Algebra delle derivate

Come per l'algebra dei limiti, in questa lezione vedremo le principali operazioni eseguibili sulle derivate di funzioni a variabile reale.

Somma di derivate

Sia $A\subseteq ℝ,f,g:A\to ℝ,x_0\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$. Allora $f+g$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$

Dimostrazione

$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$ il cui primo addendo tende a $f^{\prime }(x_0)$ e il secondo addendo tende a $g^{\prime }(x_0)$, per $x\to x_0$.

Moltiplicazione di derivate

Sia $A\subseteq ℝ,f,g:A\to ℝ,x_0\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$. Allora $f\cdot g$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(f\cdot g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$

Dimostrazione

$(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)=$

$(f(x)-f(x_0))g(x)+(g(x)-g(x_0))f(x_0)$

E quindi: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{(f\cdot g)(x)-(f\cdot g)(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x)+\underset{x\to x_0}{lim}f(x_0)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$

Quoziente di derivate

Sia $A\subseteq ℝ,f,g:A\to ℝ,x_0\in A\cap D(A)$ e $f,g$ funzioni derivabili in $x_0$ sia inoltre $g(x)\ne 0,\mathrm{\forall }x\in A$. Allora $\left(\frac{f}{g}\right)$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g^2(x_0)}$

Dimostrazione

$\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}=\frac{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)-\left(\frac{f(x_0)}{g(x_0)}\right)}{x-x_0}=\frac{f(x)\frac{1}{g(x)}-f(x_0)\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=$ $\frac{f(x)}{x-x_0}\frac{1}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{x-x_0}\frac{1}{g(x_0)}=\frac{1}{x-x_0}\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)}=$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left(\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0}\right)=$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot \left(\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)-g(x)f(x_0)+g(x_0)f(x_0)}{x-x_0}\right)=$ $\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot (\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0))$

Dunque: $\underset{x\to x_0}{lim}(\frac{1}{g(x)g(x_0)}\cdot (\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}g(x_0)-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}f(x_0)))=$ $\frac{1}{g^2(x_0)}\cdot (f^{\prime }(x_0)g(x_0)-g^{\prime }(x_0)f(x_0))$.

Derivazione di funzioni composte

Siano $A,B\subseteq ℝ,f:A\to ℝ,g:B\to ℝ,f(A)\subseteq B$. Sia inoltre $x_0\in A\cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_0$. Infine sia $f(x_0)\in D(B)$ e $g$ derivabile in $f(x_0)$. Allora $g\circ f$ è derivabile in $x_0$ e si ha:

$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=(g^{\prime }\circ f)(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)$

Dimostrazione

$\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}=\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$f$ è derivabile in $x_0$, quindi è continua in $x_0$, ossia:

$x\to x_0\Rightarrow f(x)\to f(x_0)\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)$

Derivata delle funzioni inverse

Sia $A\subseteq ℝ,A$ un intervallo, $f:A\to ℝ$ strettamente monotona, quindi invertibile, con $f^{-1}$ la sua inversa. Sia $x_0\in A\cap D(A)$ e $f$ derivabile in $x_0$, con $f^{\prime }(x_0)≠0$. Allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_0=f(x_0)$, e si ha:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}$

Dimostrazione

Si ottiene immediatamente come caso particolare della derivata della funzione composta.