Successioni divergenti

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Successioni divergenti

La successione in $ℝ$ $(a_{n})$ si dice divergente se

lim_{n \to \infty} a_{n} = \pm \infty

e dunque

$\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$
$\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} < - k, \forall n \in ℕ, n > m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è $\pm \infty$ , dunque non è un numero reale) è unico.

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a_{n})$ è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})$ è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche $(a_{n})$ ) o negativamente (se lo è anche $(a_{n})$ ).

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ . Allora

\forall k \in ℝ \exists m \in ℝ : a_{n} > k, \forall n > m, n \in ℕ

Anche qui però, $i_{n} \geq n, \forall n \in ℕ$ , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse $(a_{i_{n}})$ non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se $(a_{n})$ diverge positivamente per ogni $n > m$ , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo $i_{n} \geq n$ .

◻

Algebra delle successioni divergenti

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ successioni. allora

(i) $a_{n} \to + \infty (- \infty), b_{n} \to + \infty (- \infty) ⟹ a_{n} + b_{n} \to + \infty (- \infty)$
(ii) $a_{n} \to + \infty (- \infty), b_{n} \to + \infty (- \infty) ⟹ a_{n} b_{n} \to + \infty (- \infty)$
(iii) $a_{n} \to + \infty, b_{n} \to - \infty ⟹ a_{n} b_{n} \to - \infty$
(iv) $a_{n} \to + \infty (- \infty), b_{n} \to μ \in ℝ ⟹ a_{n} + b_{n} \to + \infty (- \infty)$
(v) $a_{n} \to + \infty (- \infty), b_{n} \to μ \in ℝ ⟹ a_{n} b_{n} \to {\begin{matrix} + \infty, μ > 0 \\ - \infty, μ < 0 \end{matrix}$
(vi) $a_{n} \to + \infty (- \infty), a_{n} \neq 0 \forall n \in ℕ ⟹ \frac{1}{a_{n}} \to 0$
(vii) $a_{n} \to 0, a_{n} > 0 (< 0) \forall n \in ℕ ⟹ \frac{1}{a_{n}} \to + \infty (- \infty)$
(viii) $a_{n} \to \pm \infty, ⟹ | a_{n} | \to + \infty$ .

Dimostrazione

Nota:
fare le dimostrazioni

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Siano $(a_{n}), (b_{n})$ due successioni e $(a_{n}) \to + \infty, \forall n \in ℕ$ .
Se $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ si ha che anche $(b_{n}) \to + \infty$ cioè $(a_{n})$ , che va all'infinito ed è minore di $(b_{n})$ , "spinge" anche $(b_{n})$ all'infinito insieme ad essa.

Analogamente l'inverso, cioè se $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ e $(b_{n})$ diverge negativamente, spinge $(a_{n})$ a $- \infty$ .

Dimostrazione

$lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$ .
Se $b_{n} \geq a_{n}$ per tutti gli $n \in ℕ$ e $a_{n} > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

◻

Criteri di esistenza del limite

Successioni monotone

Sia $(a_{n})$ una successione reale tale che

a_{n} \leq a_{n + 1}, \forall n \in ℕ

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se $a_{n} < a_{n + 1}$ si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

$a_{n} \geq a_{n + 1}$ si dice monotona decrescente;
$a_{n} > a_{n + 1}$ si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo $(a_{n}) ↑$ o $(a_{n}) ↓$ per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)

Sia $(a_{n})$ una successione monotona. Allora $(a_{n})$ ammette limite e

(i) $a_{n} ↑ \Rightarrow lim_{n \to \infty} a_{n} = sup_{n \in ℕ} a_{n}$

(ii) $a_{n} ↓ \Rightarrow lim_{n \to \infty} a_{n} = inf_{n \in ℕ} a_{n}$

Dimostrazione

(i) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di $ℝ$ , sappiamo che esiste $λ \in ℝ = sup_{n \in ℕ} a_{n}$ . Allora

a_{n} \leq λ, \forall n \in ℕ

e dunque

a_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, \forall ε > 0

Inoltre

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : a_{m} > λ - ε, \forall n \in ℕ, n > m

e siccome la successione è crescente, $a_{n} \geq a_{m}, \forall n > m$ e a maggior ragione vale

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : a_{n} > λ - ε, \forall n \in ℕ, n > m

.

Dunque

lim_{n \to \infty} a_{n} = λ = sup_{n \in ℕ} a_{n}

Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè

sup_{n \in ℕ} a_{n} = + \infty

.

Analogamente a prima, abbiamo che

\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{m} > k

.

Sempre per la monotonia di $a_{n}$ , sappiamo che $a_{n} \geq a_{m}, \forall n > m$ anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

\forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m

Dunque la serie è divergente e

lim_{n \to \infty} a_{n} = sup_{n \in ℕ} a_{n} = + \infty

(ii) In modo del tutto analogo si prova la (ii) e la omettiamo per brevità.

◻

Esempio (il numero di Nepero)

(esercizio su nepero)

Teorema (di Bolzano-Weiestrass)

In uno spazio euclideo k-dimensionale si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

Dimostrazione

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