Analisi matematica > Successioni divergenti
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La successione in
si dice divergente se

e dunque


Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.
Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è
, dunque non è un numero reale) è unico.
Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
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La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
Per fissare le idee, prendiamo il caso di
. Allora

Anche qui però,
, perché non può essere altrimenti visto che se così fosse
non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se
diverge positivamente per ogni
, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo
.

Algebra delle successioni divergenti
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Siano
successioni. allora
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv) 
(v) 
(vi)
(vii)
(viii)
.
Nota:
fare le dimostrazioni
Teorema (del confronto per successioni divergenti)
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Siano
due successioni e
.
Se
si ha che anche
cioè
, che va all'infinito ed è minore di
, "spinge" anche
all'infinito insieme ad essa.
Analogamente l'inverso, cioè se
e
diverge negativamente, spinge
a
.
.
Se
per tutti gli
e
sempre per tutti gli
, certamente anche ogni
è maggiore di
e dunque anch'essa tende a
.
In modo identico si prova la seconda affermazione.

Criteri di esistenza del limite
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Sia
una successione reale tale che

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se
si dice monotona strettamente crescente
Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
si dice monotona decrescente;
si dice monotona strettamente decrescente;
Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo
o
per indicare una successione monotona crescente e decrescente.
Vediamo ora un importante teorema.
Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)
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(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di
, sappiamo che esiste
. Allora

e dunque

Inoltre

e siccome la successione è crescente,
e a maggior ragione vale
.
Dunque

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè
.
Analogamente a prima, abbiamo che
.
Sempre per la monotonia di
, sappiamo che
anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

Dunque la serie è divergente e

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.

Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)
Teorema (di Bolzano-Weiestrass)
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In uno spazio euclideo k-dimensionale si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.
{{todo|Risc