Processi stocastici, stazionarietà ed ergodicità e densità spettrale di potenza

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lezione
Processi stocastici, stazionarietà ed ergodicità e densità spettrale di potenza
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Un processo casuale potrebbe essere, per esempio, quando si acquisisce un segnale con un oscilloscopio collegato ad un generatore di forme d'onda; la sinusoide generata sarà , dove è una variabile casuale.

Processi casuali[modifica]

Un processo casuale è una collezione di variabili casuali indicizzate dal tempo . Quindi, è una variabile casuale definita nello spazio di probabilità . Fissato l'istante temporale , si ha una funzione misurabile

che parte dallo spazio per giungere allo spazio . È possibile indicare un processo stocastico anche con la notazione

dove è misurabile rispetto ad .

Se , il processo si dice a tempo continuo; al contrario, se , allora il processo si dice a tempo discreto.

TFA processo a tempo discreto.jpg

TFA processo a tempo continuo realizzazione.jpg

Se fissiamo , allora è una funzione del tempo, altrimenti detta realizzazione.


Esempio: '
Sia , con una variabile casuale con

TFA processo a tempo continuo esempio X t V.jpg

Osservazione: fissato un qualunque , la variabile casuale resta sempre la stessa



Esercizio: '
Sia una variabile casuale con , disegnare il grafico come per l'esempio precedente.



Esempio: '
Sia la variabile casuale

tale che

  • è costante;
File:TFA processo a tempo continuo esempio sinusoide.jpg


Caratterizzazione statistica del processo[modifica]


Esempio: '
Sia definito su

definito come


Realizzazioni[modifica]

Fissato a scelta, disegnamo una realizzazione del processo nel tempo.

TFA realizzazioni processo a tempo discreto.jpg

Variabili casuali[modifica]

Fissato il tempo, si ha una variabile casuale osservando varie realizzazioni del processo, in quel preciso istante temporale.


Esempio: '
Nell'esempio, si ha
Osservazione: notare che la probabilità di tende a zero per , mentre la probabilità di tende a per .


Densità di probabilità[modifica]


Esempio: '
Al prim'ordine, si ha


Per il calcolo della densità congiunta del second'ordine, è necessario fissare due istanti temporali .


Esempio: '
Abbiamo tre casi da studiare:
1.
In questo caso, si ha
2.
In questo caso, si ha
3.
In questo caso, si ha

Da qui si ottiene che la densità di probabilità congiunta risulta



Esercizio: '
Calcolare a partire dalla funzione di densità di probabilità congiunta


Caratterizzazione statistica di un processo[modifica]

Si prendano diversi istanti di tempo . Si definisce la quantità

come la probabilità finito-dimensionale del processo . Dato che è una variabile casuale, la quantità appena definita è pari alla probabilità congiunta di un vettore n-dimensionale di variabili casuali, con .

In modo equivalente ai vettori di variabili casuali, un processo è caratterizzato dalla densità di probabilità congiunta, che si indica con

Dalla congiunta è sempre possibile ottenere le marginali, che possono essere pensate come delle congiunte di ordine inferiore.


Esempio: '
Si ha il processo

con costante e con una qualsiasi . Si vogliono calcolare tutte le quantità definite finora. Si ha

Le diverse realizzazioni sono sinusoidi alla stessa frequenza, ma di diversa ampiezza.



Esercizio: '
Siano le variabili casuali e , entrambe distribuite come . Studiare la variabile casuale data dalla relazione


Ergodicità dei processi casuali[modifica]

Supponendo di avere un processo stocastico stazionario (in senso lato), andiamo a cercare di dedurre qualcosa dalla sua densità di probabilità generando una realizzazione nel tempo. Vedremo che se il processo è ergodico, medie d'insieme e temporali coincidono.

Consideriamo un processo , con definito sullo spazio di probabilità . Fissato l'esito , otteniamo una realizzazione . Vogliamo capire se (e sotto quali condizioni) è possibile determinare delle caratteristiche di , osservando un'unica realizzazione.

Se il processo è stazionario in senso lato, allora

Consideriamo la realizzazione in una finestra .

File:TFA realizzazione per ergodicita processi.jpg


Definizione: Stimatore del valor medio temporale
Si dice stimatore del valor medio temporale della realizzazione la grandezza
che è la media temporale della realizzazione, sul periodo . In generale, è una funzione dell'esito , quindi può essere considerata a sua volta una variabile casuale.


La grandezza è una stima, si riferisce ad una particolare realizzazione .


Definizione: Stimatore non polarizzato
Lo stimatore è non polarizzato se

ossia se

Il valor medio delle medie temporali coincide con il valor medio di insieme.



Definizione: Stimatore consistente
Uno stimatore è detto consistente se
  • è non polarizzato
  • la varianza tende ad annullarsi all'aumentare del tempo di osservazione
Questo equivale a dire che tende, in maniera quadratica, al valor medio del processo, con un tempo di osservazione infinito si può ottenere il valore certo, senza incertezza.



Definizione: Processo ergodico
Se è uno stimatore consistente di , allora il processo è ergodico.



Teorema: Teorema di Slutsky
Dato un processo WSS (del second'ordine), allora
dove indica la convergenza in norma quadratica e è la funzione di autocovarianza del processo.


