Esercizi sulla trasformazione di variabili casuali

Esercizio:

Date due variabili casuali $X$ e $Y$ con distribuzione $U[0,1]$, calcolare la funzione di densità di probabilità della variabile casuale

$Z=\frac{X}{Y}$

Sfruttiamo un metodo chiamato della variabile ausiliaria:

$\{\begin{array}{c}Z=g_1(X,Y)=\frac{X}{Y}\\ W=g_2(X,Y)=X\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}Y=g_1^{-1}(Z,W)=WZ\\ X=g_2^{-1}(Z,W)=\cdots \end{array}$

Si ha

$J_g=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{x^2}& \frac{1}{x}\\ 1& 0\end{array}\right]$

con determinante

$det(J_g)=-\frac{1}{x}$

Si ha

$f_{ZW}=\frac{f_{XY}(W,ZW)}{|det(J_g)|}=\frac{2}{\frac{1}{|W|}}=2\cdot |W|$

Il dominio è

• $W\in [-1,0]$
• $Z\in [-\mathrm{\infty },0]$

da cui si ottiene

$Y=(X+1)\cdot rect(X+\frac{1}{2})\Rightarrow Z=\frac{(X+1)}{X}\cdot rect(X+\frac{1}{2})=\frac{W+1}{W}\cdot rect(W+\frac{1}{2})$

File:TFA esempio X diviso Y variabile ausiliaria.png

Si ha

$f_X(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_{ZW}(z,w)dw={\int }_{\frac{1}{z-1}}^{0}2w\cdot dw$

siccome

$Z=\frac{W+1}{1}\Rightarrow w=-\frac{1}{(z-1{)}^2}$

allora si ottiene

$f_X(z)={[2\cdot \frac{w^2}{2}]}_{\frac{1}{(z-1{)}^2}}^0=-\frac{1}{(z-1{)}^2}$

Quindi, si ha

$f_Z(z)=\left|\frac{1}{(z-1{)}^2}\right|$

visto che prima si è lasciato indietro un modulo.

Esercizio:

Date due variabili casuali $X$ e $Y$ con funzioni di densità di probabilità di tipo $U[0,1]\times U[0,1]$, determinare la densità di probabilità della variabile casuale

$Z=\frac{max(X,Y)}{min(X,Y)}$

Per risolvere questo problema ci sono due metodi:

Metodo 1:

Si va a calcolare prima $F_Z$, per poi derivare $f_Z$. Si ha

$F_Z(z)=P(Z\le z)=P(\frac{max(X,Y)}{min(X,Y)}\le z){=}_{X,Y\ge 0}P(max(X,Y)\le z\cdot min(X,Y))$

• se vale che $Y\ge X$, allora si ha

$P(Y{\le }_{Z}X)=\{\begin{array}{cc}0& z<1\\ {\int }_0^1\left({\int }_{y/z}^{y}dx\right)dy=\frac{1}{2}\left(\frac{z-1}{z}\right)& z\ge 1\end{array}$

• se vale, al contrario, $Y<X$, allroa

$P(X{\le }_{Z}Y)=\{\begin{array}{cc}0& z-1\\ {\int }_0^1\left({\int }_{\frac{x}{y}}^{x}dy\right)dx=\frac{1}{2}\left(\frac{z-1}{z}\right)& z\ge 1\end{array}$

Da qui si ottiene

$F_Z(z)=\frac{z-1}{z}\Rightarrow f_Z(z)=\frac{1}{{}^2}z\ge 1$

Metodo 2: Lasciato per esercizio

La definizione di $Z$ può essere rivista come

$\{\begin{array}{cc}\frac{X}{Y}& X\ge Y\\ \frac{Y}{X}& X<Y\end{array}$

quindi si ha

$f_Z(z)=f_{Z|X\ge Y}(z|x\ge y)P(X\ge Y)+f_{Z|X<Y}(z|x<y)P(X<Y)$