Spazi di probabilità

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lezione
Spazi di probabilità
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:


Definizione: Spazio misurabile
Una coppia dove è un insieme e una -algebra di sottoinsiemi di è detta spazio misurabile e gli elementi di sono detti insiemi misurabili in .



Definizione: Misura
Una funzione definita sulla -algebra , con

è una misura se

e vale

dove gli sono una collezione di insiemi.



Definizione: Probabilità
Dato uno spazio misurabile , la probabilità è una misura sulla -algebra tale che



Definizione: Spazio di probabilità
Lo spazio dotato di misura è detto spazio di probabilità (o esperimento casuale).



Proprietà: Proprietà 1


Dimostrazione: '
Si sottolinea che le probabilità sono sempre positive.



Proprietà: Proprietà 2


Dimostrazione: '
,

da qui si ha




Proprietà: Proprietà 3


Dimostrazione: '

Da qui si ottiene




Proprietà: Proprietà 4


Dimostrazione: '



Proprietà: Proprietà 5
La funzione probabilità è continua.


Dimostrazione: '

Sia una successione di eventi di con

Allora

.



Definizione alternativa: Probabilità col metodo statistico

Assegnata una coppia , si dice probabilità la funzione su , a valori non negativi, tale che:

  1. , assioma della non negatività;
  2. , assioma di normalizzazione
  3. La successione
è una successione di eventi mutualmente esclusivi, quindi
Questi sono gli assiomi di Kolmogorov.



Definizione alternativa: Probabilità col metodo frequenzista
Un'altra definizione è quella che usa la probabilità relativa, il rapporto
Si può osservare che anche questa definizione soddisfa tutti e tre gli assiomi di Kolomogorov. Il problema è che, in genere, non è possibile ripetere un esperimento per un numero infinito di volte; inoltre, il limite potrebbe non esistere.



Definizione alternativa: Probabilità col metodo classico
Per far sì che esista sempre un risultato, si può definire la probabilità come
cioè, il rapporto tra il numero di possibili risultati favorevoli (la cardinalità di ) e la cardinalità di . Anche in questo caso, sono rispettati gli assiomi di Kolmogorov.


Spazi di probabilità discreti[modifica]

Sia

un insieme discreto, con cardinalità finita o infinita numerabile. In tal caso, si può scegliere come -algebra la collezione delle parti

Un evento è definito come

dove gli sono gli eventi elementari e disgiunti:

)

Allora, la probabilità viene definita come

Per caratterizzare in modo completo uno spazio di probabilità discreto è sufficiente, quindi, calcolare soltanto le probabilità dei singoli elementi di ,


Esempio: '
Il lancio della moneta.
Spazio campione
Insieme delle parti

Con e che indicano se esce testa o croce. Scrivendo questa definizione del problema, abbiamo usato l'approccio classico

Questo approccio non funziona se si ha a che fare con monete truccate.


Se la probabilità dei singoli eventi non è uniforme, allora il metodo classico introduce un errore.


Esempio: '
Il lancio di due monete.
Spazio campione
La probabilità che esca al primo lancio è .



Esempio: '
Il lancio di un dado.
Spazio campione
Tra queste , quali sono -algebre? soltanto .



Esempio: '
Dati e ed una -algebra , , si definisce lo spazio di probabilità . Quanto vale ?


Soluzione: '
Si ha


Spazi di probabilità continui[modifica]

Se è un insieme continuo, la sua dimensione è infinita non numerabile. In questo caso, l'insieme delle parti è troppo ricco per poter definire una misura di probabilità sul suo contenuto.

Le successioni di insiemi possono essere

  • decrescenti (rispetto alla relazione di inclusione), cioè
.
  • crescenti, cioè

Spazio di Borel[modifica]

Dato lo spazio campione

si consideri l'insieme , formato da tutti i sottoinsiemi di dati dalla somma finita di intervalli disgiunti

Allora


Teorema: '
è un'algebra, ma non è una -algebra.


