Spazi di probabilità

Definizione: Spazio misurabile

Una coppia $(\Omega ,F)$ dove $\Omega$ è un insieme e $F$ una $\sigma$-algebra di sottoinsiemi di $\Omega$ è detta spazio misurabile e gli elementi di $F$ sono detti insiemi misurabili in $\Omega$.

Definizione: Misura

Una funzione $m$ definita sulla $\sigma$-algebra $F$, con

$m=F\to [0,\mathrm{\infty }]$

è una misura se

$\mathrm{\forall }{A}_k\in F,k\in [0,\mathrm{\infty }],A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }i\ne j$

e vale

$m\left(\bigcup _k{A}_k\right)=\sum _{k}m(A_k)$

dove gli $A_k$ sono una collezione di insiemi.

Definizione: Probabilità

Dato uno spazio misurabile $(\Omega ,F)$, la probabilità $P$ è una misura sulla $\sigma$-algebra $F$ tale che

$P(\Omega )=1$

Definizione: Spazio di probabilità

Lo spazio dotato di misura $(\Omega ,F,P)$ è detto spazio di probabilità (o esperimento casuale).

Proprietà: Proprietà 1

$B\subseteq A\Rightarrow P(B)\le P(A)$

Dimostrazione:

$A=B\cup (A\cap \overline{B})\Rightarrow P(A)=P(B\cup A\cap \overline{B})=P(B)+P(A\cap \overline{B})$

Si sottolinea che le probabilità sono sempre positive.

Proprietà: Proprietà 2

$P(\overline{A})=1-P(A)$

Dimostrazione:

$A\cup \overline{A}=\Omega$, $A\cap \overline{A}=\varnothing$

da qui si ha

$P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=P(\Omega )=1$

Proprietà: Proprietà 3

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Dimostrazione:

$A\cup B=A\cup (\overline{A}\cap B)\to P(A\cup B)=P(A)+P(\overline{A}\cap B)$

$B=(A\cap B)\cup (\overline{A}\cap B)\to P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$

Da qui si ottiene

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Proprietà: Proprietà 4

$P(A\cap B)\le min(P(A),P(B))$

Dimostrazione:

$B=(A\cap B)\cup (\overline{A}\cap B)$

$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)\le P(B)$

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\Rightarrow P(A\cap B)\le P(A)$

Proprietà: Proprietà 5

La funzione probabilità è continua.

Dimostrazione:

Sia $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ una successione di eventi di $F$ con

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=A$

Allora

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(A_n)=P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n)$.

Definizione alternativa: Probabilità col metodo statistico

Assegnata una coppia $(\Omega ,F)$, si dice probabilità la funzione $P$ su $F$, a valori non negativi, tale che:

1. $P(A)\ge 0\mathrm{\forall }A\in F$, assioma della non negatività;
2. $P(\Omega )=1$, assioma di normalizzazione
3. La successione

$S\equiv \{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

è una successione di eventi mutualmente esclusivi, quindi

$P\left(\bigcup _n{A}_n\right)=\sum _{n}P(A_n)$

Questi sono gli assiomi di Kolmogorov.

Definizione alternativa: Probabilità col metodo frequenzista

Un'altra definizione è quella che usa la probabilità relativa, il rapporto

$P(A)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n_A}{n}$

Si può osservare che anche questa definizione soddisfa tutti e tre gli assiomi di Kolomogorov. Il problema è che, in genere, non è possibile ripetere un esperimento per un numero infinito di volte; inoltre, il limite potrebbe non esistere.

Definizione alternativa: Probabilità col metodo classico

Per far sì che esista sempre un risultato, si può definire la probabilità come

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

cioè, il rapporto tra il numero di possibili risultati favorevoli (la cardinalità di $A$) e la cardinalità di $\Omega$. Anche in questo caso, sono rispettati gli assiomi di Kolmogorov.

