Trasformazione di variabili casuali

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esercitazione
Trasformazione di variabili casuali
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori



Consideriamo due casi:

  • date , una variabile casuale, e , con opportuna, bisognerà caratterizzare la nuova variabile casuale , cioè calcolarne e .
  • date e variabili casuali, bisognerà calcolare la opportuna in modo tale che .

Cominciamo con definire i requisiti della trasformazione in modo tale da ottenere ancora una variabile casuale. Si consideri una variabile casuale n-dimensionale definita su uno spazio di probabilità con

misurabile da a . Sia una funzione misurabile da a , detta funzione di Borel; definiamo

dove

tale che


Teorema: '
Se è ottenuta come composizione delle funzioni e , allora è una variabile casuale.


Dimostrazione: '
è una funzione,

e si ha

Consideriamo l'evento . Allora,

Si ha che , poiché la è una funzione di Borel da in . Quindi, si arriva alla conclusione




Esempio: Funzioni di Borel


Noi vedremo trasformazioni di tipo , e .

Trasformazioni di tipo [modifica]


Definizione: Trasformazioni di tipo
Sia data una variabile casuale con funzione di distribuzione . Si consideri la trasformazione con

una funzione misuarabile. Allora, si ha

con .



Esempio: La trasformazione lineare
Sia

con . Allora,

Allora, si è ottenuto che

Se è assolutamente continua, ossia ammette derivata

allora si ha

dove si è preso



Esempio: La funzione coseno
Si ha la funzione

TFA esempio sulla funzione coseno.png

con distribuzione e con

TFA esempio sulla funzione coseno II.png

Fissato un , abbiamo due soluzioni e . Si ha

cioè, si possono spezzare i due contributi attorno a , per semplicità. Bisogna calcolare, a questo punto, la probabilità

Si ottiene

Siccome la è una variabile casuale uniforme, si ottiene

La funzione risultante è continua in , quindi è derivabile e si ottiene



Esercizio: Amplificatore con saturazione
Un amplificatore con saturazione è un oggetto che implementa la funzione

Calcolare la e la nel caso di generica lungo tutto l'asse di .

TFA esercizio amplificatore con saturazione.png


Soluzione: '

In generale, la può avere supporto in e potrà essere discontinua.

File:TFA esercizio amplificatore con saturazione F X.png

Si ha

File:TFA esercizio amplificatore con saturazione f X.png

In questo caso, la funzione di densità di probabilità non è né continua né discontinua, ma è mista.



Esempio: Il limitatore ideale

File:TFA esercizio sul limitatore ideale.png

TFA esercizio sul limitatore ideale F X.png

La funzione di densità di probabilità discreta è:

TFA esercizio sul limitatore ideale f X.png


Calcolo della densità di probabilità[modifica]

Vediamo un metodo che permette di calcolare la densità di probabilità di una variabile casuale ottenuta dalla trasformazione

con variabile casuale e funzione misurabile.

Con variabili casuali discrete[modifica]

Sia una variabile casuale discreta, con

Allora, dato che , si ha

Può darsi che due vadano nella stessa , quindi si possono anche ottenere meno valori possibili, nella .

Con variabili casuali continue[modifica]

Sia una variabile casuale continua con continua. Sia continua e derivabile. Consideriamo tutta la probabilità nell'intervallo :

Identifichiamo vari sottocasi:

monotona crescente[modifica]

Se è monotona crescente, allora ci interessano i valori di probabilità in .

TFA g X crescente.png

Si definisce la funzione

inversa di . Allora,

.

Sappiamo che

dove

che è la derivata inversa, che coincide con l'inversa della derivata, calcolata in . Quindi, abbiamo ottenuto

monotona decrescente[modifica]

Nel caso in cui è decrescente, ci interessa il supporto . Si ha

TFA g X decrescente.png

monotona[modifica]

In generale, se è monotona, si ha

Questa è l'espressione generale per le funzioni di tipo monotono. Si ha che se

non monotona[modifica]

Ipotizziamo che sia possibile partizionare in un numero finito di sottointervalli in cui è monotona (crescente o decrescente che sia). Allora,

dove

Derivando in , si ha

da cui si ottiene

da cui si ha la formula fondamentale (da ricordare)

Questa è la formula più generale, dove

cioè il numero di risultati restituiti da .


