Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali

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lezione
Caratterizzazione sintetica delle variabili casuali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

In molti casi pratici interessa conoscere alcune caratteristiche sintetiche, dette momenti, di una variabile casuale. Queste caratteristiche possono essere calcolate dalla funzione di densità di probabilità.

Valor medio delle variabili casuali[modifica]


Definizione: Valor medio
Sia una variabile casuale con . Si definisce il valor medio (o valore atteso) di la quantità

Nel caso di variabili casuali discrete, invece, è definito come

visto che si ha



Esempio: Funzione indicatrice
Sia lo spazio di probabilità , con e la funzione indicatrice. Si ha
Quindi, il valor medio della funzione indicatrice è la probabilità di successo.


Si noti che il valor medio della funzione può non essere un risultato possibile per l'esperimento.


Esempio: Variabile casuale di Bernoulli
Si ha

da cui



Esempio: Variabile casuale di Poisson
Si ha

da cui si ha

Siccome vale la proprietà

allora si ottiene



Esempio: Variabile casuale uniforme
Si ha

Allora, il valore atteso sarà



Esercizio per casa: La variabile casuale gaussiana
Trovare il valor medio di una variabile casuale gaussiana,



Teorema: Teorema fondamentale del valore atteso
Data la variabile casuale n-dimensionale con funzione di densità di probabilità e la trasformazione
(una funzione di Borel)

si ha che, per la variabile casuale

vale


Nel caso particolare in cui e con una variabile casuale discreta, si ha

da cui

ha

da cui si ottiene


Proprietà: Proprietà di linearità
Una variabile casuale n-dimensionale può essere vista come combinazione lineare di variabili casuali monodimensionali pesate

Questo porta alla proprietà

se poi si impone , allora si ha che e vale

da cui


Varianza delle variabili casuali[modifica]


Definizione: Varianza di una variabile casuale
Data una variabile casuale con una funzione di densità di probabilità , si dice varianza la grandezza

con

La varianza si può definire anche come

Se la variabile casuale è discreta anziché continua, allora si ha

con



Esempio: Variabile casuale binomiale
Si hanno prove ripetute indipendenti di una variabile casuale binomiale, con , e con

Si definisce lo spazio prodotto

Se rappresenta il numero di successi su prove, si ha

da cui


Si ha:


Esempio: Variabile casuale di Bernoulli
Si ha

da cui

di conseguenza



Esempio: Variabile casuale uniforme
Sia . Allora:

da cui si ottiene



Esempio: Variabile casuale gaussiana
Si ha una variabile casuale con distribuzione

Allora, vale

Si impone e si ha

Siccome vale

allora, con

si ha


Momenti delle variabili casuali[modifica]


Definizione: Momenti di una variabile casuale
Sia una variabile casuale con funzione di densità di probabilità . Si dice momento di ordine della variabile casuale la quantità



Definizione: Momento centrale di una variabile casuale
Data una variabile casuale con funzione di densitù di probabilità , si dice momento centrale di ordine di la quantità


Proprietà[modifica]

Il valore atteso di una funzione di due variabili casuali e , con

  • densità di probabilità
  • (funzione di Borel)

è dato da

Inoltre, se vale

allora

Somma di variabili casuali[modifica]

Siano e due variabili casuali. Allora il valore atteso è

mentre la varianza è

nel caso di indipendenza, si ha

Prodotto di variabili casuali[modifica]

Siano e due variabili casuali. Allora il valore atteso del loro prodotto è

Se poi e sono indipendenti, allora si ha

La varianza, invece, è

Ancora una volta, nel caso di indipendenza, si ha

Variabili casuali incorrelate[modifica]


Definizione: Variabili casuali incorrelate
Due variabili casuali e con densità di probabilità si dicono incorrelate se


Si ha

Si ricordano le definizioni:

  • incorrelazione
  • indipendenza


Esempio:
Siano e due variabili casuali con

Allora, si ha

Allo stesso modo, si ha

Si ha

da cui si deduce che le due variabili casuali sono incorrelate. Non si può dire, però che vi sia indipendenza.


Se due variabili casuali sono congiuntamente gaussiane e sono incorrelate, allora sono anche indipendenti; vale il viceversa.


Definizione: Variabili casuali ortogonali
Due variabili casuali e con funzione di denstità di probabilità congiunta si dicono ortogonali se
e si indicano con .


Si ha:


Definizione: Covarianza di variabili casuali
Siano e due variabili casuali con funzione di densità di probabilità congiunta . Si definisce la covarianza come

dove si ha

Una definizione alternativa è


Si ha che due variabili casuali e sono incorrelate quando .


Definizione: Coefficiente di correlazione
Date e due variabili casuali con funzione di densità di probabilità congiunta , si dice coefficiente di correlazione di e la grandezza



Esempio:
Sia una variabile casuale con funzione di densità di probabilità e sia

Mostrare che se e se .


Soluzione:
Il coefficiente di correlazione è una misura della forza della relazione lineare che intercorre tra e . Si ha

Si ha

dove

da cui

Si ha

da cui si può calcolare il coefficiente di correlazione