Spazi di probabilità discreti

Sia

$\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_k,\cdots \}$

un insieme discreto, con cardinalità finita o infinita numerabile. In tal caso, si può scegliere come $\sigma$-algebra la collezione delle parti

$F=2^{\Omega }$

Un evento è definito come

$A=\bigcup _{i\in I_A}\{{\omega }_i\},\mathrm{\forall }A\in F$

dove gli ${\omega }_i$ sono gli eventi elementari e disgiunti:

${\omega }_i\ne {\omega }_j\mathrm{\forall }i\ne j$)

Allora, la probabilità viene definita come

$P(A)=\sum _{i\in I_A}P({\omega }_i)$

Per caratterizzare in modo completo uno spazio di probabilità discreto è sufficiente, quindi, calcolare soltanto le probabilità dei singoli elementi di $\Omega$,

$P({\omega }_i),\mathrm{\forall }i$

Esempio:

Il lancio della moneta.

Spazio campione $\Omega =\{T,C\}$

Insieme delle parti $F=\{\varnothing ,\Omega ,\{T\},\{C\}\}$

$P(T)=0,5$

$P(C)=0,5$

Con $T$ e $C$ che indicano se esce testa o croce. Scrivendo questa definizione del problema, abbiamo usato l'approccio classico

$\frac{|A|}{|\Omega |}$

Questo approccio non funziona se si ha a che fare con monete truccate.

Se la probabilità dei singoli eventi non è uniforme, allora il metodo classico introduce un errore.

Esempio:

Il lancio di due monete.

Spazio campione $\Omega =\{TT,CC,TC,CT\}$

$P(TT)=P(CC)=P(CT)=P(TC)=1/4$

La probabilità che esca $T$ al primo lancio è $1/2$.

Esempio:

Il lancio di un dado.

Spazio campione $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

$F_1=\{\varnothing ,PARI,DISPARI,\Omega \}$

$F_2=\{\varnothing ,1,3,\{1,3\},\Omega \}$

$F_3=\{\varnothing ,1,2,\{1,4\},\Omega \}$

Tra queste $F$, quali sono $\sigma$-algebre? soltanto $F_1$.

Esempio:

Dati $A$ e $B$ ed una $\sigma$-algebra $F$, $A,B\in F$, si definisce lo spazio di probabilità $(\Omega ,F,P)$. Quanto vale $P(A\setminus B)$?

Soluzione:

Si ha

$P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$

Spazi di probabilità continui

Se $\Omega$ è un insieme continuo, la sua dimensione $|\Omega |$ è infinita non numerabile. In questo caso, l'insieme delle parti $F=2^{\Omega }$ è troppo ricco per poter definire una misura di probabilità sul suo contenuto.

Le successioni di insiemi $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ possono essere

• decrescenti (rispetto alla relazione di inclusione), cioè

$A_n\supseteq A_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$.

• crescenti, cioè

$A_x\subseteq A_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$

Spazio di Borel

Dato lo spazio campione

$\Omega =ℝ(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

si consideri l'insieme $G$, formato da tutti i sottoinsiemi di $ℝ$ dati dalla somma finita di intervalli disgiunti

$(a,b]=\{x\in ℝ|a<x\le b\}\text{ con }-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty }$

Allora

$G=\bigcup _{i=1}^n(a_i,b_i]\text{ con }n<\mathrm{\infty }$

Teorema:

$G$ è un'algebra, ma non è una $\sigma$-algebra.

Dimostrazione: Dimostriamo che esistono algebre che non sono $\sigma$-algebre

Sia

$A_n=(0,1-\frac{1}{n}]\in G$

In questo caso, si ha

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n=\bigcup _{i=1}^n{A}_n=(0,1)\in ̸G$

Quindi, si vede che $G$ non è una $\sigma$-algebra, dal momento che l'insieme limite non è chiuso a destra.

Algebra di Borel

L'algebra di Borel in $ℝ$ è definita come la più piccola $\sigma$-algebra generata dalla collezione di tutti gli intervalli della forma $(a,b]$ e viene indicata come $𝔹(ℝ)$.

Teorema:

L'algebra $𝔹(ℝ)$ contiene tutti gli intervalli del tipo

• $[a,b]$
• $(a,b)$
• $(-\mathrm{\infty },b]$
• $\{a\}$
• $(-\mathrm{\infty },b)$

Dimostrazione:

La dimostrazione è lasciata per esercizio. Si segua questa traccia.

