Successioni divergenti

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Successioni divergenti
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
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Analisi matematica > Successioni divergenti


Successioni divergenti[modifica]

La successione in si dice divergente se

e dunque


Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è , dunque non è un numero reale) è unico.


Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)[modifica]

Se è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche ) o negativamente (se lo è anche ).

Dimostrazione[modifica]

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di . Allora

Anche qui però, , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se diverge positivamente per ogni , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo .


Algebra delle successioni divergenti[modifica]

Siano successioni. allora

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii).


Dimostrazione[modifica]

Stock post message.svg Nota:
fare le dimostrazioni

Teorema (del confronto per successioni divergenti)[modifica]

Siano due successioni e .
Se si ha che anche cioè , che va all'infinito ed è minore di , "spinge" anche all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se e diverge negativamente, spinge a .

Dimostrazione[modifica]

.
Se per tutti gli e sempre per tutti gli , certamente anche ogni è maggiore di e dunque anch'essa tende a .

In modo identico si prova la seconda affermazione.


Criteri di esistenza del limite[modifica]

Successioni monotone[modifica]

Sia una successione reale tale che

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

  • si dice monotona decrescente;
  • si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo o per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)[modifica]

Sia una successione monotona. Allora ammette limite e

(i)

(ii)


Dimostrazione[modifica]

(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di , sappiamo che esiste . Allora


e dunque

Inoltre

e siccome la successione è crescente, e a maggior ragione vale

.

Dunque

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè

.

Analogamente a prima, abbiamo che

.

Sempre per la monotonia di , sappiamo che anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

Dunque la serie è divergente e

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.


Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)[modifica]

In uno spazio euclideo k-dimensionale si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione[modifica]

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Riscrivere meglio l'enunciato