Algebra delle derivate

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lezione
Algebra delle derivate
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra


Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

Somma di derivate[modifica]

Sia e funzioni derivabili in . Allora è derivabile in e si ha:


Dimostrazione[modifica]

il cui primo addendo tende a e il secondo addendo tende a , per .

Moltiplicazione di derivate[modifica]

Sia e funzioni derivabili in . Allora è derivabile in e si ha:

Dimostrazione[modifica]

E quindi:

Quoziente di derivate[modifica]

Sia e funzioni derivabili in sia inoltre . Allora è derivabile in e si ha:


Dimostrazione[modifica]

Dunque: .

Derivazione di funzioni composte[modifica]

Siano . Sia inoltre e derivabile in . Infine sia e derivabile in . Allora è derivabile in e si ha:


Dimostrazione[modifica]

è derivabile in , quindi è continua in , ossia:

Derivata delle funzioni inverse[modifica]

Sia un intervallo, strettamente monotona, quindi invertibile, con la sua inversa. Sia e derivabile in , con . Allora è derivabile in , e si ha:


Dimostrazione[modifica]

Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.

Esempi[modifica]