Elaborazione lineare e nonlineare di un processo stocastico

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esercitazione
Elaborazione lineare e nonlineare di un processo stocastico
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

TFA elaborazione processi casuali schema.png

Si vuole modificare un processo stocastico con un sistema , che è una trasformazione.


Definizione: Sistema tempo-invariante
Un sistema si dice tempo-invariante se, dato

si ha che


Classificazione dei sistemi[modifica]

  • è tempo invariante, non lineare;
  • è tempo invariante, lineare;

Se il sistema è tempo invariante e è stazionario in senso stretto di ogni ordine, allora anche il processo è stazionario in senso stretto (SSS) di ogni ordine.

In generale, il fatto che sia SSS non vuol dire che sia anch'esso SSS.


Esempio:
Si ha



Esempio:
Sia un sistema tempo invariante, WSS e . Sia

con e costanti, mentre e due variabili casuali indipendenti e a media nulla. Allora, si ha

Siccome la media è una funzione del tempo,

allora il sistema è sicuramente non-lineare.


Sistemi tempo-invarianti[modifica]

I sistemi tempo-invarianti possono essere di due tipi:

  • sistemi statici, o istantanei;
  • sistemi dinamici, o con memoria.


Definizione: Sistema lineare
Un sistema tempo-invariante definito dalla trasformazione è lineare se vale



Teorema:
Per un sistema lineare tempo-invariante (LTI) vale


Nel caso di sistemi LTI, si ha

dove è la risposta all'impulso del sistema . Si ha, inoltre,

che è la risposta in frequenza del sistema. Se è stazionario in senso lato, si può affermare che è ancora stazionario in senso lato; infatti, si ha

dove perché è, per ipotesi, stazionario.

è la risposta all'impulso del sistema alla frequenza , cioè è il guadagno di sistema.

Autocorrelazione del second'ordine[modifica]

Per i sistemi LTI, vale

Se il processo di partenza è stazionario in senso lato (WSS) del second'ordine, e se il sistema è lineare tempo-invariante (LTI), allora l'uscita del sistema è anch'essa WSS.

TFA autocorrelazione second ordine.png

In frequenza, si ha

I processi e sono anche congiuntamente stazionari, infatti

In termini di densità spettrali, si ha

Covarianza di [modifica]

Per quanto riguarda , abbiamo che vale

Consideriamo il sistema che accetta in ingresso il processo e restituisce il processo , con

dove e sono stazionari in senso lato (WSS). Si ha

Abbiamo che

da cui si ottiene

ossia

che è la stessa relazione che esiste per l'autocorrelazione.


Esempio:
Sia

con , e WSS del second'ordine. Si ha

Un modo alternativo per calcolare la funzione di autocorrelazione è usare la convoluzione,

dove si ha

quindi si ha



Esercizio: Esercizio per casa
Si ha il processo stocastico

con un processo gausiano WSS. Calcolare:

Nota: se è gaussiano e WSS, allora è anche stazionario in senso stretto (SSS). Se poi filtriamo tale processo SSS con un sistema lineare tempo-invariante (LTI), allora anche sarà stazionario in senso lato (WSS).


Processi bianchi[modifica]


Definizione: Processo bianco
Un processo si dice bianco se:
  1. è stazionario in senso lato (WSS) almeno del second'ordine;
  2. la trasformata di Fourier dell'autocovarianza è costante
il che vuol dire che la densità spettrale di potenza è
TFA processo bianco densita spettrale potenza.jpg


Nella realtà, i processi bianchi continui non esistono, perché la potenza sarebbe infinita con .

Quindi, dobbiamo restringere la trattazione ai processi bianchi in banda, cioè con densità spettrale di potenza costante su una banda limitata .


Definizione: Processo bianco in banda
Un processo bianco in banda ha la trasformata di Fourier della covarianza, , costante nell'intervallo .

TFA processo bianco in banda densita spettrale potenza.jpg

Si ha


In questo caso, la potenza è

Si ha, quindi,

Nel caso di processi bianchi in banda limitata, la funzione di autocorrelazione è

Processi bianchi discreti[modifica]

Se un processo è bianco e discreto (per esempio, può essere la versione campionata di un processo continuo), si ha sempre potenza finita nel periodo:

Un processo bianco discreto, essendo la versione campionata di un processo bianco continuo, è sempre implicitamente considerato come in banda: per il teorema di Shannon, infatti, un segnale deve essere campionato ad una frequenza almeno doppia della banda del segnale,

quindi, deve esistere il valore


Esempio: Esempio di tema d'esame
Sia un processo gaussiano, stazionario in senso lato (WSS) e bianco in banda , con:


Soluzione:
Il processo è WSS e gaussiano, il che vuol dire che è anche stazionario in senso stretto (SSS). Per calcolare la funzione di autocovarianza, basta calcolare il valore di :

da cui

TFA esempio processo SSS bianco.jpg

Si ottiene

Da notare che nel calcolo di non bisogna inserire la del valore continuo, altrimenti si trova la funzione di autocorrelazione .


Processi ciclostazionari[modifica]


Definizione: Processo ciclostazionario
Un processo è ciclostazionario quando c'è invarianza alla traslazione periodica.


Un classico esempio di processo ciclostazionario è

dove è una variabile casuale.