Sia
![{\displaystyle T[\cdot ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23d4d9416b995643ca974f95de039d0fc89782d)
un sistema tempo invariante,
![{\displaystyle X(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfeb6663c0a903f587cd6d776c387370fc5c4ab7)
WSS e
![{\displaystyle Y(t)=X^{3}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b49180a97820231cba5b04c447c86885e439f)
. Sia
![{\displaystyle X(t)=A\sin \left(\omega t\right)+B\cos(\omega t)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fef8297ea6ff500f065273eb11ae1f493f0efa)
con
e
costanti, mentre
e
due variabili casuali indipendenti e a media nulla. Allora, si ha
![{\displaystyle E[Y(t)]=E\left[A^{3}\sin ^{3}(\omega t)+B^{3}\cos ^{3}(\omega t)+\cdots \right]=e(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ed4378fb836623f11bbc9accc36f2fb08364a8)
Siccome la media è una funzione del tempo,
![{\displaystyle \mu _{Y}(0)=E[B^{3}]\neq \mu _{Y}\left({\frac {\pi }{2\omega }}\right)=E[A^{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7b3868d433a794b77ffeab7e7ddbc803bc6be2)
allora il sistema è sicuramente non-lineare.
Teorema:
Per un sistema lineare tempo-invariante (LTI) vale
![{\displaystyle E\left[T[X(t)]\right]=T\left[E[X(t)]\right]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2df323bf7ed95f23cc9ef4bb8b595c08934d34d)
Nel caso di sistemi LTI, si ha
![{\displaystyle Y(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )X(t-\tau )=\int _{-\infty }^{+\infty }X(\tau )h(t-\tau )d\tau =h(t)*X(t)=X(t)*h(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aee52cbc57ac67591e2bbebae64c686841dd2bb)
dove
è la risposta all'impulso del sistema
. Si ha, inoltre,
![{\displaystyle H(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t)e^{-j2\pi ft}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4c5356200596b12e5f543fe164e22a17bfdbbc)
che è la risposta in frequenza del sistema. Se
è stazionario in senso lato, si può affermare che
è ancora stazionario in senso lato; infatti, si ha
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}(t)&=E[Y(t)]\\&=E[h(t)*X(t)]\\&=E\left[\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )X(t-\tau )d\tau \right]\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )E\left[X(t-\tau )\right]d\tau \\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )\mu _{X}d\tau \\&=\mu _{X}\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )d\tau =\mu _{X}H(0)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c7e97208a88984d5039e3bd3c29d013137efb7)
dove
perché
è, per ipotesi, stazionario.
è la risposta all'impulso del sistema alla frequenza
, cioè è il guadagno di sistema.
Autocorrelazione del second'ordine
[modifica]
Per i sistemi LTI, vale
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{Y}(t,t+\tau )&=E\left[Y(t)Y(t+\tau )\right]\\&=E\left[\int _{-\infty }^{+\infty }h(t')X(t-t')dt'\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }h(t'')X(t+\tau -t'')dt''\right]\\&=R_{X}(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2593e4d19d383e71f5bbb6c5a0ad1fcbb9ae9d)
Se il processo di partenza
è stazionario in senso lato (WSS) del second'ordine, e se il sistema è lineare tempo-invariante (LTI), allora l'uscita del sistema
è anch'essa WSS.