$[a,b]=\bigcap _n(a-\frac{1}{n},b],a<b$

$\{a\}=\bigcap _n(a-\frac{1}{n},a]$

Lo spazio di Borel è definito come $(ℝ,𝔹(ℝ))$. La restrizione di $(ℝ,𝔹(ℝ))$ ad un insieme $A\in 𝔹(ℝ)$ è la $\sigma$-algebra di tutti gli insiemi della forma $B\cap A$ con $B\in 𝔹(ℝ)$.

Esempio:

$([0,1],𝔹([0,1]))$

dove $𝔹$ è uno spazio di Borel. Allora

$B\cap [0,1]\text{ con }B\in 𝔹(ℝ)$

Metodi per l'introduzione di misure su spazi misurabili

In generale è più semplice definire una misura di sottoinsiemi di $\Omega$ e poi estenderla alla $\sigma$-algebra $F$. Nel caso continuo, si procede definendo la misura di sottoinsiemi di $\Omega$ appartenenti ad un'algebra tale che $F$ possa essere generata.

Consideriamo $(\Omega ,F)$. Sia $a$ un'algebra di $\Omega$ tale che $F=o(a)$. Allora, si può definire una premisura

$m_0:a\to [0,\mathrm{\infty }]$

in modo tale che gli insiemi siano

$A_k\in a,\mathrm{\forall }k=1,2,\cdots$

sono disgiunti a coppie e

$(\bigcup _k{A}_k\in a)$

Allora, la misura dell'algebra è

$m\left(\bigcup _k{A}_k\right)=\sum _k{m}_0(A_k)$

Teorema: Teorema di unicità della misura

La misura

$m:F\to [0,\mathrm{\infty }]|m(A)=m_0(A)\mathrm{\forall }A\in a$

è unica, sotto l'ipotesi che $m_0$ sia $\sigma$-finita, ossia che esista una sequenza di insiemi

$B_k\in a,k=1,2,\cdots$

tale che

• $\bigcup _k{B}_k=\Omega$
• $m(B_k)<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }k$.

Teorema: Teorema di Caratheodory

Si consideri una misura $\sigma$-finita su di un'algebra $a$ di $\Omega$. Esiste ed è unica la misura $m$ che estende $m_0$.

Probabilità su spazi misurabili

Consideriamo $\Omega =ℝ$, $F=𝔹(ℝ)$. Definiamo la probabilità

$P_0|P(\Omega )=1$

sull'algebra $G$ di tutti i sottoinsiemi di $ℝ$ del tipo

$\bigcup _{k=1}^n(a_k,b_k)$

con

$(a_i,b_i)\cap (a_j,b_j)=\varnothing \mathrm{\forall }i\ne j$

Nota: si ha $o(G)=𝔹(ℝ)$.

Per definire $P_0$ definiamo la funzione di distribuzione $F_X$.

Definizione: Funzione di distribuzione $F_X$

La funzione di distribuzione (o funzione di ripartizione) è definita come

$F_X:ℝ\to [0,1]$

tale che:

1. $F_X$ non è decrescente
2. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=0$
3. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{F}_X(x)=1$
4. $F_X$ è continua a destra, cioè $\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{F}_X(x+ϵ)=F(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ$
5. $F_X$ ammette limite sinistro, cioè $\mathrm{\exists }\underset{ϵ\to 0^{-}}{lim}{F}_X(x+ϵ)\mathrm{\forall }x\in ℝ$

F_X_di_uniforme

Definiamo $P_0:G\to [0,1]$ come la probabilità

$P_0(A)=\sum _{k=1}^m[F(b_k)-F(a_k)]\mathrm{\forall }A\in G|A=\bigcup _{k=1}^m(a_k,b_k)$

dove gli $(a_k,b_k)$ sono disgiunti a coppie. Si può dire che $P_0$ è $\sigma$-finita,

$P_0(\Omega )=1$

Dal teorema di Caratheodory segue che $P_0$ si estende in modo univoco alla misura $P$ su $(ℝ,𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)})$ tale che

$P((a,b])=F_X(b)-F_X(a)$

Anche $P$ è una probabilità, perché

$P(\Omega )=F_X(\mathrm{\infty })-F_X(-\mathrm{\infty })=1$

La $F_X(x)$ può essere assegnata come:

$F_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_X(\alpha )d\alpha$

con

$f_X(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in ℝ$

e dove vale

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(\alpha )d\alpha =1$

La $f(\cdot )$ è detta funzione di densità di probabilità, o densità della funzione di distribuzione $F$.

