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Dipartimenti Questa materia è curata dagli utenti del Dipartimento: Scienze matematiche, fisiche e naturali

Presentazione

L'analisi matematica è un ramo della matematica sviluppato sulla base dei concetti del calcolo infinitesimale. In passato l'analisi matematica si occupava del complesso dei simboli e delle regole operative su tali simboli per lo studio delle proprietà di un oggetto matematico effettuando una sua scomposizione in parti fino a giungere alle parti infinitesime che lo compongono. L'analisi matematica introduce i concetti di infinito e di limite, ed è proprio lo studio di queste problematiche che ha portato l'analisi matematica da calcolo di elemento ad indagine presente in molti ambiti scientifici. Panoramica Modulo 1: Insiemi, successioni e funzioni continue Insiemi: insiemi ordinati, massimo, minimo, estremo inferiore-superiore, completezza di $\mathbb {R}$, numeri reali, insiemi induttivi, induzione matematica. Successioni e limiti di successioni in $\mathbb {R}$: successioni reali, limiti di successioni, forme indeterminate, . Numeri complessi: nozioni sui numeri complessi. Limiti di funzioni reali di variabili reali: definizione di limite, esistenza del limite. Funzioni continue e circolari: funzioni continue, funzioni circolari. Modulo 2: Derivate, integrali e serie Calcolo differenziali per funzioni reali di variabile reale: derivata di una funzione, derivate di ordine superiore, polinomi di Taylor, funzioni convesse e zero di funzioni convesse, massimi e minimi realtivi. Integrale di Riemann: concetto di integrale, definizione di integrale di Riemann, integrale definito, integrale generalizzato. Serie numeriche Successioni e serie di funzioni Modulo 3: Funzioni in due variabili, curve e superfici Funzioni di più variabili reali: limiti e continuità, calcolo differenziale, formula di Taylor, funzioni a valori vettoriali. Curve ed integrali curvilinei Forme differenziali lineari Integrali multipli: Integrali doppi, Integrali tripli, integrale secondo Reimann in $\mathbb {R} ^{n}$ Integrazione secondo Lebesgue Superfici ed integrali di superficie

Prerequisiti

L'analisi più che ogni altra materia matematica richiede una conoscenza almeno basilare della storia della matematica per comprendere bene il perché esistono certi metodi di calcolo e da quali esigenze sono venute fuori. È dunque fondamentale non privarsi del tempo necessario per approfondire anche le curiosità che rendono estremamente importante e affascinante questa materia.

Programma

Modulo 1 Cenni di $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ e funzioni elementari Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Numeri reali (seconda parte) Numeri complessi Funzioni circolari Funzioni radice, esponenziale e logaritmica Esercitazione sui numeri complessi Le successioni in $\mathbb {R}$ Successioni reali Alcuni importanti teoremi sulle successioni Esistenza del limite di una successione reale Limiti inferiori e superiori Forme indeterminate (successioni) Esercitazione sulle successioni Serie numeriche Esercitazione sulle serie numeriche Limite per funzioni reali e continuità Punti di accumulazione e chiusura di un insieme Compattezza di un insieme Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale Algebra dei limiti Teorema del confronto, di Cauchy Monotonia, massimi, minimi e uniforme continuità Funzioni monotone Funzioni continue reali di variabile reale Massimi e minimi di una funzione continua Funzioni uniformemente continue Esercitazione sui limiti Modulo 2 Calcolo differenziale in $\mathbb {R}$ e studio di funzioni</math> Funzioni derivabili e derivata di una funzione Algebra delle derivate Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital Polinomi di Taylor Esercitazione sul calcolo differenziale Applicazione del calcolo differenziale: lo studio di funzioni Calcolo integrale secondo Riemann Integrale di Riemann Altri criteri di integrabilità secondo Riemann Calcolo degli integrali di Riemann Importanti teoremi del calcolo integrale (prima parte) Importanti teoremi del calcolo integrale (seconda parte) Integrale generalizzato Esercitazione sugli integrali Successioni di funzioni e serie di funzioni Successioni di funzioni Serie di funzioni Esercitazione sulle successioni e serie di funzioni

Verifiche d'apprendimento

È possibile, e fortemente consigliato, integrare le lezioni e valutare la propria preparazione attraverso queste esercitazioni. È possibile verificare la conoscenza di un argomento specifico o dell'intero programma. Questa materia al momento non prevede verifiche d'apprendimento.

Risorse

La Biblioteca del Dipartimento di Matematica contiene risorse utili per approfondire.

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Confronto

Cassetto2

Le successioni in $\mathbb {R}$

1. Successioni reali
2. Alcuni importanti teoremi sulle successioni
3. Esistenza del limite di una successione reale
4. Limiti inferiori e superiori
5. Forme indeterminate (successioni)
6. Esercitazione sulle successioni
7. Serie numeriche
8. Esercitazione sulle serie numeriche

Cassetto nuovo

Le successioni in $\mathbb {R}$

1. Successioni reali
2. Alcuni importanti teoremi sulle successioni
3. Esistenza del limite di una successione reale
4. Limiti inferiori e superiori
5. Forme indeterminate (successioni)
6. Esercitazione sulle successioni
7. Serie numeriche
8. Esercitazione sulle serie numeriche