In frequenza, si ha
![{\displaystyle S_{Y}(f)=F\left[R_{Y}(\tau )\right]=S_{X}(f)\cdot H(f)\cdot H^{*}(f)=S_{X}(f)\cdot \left|H(f)\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32bda510618b2bd32210bb4043c6de2dd9e7154)
I processi
e
sono anche congiuntamente stazionari, infatti
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{XY}(t,t+\tau )&=E[X(t)Y(t+\tau )]\\&=E\left[X(t)\int _{-\infty }^{+\infty }h(t'+\tau -t')dt'\right]\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(t')E\left[X(t)X(t+\tau -t')\right]dt'\\&=h(\tau )*R_{X}(\tau )=R_{XY}(\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed89f7b0916febb59470e8bf09785de036284891)
In termini di densità spettrali, si ha
![{\displaystyle S_{XY}(f)=H(f)\cdot S_{X}(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33185b49b06d7fde7dbe006d81d4b4d8c0cb9dd)
Covarianza di ![{\displaystyle Y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b160c901a32a90bdf180749f101db13c894cbed2)
[modifica]
Per quanto riguarda
, abbiamo che vale
![{\displaystyle C_{X}(t,t+\tau )=R_{X}(t,t+\tau )-\mu _{X}(t)\mu _{X}(t+\tau )=R_{X}(\tau )+\mu _{X}^{2}=C_{X}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a83afaf5250e3f82279e0ccaf3af71a217941c)
Consideriamo il sistema
che accetta in ingresso il processo
e restituisce il processo
, con
![{\displaystyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-\mu _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56643d3c4ad89d4b5f9b7db9a8516dfdd75daf7)
![{\displaystyle {\tilde {Y}}(t)=Y(t)-\mu _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a0220c6cba66c0b46f4d689d3164c42a1f6b95)
dove
e
sono stazionari in senso lato (WSS). Si ha
![{\displaystyle R_{\tilde {X}}(t,t+\tau )=E[{\tilde {X}}(t)\cdot {\tilde {X}}(t+\tau )]=C_{X}(t,t+\tau )=R_{\tilde {X}}(\tau )=C_{X}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c11602db010e8999e4f61f372fbfa39ae182436)
![{\displaystyle R_{\tilde {Y}}(\tau )=R_{\tilde {X}}(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )=C_{X}(\tau )*h(\tau )*h(-\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1829abc8ffdec0f1dde3862efb611cbdfc28428)
Abbiamo che
![{\displaystyle {\tilde {Y}}(t)=h(t)*{\tilde {X}}(t)=h(t)*(X(t)-\mu _{X})=Y(t)-\mu _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b05e93c776c8b464ba62cad7b2c60a330fd5a55)
da cui si ottiene
![{\displaystyle R_{\tilde {Y}}(\tau )=C_{Y}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80968667ce3d1284e18c66c43fd767ce1c32b6b)
ossia
![{\displaystyle C_{Y}(\tau )=C_{X}\left(\tau \right)*h(\tau )*h(-\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cacb6323b91d52e12d052b7c58a10e944cf5317)
che è la stessa relazione che esiste per l'autocorrelazione.
Esempio:
Esercizio: Esercizio per casa
Si ha il processo stocastico
![{\displaystyle Y(t)=X(t)+X(t-t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d748201da62d88d1be781723eb79cd9044e6b2)
con
un processo gausiano WSS. Calcolare:
![{\displaystyle \mu _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d61d6c2c7513bb6589518e6c034e7988aadf91c)
![{\displaystyle R_{Y}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9dd01d72762dfcb0ca1f55b33c51c24ef81560)
![{\displaystyle f_{X}(\alpha ,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93005d86dc0b74f746d62649f896430e66d03735)
![{\displaystyle f_{X_{1},X_{2}}(\alpha _{1},\alpha _{2};t_{1},t_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6907e12d7593ddcfb426004e15a4df509cf7a6)
Nota: se
![{\displaystyle X(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfeb6663c0a903f587cd6d776c387370fc5c4ab7)
è gaussiano e WSS, allora è anche stazionario in senso stretto (SSS). Se poi filtriamo tale processo SSS con un sistema lineare tempo-invariante (LTI), allora anche
![{\displaystyle Y(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b160c901a32a90bdf180749f101db13c894cbed2)
sarà stazionario in senso lato (WSS).
Definizione: Processo bianco
Nella realtà, i processi bianchi continui non esistono, perché la potenza sarebbe infinita con
.
![{\displaystyle P_{X}=\int _{-\infty }^{+\infty }S_{X}(f)df=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe311f31be6f0d63ff33a5bde738688920ccc388)
Quindi, dobbiamo restringere la trattazione ai processi bianchi in banda, cioè con densità spettrale di potenza costante su una banda limitata
.
Definizione: Processo bianco in banda
Un processo bianco in banda ha la trasformata di Fourier della covarianza,
![{\displaystyle C_{X}(f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ccc22f12e79dd3faf5606656ca74af06c16359)
, costante nell'intervallo
![{\displaystyle [-B,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ea01cdb6249757b18f2e64751e158a148edceb)
.