Se esiste la $f_X(x)$, allora si ha

$P((a,b])={\int }_a^{b}f(\alpha )d\alpha$

Esempio: La funzione di densità di probabilità gaussiana

La funzione di densità di probabilità gaussiana è definita dall'equazione

$f(x)=\frac{1}{{\sigma }_x\sqrt{2\pi }}\cdot e^{-\frac{(x-{\mu }_x{)}^2}{2{\sigma }_x}}=N(\mu ,\sigma )$

Esempio: La funzione di densità di probabilità uniforme

La funzione di densità di probabilità uniforme è definita dall'equazione

$f(x)=\frac{1}{b-a}\mathrm{\forall }x\in [a,b],a<b$

Definizione: Spazio di Borel su ${ℝ}^2$

Lo spazio di Borel

$({ℝ}^2,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^2))$

con

${ℝ}^2=\{(\alpha ,\beta )|\alpha \in ℝ,\beta \in ℝ\}$

è la più piccola $\sigma$-algebra su ${ℝ}^2$ che contiene insiemi del tipo

$(a_1,b_1]\times (a_2,b_2]=\{(\alpha ,\beta )\in {ℝ}^2|\alpha \in (a_1,b_1],\beta \in (a_2,b_2]\}$

Supporto di tipo R^2

Analogamente al caso monodimensionale, si può definire una misura di probabilità assegnando un'opportuna densità di probabilità

$f:{ℝ}^2\to [0,\mathrm{\infty }]$

integrabile e tale per cui

$f(\alpha ,\beta )\ge 0\mathrm{\forall }(\alpha ,\beta )\in {ℝ}^2$

con

${\int }_{{ℝ}^2}f(\alpha ,\beta )d\alpha d\beta =1$

Il metodo visto si applica anche ai seguenti casi:

• $(A,𝔹(A))$ con $A\in 𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}$. In tal caso

${\int }_{A}f\left(\alpha \right)d\alpha =1$

• ${ℝ}^n,{𝔹\mathbb{(}ℝ}^n)$, con

${\int }_{{ℝ}^n}f({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_n=1$

• $(A,𝔹(A))$ con $A\in {𝔹\mathbb{(}ℝ}^n)$ e

${\int }_{A}f({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_n=1$

Esempio: La roulette

Vogliamo calcolare la probabilità che la pallina cada in un quadrante piuttosto che in un altro. Ipotizziamo che la probabilità che la pallina cada su un numero sia uguale per tutti i numeri; in questo caso $\theta$ ha una densità di probabilità uniforme. Definiamo lo spazio di probabilità $(\Omega ,F,P)$ come:

• $\Omega =[0,2\pi ]$
• $F=\{A\in \Omega |A=B\cap \Omega ,B\in 𝔹\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}\}$
• $f(\theta )=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\pi }& \theta \in [0,2\pi ]\\ 0& \text{altrove}\end{array}$

Si definiscono i casi:

• $A_1=[0,\frac{\pi }{2}]$
• $A_2=[\pi ,2\pi ]$
• $A_3=\left[\frac{\pi }{4}\right]$

Si ha:

• $P(A_1)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\theta )d\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2\pi }d\theta =\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{1}{4}$
• $P(A_2)={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{1}{2\pi }d\theta =\frac{1}{2\pi }(2\pi -\pi )=\frac{1}{2}$
• $P(A_3)={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{2\pi }d\theta =0$

Notare, dall'ultima soluzione, che la probabilità di un singolo punto è sempre nulla.

Esercizio: Luca e Giorgio

Due amici, Luca e Giorgio, si danno appuntamento al bar tra le 8 e le 8:30; i due arrivano al bar in modo casuale ed indipendente.

1. Definire lo spazio di probabilità;
2. Calcolare la probabilità che Luca arrivi prima di Giorgio;
3. Sapendo che arrivati al bar si fermano per un tempo pari a $\Delta {\mathrm{T}}_L=5$ minuti e $\Delta {\mathrm{T}}_G=5$ minuti, calcolare la probabilità che si incontrino.

Per la soluzione dell'esercizio, si veda la pagina della soluzione.