Esercizio sul codice di Hamming 7 4

Esempio: Codice di Hamming

Il codice di hamming(7,4) è un codice per la correzione degli errori sui canali binari che rappresenta una parola di 4 bit con una parola di 7 bit. Permette di correggere un errore e rilevare fino ad un massimo di due errori.

Vogliamo sapere la probabilità che la parola sia esatta, con probabilità di errore sul bit singolo $P_{ϵ}(b)=10^{-3}$.

Si suppone un canale binario simmetrico indipendente.

Siccome il canale è indipendente, ogni singolo bit è indipendente dall'altro, cioè possiamo usare le prove bernoulliane.

Lo spazio campione è

$\mathrm{\Omega }=\{0,1\}$

dove $0$ indica che non c'è stato errore, $1$ indica che c'è stato un errore. Si ha

$F=\{\varnothing ,\{1\},\{0\},\{0,1\}\}$

e si hanno:

• $P(0)=1-10^{-3}$
• $P(1)=10^{-3}$

Una parola è errata quando ci sono almeno due errori. L'evento errore è

• $C=\text{ sbaglio almeno 2 bit sulla parola }=\{(c_1,c_2,\cdots ,c_7)\}\in \hat{F}\text{ t.c. }\sum _i{c}_i\ge 2$

mentre l'evento successo è

• $\overline{C}=\{(c_1,c_2,\cdots ,c_7)\}\in \hat{F}\text{ t.c. }\sum _i{c}_i<2$

Sappiamo che

$P_n(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$

quindi

$P(C)=\sum _{k=2^7}{P}_7(k)=\sum _{k=2}^7(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k})p^k{q}^{7-k}$

il che vuol dire che la somma delle probabilità che ci siano $k=2,3,4,5,6,7$ errori è la probabilità totale. Vale

$P(C)=1-P(\overline{C})=1-(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{0})p^0\cdot q^7-(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})p^1\cdot q^6$

Se la parola non fosse codificata, allora l'unica probabilità di avere la parola giusta sarebbe la totale assenza di errori.