Sia
![{\displaystyle T[\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23d4d9416b995643ca974f95de039d0fc89782d)
un sistema tempo invariante,

WSS e

. Sia

con
e
costanti, mentre
e
due variabili casuali indipendenti e a media nulla. Allora, si ha
![{\displaystyle E[Y(t)]=E\left[A^{3}\sin ^{3}(\omega t)+B^{3}\cos ^{3}(\omega t)+\cdots \right]=e(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ed4378fb836623f11bbc9accc36f2fb08364a8)
Siccome la media è una funzione del tempo,
![{\displaystyle \mu _{Y}(0)=E[B^{3}]\neq \mu _{Y}\left({\frac {\pi }{2\omega }}\right)=E[A^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7b3868d433a794b77ffeab7e7ddbc803bc6be2)
allora il sistema è sicuramente non-lineare.
Teorema:
Per un sistema lineare tempo-invariante (LTI) vale
![{\displaystyle E\left[T[X(t)]\right]=T\left[E[X(t)]\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2df323bf7ed95f23cc9ef4bb8b595c08934d34d)
Nel caso di sistemi LTI, si ha

dove
è la risposta all'impulso del sistema
. Si ha, inoltre,

che è la risposta in frequenza del sistema. Se
è stazionario in senso lato, si può affermare che
è ancora stazionario in senso lato; infatti, si ha
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}(t)&=E[Y(t)]\\&=E[h(t)*X(t)]\\&=E\left[\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )X(t-\tau )d\tau \right]\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )E\left[X(t-\tau )\right]d\tau \\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )\mu _{X}d\tau \\&=\mu _{X}\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )d\tau =\mu _{X}H(0)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c7e97208a88984d5039e3bd3c29d013137efb7)
dove
perché
è, per ipotesi, stazionario.
è la risposta all'impulso del sistema alla frequenza
, cioè è il guadagno di sistema.
Autocorrelazione del second'ordine
[modifica]
Per i sistemi LTI, vale
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{Y}(t,t+\tau )&=E\left[Y(t)Y(t+\tau )\right]\\&=E\left[\int _{-\infty }^{+\infty }h(t')X(t-t')dt'\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }h(t'')X(t+\tau -t'')dt''\right]\\&=R_{X}(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2593e4d19d383e71f5bbb6c5a0ad1fcbb9ae9d)
Se il processo di partenza
è stazionario in senso lato (WSS) del second'ordine, e se il sistema è lineare tempo-invariante (LTI), allora l'uscita del sistema
è anch'essa WSS.
In frequenza, si ha
![{\displaystyle S_{Y}(f)=F\left[R_{Y}(\tau )\right]=S_{X}(f)\cdot H(f)\cdot H^{*}(f)=S_{X}(f)\cdot \left|H(f)\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32bda510618b2bd32210bb4043c6de2dd9e7154)
I processi
e
sono anche congiuntamente stazionari, infatti
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{XY}(t,t+\tau )&=E[X(t)Y(t+\tau )]\\&=E\left[X(t)\int _{-\infty }^{+\infty }h(t'+\tau -t')dt'\right]\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t')E\left[X(t)X(t+\tau -t')\right]dt'\\&=h(\tau )*R_{X}(\tau )=R_{XY}(\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed89f7b0916febb59470e8bf09785de036284891)
In termini di densità spettrali, si ha

Covarianza di 
[modifica]
Per quanto riguarda
, abbiamo che vale

Consideriamo il sistema
che accetta in ingresso il processo
e restituisce il processo
, con


dove
e
sono stazionari in senso lato (WSS). Si ha
![{\displaystyle R_{\tilde {X}}(t,t+\tau )=E[{\tilde {X}}(t)\cdot {\tilde {X}}(t+\tau )]=C_{X}(t,t+\tau )=R_{\tilde {X}}(\tau )=C_{X}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c11602db010e8999e4f61f372fbfa39ae182436)

Abbiamo che

da cui si ottiene

ossia

che è la stessa relazione che esiste per l'autocorrelazione.
Esempio:
Esercizio: Esercizio per casa
Si ha il processo stocastico

con
un processo gausiano WSS. Calcolare:




Nota: se

è gaussiano e WSS, allora è anche stazionario in senso stretto (SSS). Se poi filtriamo tale processo SSS con un sistema lineare tempo-invariante (LTI), allora anche

sarà stazionario in senso lato (WSS).
Definizione: Processo bianco
Nella realtà, i processi bianchi continui non esistono, perché la potenza sarebbe infinita con
.

Quindi, dobbiamo restringere la trattazione ai processi bianchi in banda, cioè con densità spettrale di potenza costante su una banda limitata
.
Definizione: Processo bianco in banda
Un processo bianco in banda ha la trasformata di Fourier della covarianza,

, costante nell'intervallo
![{\displaystyle [-B,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ea01cdb6249757b18f2e64751e158a148edceb)
.
Si ha
In questo caso, la potenza è

Si ha, quindi,

Nel caso di processi bianchi in banda limitata, la funzione di autocorrelazione è
![{\displaystyle C_{X}(\tau )=F^{-1}\left[{\frac {N_{0}}{2}}rect\left({\frac {f}{2B}}\right)\right]={\frac {N_{0}}{\not 2}}\not 2B\cdot sinc(2B\tau )=\sigma _{X}^{2}sinc(2B\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62fd61aa18e741fe63c509d0350643fc3ad15df)
Se un processo è bianco e discreto (per esempio, può essere la versione campionata di un processo continuo), si ha sempre potenza finita nel periodo:

Un processo bianco discreto, essendo la versione campionata di un processo bianco continuo, è sempre implicitamente considerato come in banda: per il teorema di Shannon, infatti, un segnale deve essere campionato ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale,

quindi, deve esistere il valore

Esempio: Esempio di tema d'esame
Sia

un processo gaussiano, stazionario in senso lato (WSS) e bianco in banda

, con:



Soluzione:
Il processo

è WSS e gaussiano, il che vuol dire che è anche stazionario in senso stretto (SSS). Per calcolare la funzione di autocovarianza, basta calcolare il valore di

:

da cui

Si ottiene
![{\displaystyle C_{X}(\tau )=F^{-1}\left[S_{X}(f)\right]=F^{-1}\left[rect\left({\frac {f}{20}}\right)\right]=20\cdot sinc(20\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e0cc1c2b5859650d56e2ea5cc26fbc5bb0c99)
Da notare che nel calcolo di
![{\displaystyle F^{-1}\left[S_{X}(f)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7491cef4d10d9b6772c6dbfa5c6f0320cf522a7f)
non bisogna inserire la

del valore continuo, altrimenti si trova la funzione di autocorrelazione

.
Definizione: Processo ciclostazionario
Un processo

è ciclostazionario quando c'è invarianza alla traslazione periodica.
Un classico esempio di processo ciclostazionario è

dove
è una variabile casuale.