Il teorema di Slutsky permette di facilitare il compito di verifica dell'ergodicità di un dato processo. Una condizione sufficiente (ma non necessaria) affiché sia ergodico è che


Esempio: '
Sia un processo , con una variabile casuale stazionaria in senso lato. Si ha

Dal teorema di Slutsky, si ha

quindi, il processo non è ergodico.



Esempio: '
Si ha il processo

con e costanti, mentre e sono variabili casuali incorrelate tra loro ed a media nulla. Si ha

Applicando la consizione sufficiente appena vista, si ha

Questo fatto non vuol dire che il processo non possa ancora essere ergodico (la condizione è sufficiente, ma non è necessaria). Nel caso in cui, invece, , allora grazie al teorema di Slutky si ottiene

Da questo, si ottiene che il nuovo processo con è ergodico (rispetto al valor medio).


In modo alternativo, si può definire l'ergodicità del processo nel seguente modo:

  • se è WSS di prim'ordine, allora
Di conseguenza, si ha che è un processo ergodico rispetto al valor medio se è verificato
Questa si dice convergenza in probabilità, o convergenza qox (per quasi ogni ). Se è continuo, possono esistere alcuni per cui non è verificata l'equazione, ma se questi punti sono isolati (concetto di qox), allora si ha comunque la convergenza cercata. La probabilità di un particolare , infatti, è infinitesima (nel caso di processi a tempo continuo, lo stesso non vale per processi a tempo discreto).
  • WSS del second'ordine è ergodico rispetto alla sua funzione di autocorrelazione se vale
Anche questa è una convergenza in probabilità, con
che è l'autocorrelazione temporale del processo. In termini pratici, questo equivale a dire che

dove è la solita stima della funzione di autocorrelazione e è l'autocorrelazione d'insieme, che viene a coincidere con l'autocorrelazione temporale .

Densità spettrale di potenza[modifica]

Consideriamo il processo . Fissato otteniamo una realizzazione che in generale rappresenta un segnale di potenza non periodico, quindi non è possibile dare una caratterizzazione frequenziale attraverso la trasformata di Fourier (in modo diretto). È tuttavia possibile caratterizzare i processi casuali almeno in termini di spettro di potenza. A questo proposito, consideriamo il processo

TFA X T t s.jpg

Limitatamente al periodo , il segnale diventa ad energia finita,

quindi si ha anche lo spettro di potenza finito,


Definizione: Densità spettrale di potenza
Di definisce densità spettrale di potenza del processo la grandezza

dove è una variabile casuale ottenuta da

che è la trasformata di Fourier della variabile casuale .


Proprietà della densità spettrale di potenza[modifica]

1.
2. è detto periodogramma del processo
3. Teorema di Wiener-Kinchine; se un processo stocastico è stazionario in senso lato (del second'ordine), allora si ha
4. Se è a valori reali, allora è pari, di conseguenza si ha che
5. che è la potenza del processo
6.


Esempio: '
Sia un processo stocastico con una variabile casuale con qualsiasi. Si ha:
cioè, l'autocorrelazione è costante, quindi la densità spettrale di potenza del processo è una nell'origine.



Esempio: '
Si ha il processo stocastico

con e definiti, con e variabili casuali incorrelate e a media nulla. Allora, si ha


Descrizione congiunta dei processi stocastici[modifica]

Consideriamo e due processi definiti sullo stesso spazio di probabilità . Se volessimo caratterizzare congiuntamente i due processi, dovremmo fare

e questo dovrebbe valere:

Questa è la densità congiunta finito-dimensionale; passando invece alle descrizioni sintetiche, si possono identificare:

  • i valori medi
  • le funzioni di autocorrelazione
  • le funzioni di covarianza
  • le funzioni di crosscorrelazione
  • le funzioni di crosscovarianza


Definizione: Indipendenza dei processi
Due processi e definiti sullo stesso spazio di probabilità sono indipendenti se

e questo deve valere:



Definizione: Processi incorrelati
Due processi e definiti sullo stesso spazio di probabilità sono incorrelati se


Nel caso particolare in cui i processi siano delle variabili casuali gaussiane, allora si ha che

mentre i tutti gli altri casi si ha


Definizione: Processi congiuntamente gaussiani
Un processo è congiuntamente gaussiano se tutte le densità di probabilità finito-dimensionali sono congiuntamente gaussiane.



Definizione: Processi congiuntamente stazionari in senso stretto
Due processi e si dicono congiuntamente stazionari in senso stretto (SSS) se la densità di probabilità congiunta è invariante alla traslazione temporale.



Definizione: Processi congiuntamente stazionari in senso lato
Due processi e si dicono congiuntamente stazionari in senso lato (WSS) se:
cioè, anche la crosscorrelazione deve essere funzione della sola distanza tra istanti temporali.


Nel caso di processi congiuntamente stazionari in senso lato (WSS), si ha

e vale

Inoltre, vale


Esempio: '
Se e sono congiuntamente WSS, l'autocorrelazione di vale



Esempio: '
Se e sono congiuntamente WSS e indipendenti, l'autocorrelazione di vale