Algebra delle derivate

Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

Somma di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,\ \ f,g:A\to \mathbb {R} ,\ \ x_{0}\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_{0}$. Allora $f+g$ è derivabile in $x_{0}$ e si ha:

$(f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0})$

Dimostrazione

${\frac {(f+g)(x)-(f+g)(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)+g(x)-f(x_{0})-g(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}+{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$ il cui primo addendo tende a $f'(x_{0})$ e il secondo addendo tende a $g'(x_{0})$, per $x\to x_{0}$.

Moltiplicazione di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,\ \ f,g:A\to \mathbb {R} ,\ \ x_{0}\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_{0}$. Allora $f\cdot g$ è derivabile in $x_{0}$ e si ha:

$(f\cdot g)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})$

Dimostrazione

$(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_{0})=f(x)g(x)-f(x_{0})g(x_{0})=f(x)g(x)-f(x_{0})g(x)+f(x_{0})g(x)-f(x_{0})g(x_{0})=$

$\left(f(x)-f(x_{0})\right)g(x)+\left(g(x)-g(x_{0})\right)f(x_{0})$

E quindi: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}g(x)+\lim _{x\to x_{0}}f(x_{0}){\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})$

Quoziente di derivate

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,\ \ f,g:A\to \mathbb {R} ,\ \ x_{0}\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_{0}$ sia inoltre $g(x)\neq 0,\forall x\in A$. Allora $\left({\frac {f}{g}}\right)$ è derivabile in $x_{0}$ e si ha:

$\left({\frac {f}{g}}\right)'(x_{0})={\frac {f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}}$

Dimostrazione

${\frac {\left({\frac {f}{g}}\right)(x)-\left({\frac {f}{g}}\right)(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)-\left({\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}\right)}{x-x_{0}}}={\frac {f(x){\frac {1}{g(x)}}-f(x_{0}){\frac {1}{g(x_{0})}}}{x-x_{0}}}=$ ${\frac {f(x)}{x-x_{0}}}{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {f(x_{0})}{x-x_{0}}}{\frac {1}{g(x_{0})}}={\frac {1}{x-x_{0}}}{\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{g(x)g(x_{0})}}=$ ${\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \left({\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x)}{x-x_{0}}}\right)=$ ${\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \left({\frac {f(x)g(x_{0})-f(x_{0})g(x_{0})-g(x)f(x_{0})+g(x_{0})f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right)=$ ${\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}g(x_{0})-{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}f(x_{0})\right)$

Dunque: $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {1}{g(x)g(x_{0})}}\cdot \left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}g(x_{0})-{\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}f(x_{0})\right)\right)=$ ${\frac {1}{g^{2}(x_{0})}}\cdot \left(f'(x_{0})g(x_{0})-g'(x_{0})f(x_{0})\right)$.

Derivazione di funzioni composte

Siano $A,B\subseteq \mathbb {R} ,f:A\to \mathbb {R} ,g:B\to \mathbb {R} ,f(A)\subseteq B$. Sia inoltre $x_{0}\in A\cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_{0}$. Infine sia $f(x_{0})\in D(B)$ e $g$ derivabile in $f(x_{0})$. Allora $g\circ f$ è derivabile in $x_{0}$ e si ha:

$(g\circ f)'(x_{0})=(g'\circ f)(x_{0})\cdot f'(x_{0})$

Dimostrazione

${\frac {g(f(x))-g(f(x_{0}))}{x-x_{0}}}={\frac {g(f(x))-g(f(x_{0}))}{f(x)-f(x_{0})}}\cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$f$ è derivabile in $x_{0}$, quindi è continua in $x_{0}$, ossia:

$x\rightarrow x_{0}\Rightarrow f(x)\rightarrow f(x_{0})\Rightarrow \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {g(f(x))-g(f(x_{0}))}{f(x)-f(x_{0})}}\cdot {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=g'(f(x_{0}))\cdot f'(x_{0})$

Derivata delle funzioni inverse

Sia $A\subseteq \mathbb {R} ,A$ un intervallo, $f:A\to \mathbb {R}$ strettamente monotona, quindi invertibile, con $f^{-1}$ la sua inversa. Sia $x_{0}\in A\cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_{0}$, con $f'(x_{0})\not =0$. Allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_{0}=f(x_{0})$, e si ha:

$(f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}}$

Dimostrazione

Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.