Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital

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lezione
Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%.

Analisi matematica > Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital


Test di monotonia[modifica]

Sia un intervallo non banale di e sia una funzione derivabile in ogni punto del dominio.

Allora, , se:

i) è costante;
ii) è monotona crescente su ;
iii) è monotona strettamente crescente su .


Dimostrazione[modifica]

i) Siano con . Per provare che è costante, dobbiamo far vedere che e data l'arbitrarietà dei due punti, ne deduciamo che è costante su tutto . Prendiamo l'intervallo , che essendo un sottoinsieme di un intervallo derivabile, è anch'esso derivabile e dunque è continua su . Possiamo dunque applicare il Teorema del valor medio, attraverso il quale sappiamo che esiste un punto tale che . Per ipotesi però in ogni punto dell'intervallo, dunque .

ii) (Come precedente) -- in ogni punto dell'intervallo, dunque .

Teorema di Darboux[modifica]

Se la Funzione F è definita e continua nell' intervallo [a,b] chiuso e limitato , allora la funzione assumerà ,almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo della funzione.

Teoremi di de l'Hôpital[modifica]

Introduzione[modifica]

I teoremi di de l'Hôpital costituiscono una condizione sufficiente ma non necessaria perché esista = (dove f'(x) e g'(x) sono le derivate di f(x) e g(x)) e permettono di risolvere alcune forme indeterminate (f.i.). Più precisamente il 1° Teorema di de l'Hôpital permette di risolvere la f.i. , mentre il 2° risolve la f.i. . In ogni caso è possibile utilizzarle anche per tutte le altre f.i., purché ricondotte alle f.i. e . Premesso ciò, si procede all'enunciazione dei teoremi.

Primo Teorema di de l'Hôpital (f.i. )[modifica]

Ipotesi Siano e continue nell'intervallo ed entrambe derivabili in . Esista . Sia in . Infine, esista . Tesi: esiste =

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se . In tal caso dovrà esistere un punto .

Esempio di applicazione del 1° T. di de l'Hôpital[modifica]

Si consideri . Esso rappresenta una f.i. . Derivando numeratore e denominatore (ponendo attenzione nel derivarli separatamente, e non considerando tutto il termine come quoziente derivandolo, erroneamente, secondo la regola specifica per questo caso) allora esso sarà uguale a .


Secondo Teorema di de l'Hôpital (f.i. )[modifica]

Ipotesi Siano e in , al più escluso ed entrambe derivabili in . Sia in . Esista . Infine, esista . Tesi: esiste =

N.B.: Questo teorema è applicabile anche se .

Esempio di applicazione del 2° T. di de l'Hôpital[modifica]

Si consideri . Esso rappresenta una f.i. . Derivando numeratore e denominatore (sempre separatamente) allora esso sarà uguale a .