Si ha
In questo caso, la potenza è
![{\displaystyle P_{X}=\int _{-\infty }^{+\infty }S_{X}(f)df=\int _{-B}^{B}\left({\frac {N_{0}}{2}}+\mu _{X}^{2}\delta (f)\right)df={\frac {N_{0}}{\not 2}}(\not 2B)+\mu _{X}^{2}=N_{0}B+\mu _{X}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea90bad98493f9f5b490d180687215b7c71868c)
Si ha, quindi,
![{\displaystyle N_{0}={\frac {P_{X}-\mu _{X}}{B}}={\frac {\sigma _{X}}{B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bdbbf30656b2ad68866af94b89e4014468889a)
Nel caso di processi bianchi in banda limitata, la funzione di autocorrelazione è
![{\displaystyle C_{X}(\tau )=F^{-1}\left[{\frac {N_{0}}{2}}rect\left({\frac {f}{2B}}\right)\right]={\frac {N_{0}}{\not 2}}\not 2B\cdot sinc(2B\tau )=\sigma _{X}^{2}sinc(2B\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62fd61aa18e741fe63c509d0350643fc3ad15df)
Se un processo è bianco e discreto (per esempio, può essere la versione campionata di un processo continuo), si ha sempre potenza finita nel periodo:
![{\displaystyle P_{X}=R_{X}(0)=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{+{\frac {1}{2}}}S_{X}(f)df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2c4fddcd314343d93f42515b67097dcaf99e47)
Un processo bianco discreto, essendo la versione campionata di un processo bianco continuo, è sempre implicitamente considerato come in banda: per il teorema di Shannon, infatti, un segnale deve essere campionato ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale,
![{\displaystyle f_{C}\geq 2B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b0e7673a9daa38ea0dc46ad0ac40f0a8c0a7db)
quindi, deve esistere il valore
![{\displaystyle B<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa475f0076903afcc7fe3e1a2750623a14cc9651)
Esempio: Esempio di tema d'esame
Sia
![{\displaystyle \{X(t),t\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01048d7146a118c99382ecf0f5e86ed21daeef7)
un processo gaussiano, stazionario in senso lato (WSS) e bianco in banda
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, con:
![{\displaystyle B=10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83d64488805932f7f68460bf0c1bed42e029710)
![{\displaystyle \mu _{X}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad346f72a5c9d1ead0cd690d45fb5b1a2f34901)
![{\displaystyle P_{X}=24}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4328c7038fe141ba7a87cfe4f68e4a7d2c34a3)
Soluzione:
Il processo
![{\displaystyle X(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfeb6663c0a903f587cd6d776c387370fc5c4ab7)
è WSS e gaussiano, il che vuol dire che è anche stazionario in senso stretto (SSS). Per calcolare la funzione di autocovarianza, basta calcolare il valore di
![{\displaystyle N_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6328fbe0cded37216c90735c89ee188be26a30)
:
![{\displaystyle N_{0}={\frac {P_{X}-\mu _{X}}{B}}={\frac {24-4}{10}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30f09b9634a1d58d69cd7b3f453ece6c6966b7f)
da cui
![{\displaystyle {\frac {N_{0}}{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869927abad44990fa4965d93c6230663d06600f0)
Si ottiene
![{\displaystyle C_{X}(\tau )=F^{-1}\left[S_{X}(f)\right]=F^{-1}\left[rect\left({\frac {f}{20}}\right)\right]=20\cdot sinc(20\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e0cc1c2b5859650d56e2ea5cc26fbc5bb0c99)
Da notare che nel calcolo di
![{\displaystyle F^{-1}\left[S_{X}(f)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7491cef4d10d9b6772c6dbfa5c6f0320cf522a7f)
non bisogna inserire la
![{\displaystyle \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
del valore continuo, altrimenti si trova la funzione di autocorrelazione
![{\displaystyle R_{X}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee3e9ee435ff2d0d657003479abb1a84813efc1)
.
Definizione: Processo ciclostazionario
Un processo
![{\displaystyle \{X(t),t\in T\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c9dbf9c57283578c6c0720600a8d0d897334ea)
è ciclostazionario quando c'è invarianza alla traslazione periodica.
Un classico esempio di processo ciclostazionario è
![{\displaystyle X(t)=V\sin(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29f06989b6aeeb8b1dc68f7a5900ced6ef1c1e8)
dove
è una variabile casuale.