiste un
tale che
. Da ciò

Dunque, come si voleva dimostrare, esiste almeno un
tale che
è contenuto nell'intervallo.