Dimostrazione: Dimostriamo che esistono algebre che non sono -algebre
Sia

In questo caso, si ha

Quindi, si vede che non è una -algebra, dal momento che l'insieme limite non è chiuso a destra.


Algebra di Borel[modifica]

L'algebra di Borel in è definita come la più piccola -algebra generata dalla collezione di tutti gli intervalli della forma e viene indicata come .


Teorema: '
L'algebra contiene tutti gli intervalli del tipo


Dimostrazione: '
La dimostrazione è lasciata per esercizio. Si segua questa traccia.


Lo spazio di Borel è definito come . La restrizione di ad un insieme è la -algebra di tutti gli insiemi della forma con .


Esempio: '

dove è uno spazio di Borel. Allora


Metodi per l'introduzione di misure su spazi misurabili[modifica]

In generale è più semplice definire una misura di sottoinsiemi di e poi estenderla alla -algebra . Nel caso continuo, si procede definendo la misura di sottoinsiemi di appartenenti ad un'algebra tale che possa essere generata.

Consideriamo . Sia un'algebra di tale che . Allora, si può definire una premisura

in modo tale che gli insiemi siano

sono disgiunti a coppie e

Allora, la misura dell'algebra è


Teorema: Teorema di unicità della misura
La misura

è unica, sotto l'ipotesi che sia -finita, ossia che esista una sequenza di insiemi

tale che

  • .



Teorema: Teorema di Caratheodory
Si consideri una misura -finita su di un'algebra di . Esiste ed è unica la misura che estende .


Probabilità su spazi misurabili[modifica]

Consideriamo , . Definiamo la probabilità

sull'algebra di tutti i sottoinsiemi di del tipo

con

Nota: si ha .

Per definire definiamo la funzione di distribuzione .


Definizione: Funzione di distribuzione
La funzione di distribuzione (o funzione di ripartizione) è definita come

tale che:

  1. non è decrescente
  2. è continua a destra, cioè
  3. ammette limite sinistro, cioè


F_X_di_uniforme

Definiamo come la probabilità

dove gli sono disgiunti a coppie. Si può dire che è -finita,

Dal teorema di Caratheodory segue che si estende in modo univoco alla misura su tale che

Anche è una probabilità, perché

La può essere assegnata come:

con

e dove vale

La è detta funzione di densità di probabilità, o densità della funzione di distribuzione .

Se esiste la , allora si ha


Esempio: La funzione di densità di probabilità gaussiana
La funzione di densità di probabilità gaussiana è definita dall'equazione



Esempio: La funzione di densità di probabilità uniforme
La funzione di densità di probabilità uniforme è definita dall'equazione



Definizione: Spazio di Borel su
Lo spazio di Borel

con

è la più piccola -algebra su che contiene insiemi del tipo

Supporto di tipo R^2


Analogamente al caso monodimensionale, si può definire una misura di probabilità assegnando un'opportuna densità di probabilità

integrabile e tale per cui

con

Il metodo visto si applica anche ai seguenti casi:

  • con . In tal caso
  • , con
  • con e


Esempio: La roulette
Vogliamo calcolare la probabilità che la pallina cada in un quadrante piuttosto che in un altro. Ipotizziamo che la probabilità che la pallina cada su un numero sia uguale per tutti i numeri; in questo caso ha una densità di probabilità uniforme. Definiamo lo spazio di probabilità come:

Si definiscono i casi:

Si ha:

Notare, dall'ultima soluzione, che la probabilità di un singolo punto è sempre nulla.



Esercizio: Luca e Giorgio
Due amici, Luca e Giorgio, si danno appuntamento al bar tra le 8 e le 8:30; i due arrivano al bar in modo casuale ed indipendente.
  1. Definire lo spazio di probabilità;
  2. Calcolare la probabilità che Luca arrivi prima di Giorgio;
  3. Sapendo che arrivati al bar si fermano per un tempo pari a minuti e minuti, calcolare la probabilità che si incontrino.


Per la soluzione dell'esercizio, si veda la pagina della soluzione.