Esempio: La trasformazione lineare

Si ha



Esempio: La trasformazione quadratica
Nel caso

si ottiene

Questo caso si differenzia da quello lineare, perché la compare anche al denominatore di , non essendo eliminato dalla derivata.



Esempio: La trasformazione coseno

Sia uniforme in , e sia

TFA trasformazione coseno.png

Si ha

con

da cui

Questa soluzione è valida per . Si ha


Trasformazioni di tipo [modifica]

Abbiamo un vettore di variabili casuali in partenza e vogliamo avere un vettore anche per la destinazione,


Definizione: Funzione di densità di probabilità congiunta
Si dice funzione di densità probabilità congiunta la funzione


Siano le continue e derivabili, per cui esistono le derivate parziali

Consideriamo l'intervallo

che contiene tutta la probabilità

Se , allora

Supponiamo che esista una partizione di all'interno della quale le siano monotone nei sottointervalli individuati. Siano le tali che

Con tutte queste premesse, si ha la funzione di densità di probabilità congiunta

dove è lo jacobiano


Nota: '
Se è invertibile, allora si ha

Allora si ha

da cui si ha



Esercizio: '
Provare a calcolare la con

e con la funzione di densità di probabilità uniforme su

Non si sfrutti il fatto che le due variabili casuali sono indipendenti.



Esercizio: '
Come il precedente, ma con supporto triangolare
dove .


Trasformazioni di tipo [modifica]

Siano due variabili casuali con densità di probabilità congiunta

continua e definita su . Sia

una funzione misurabile continua e derivabile. Data la variabile casuale

qual è la sua distribuzione ?

Primo metodo, somma di variabili casuali[modifica]

Si ha

dove

Si ha

Partendo da qui, si può derivare per ottenere la funzione di densità di probabilità .


Esempio: Somma di variabili casuali
Sia

con nota e continua. Si ha

Fissato , si ha

TFA Probabilità di Z uguale a X più Y.png

Si ha

da cui si ha


Metodo 2, variabile ausiliaria[modifica]

Si aggiunge una variabile casuale ausiliaria in modo da portare la trasformazione in una :

Si applica a questo punto la tecnica risolutiva per le trasformazioni ed otteniamo

In alternativa, si determina integrando la rispetto a ,


Esempio: Somma di variabili casuali
Si ha

Si ha

quindi posso trovare l'inversa

Si ha quindi

da cui


Osservazione: il secondo metodo è più semplice da utilizzare rispetto al primo, a patto che si scelga la variabile ausiliaria migliore possibile.


Esercizio: '
Sia

qual è la migliore?

La soluzione è


Determinazione di [modifica]

Sia data una variabile casuale con distribuzione . Determinare la funzione

tale che la

abbia la distribuzione assegnata .

La soluzione di questo problema si articola in due passi:

  1. passaggio dalla monotona alla variabile casuale uniforme in
  2. passaggio da alla variabile casuale con monotona.

Con uno schema a blocchi:

TFA schema a blocchi da 2 a 2.png

Si verifica che:

  • è uniforme.
Infatti, si ha
Infatti, si ha

TFA determinazione di g() seconda immagine.png

Indipendenza tra variabili casuali[modifica]


Definizione: Variabili statisticamente indipendenti
Date due variabili casuali e definite su , queste si dicono statisticamente indipendenti se:



Teorema: '
Se due variabili casuali e sono indipendenti, allora


Dimostrazione: '



Teorema: '
Se ammette densità di probabilità, questa è



Teorema: '
Se e sono indipendenti e

sono funzioni di Borel, allora

sono indipendenti.


Osservazione: abbiamo fatto trasformazioni , in cui si mantiene l'indipendenza.


Teorema: '
Dati

con e funzioni misurabili, allora


Dimostrazione: '
Si ha



Teorema: '
Dati e variabili casuali indipendenti, allora la variabile casuale ha una funzione di densità di probabilità


Dimostrazione: '
Questa è la definizione di convoluzione. La separabilità delle due funzioni di densità di probabilità è data dal fatto che le variabili casuali sono indipendenti.