Esempio del sistema di comunicazione binario simmetrico

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esercitazione
Esempio del sistema di comunicazione binario simmetrico
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori

Questo è un esempio di applicazione della probabilità condizionata.

Si ha un sistema di comunicazione binario simmetrico

Sistema sorgente-canale-ricevitore

dove sono i simboli emessi dalla sorgente, i simboli ricevuti dal destinatario. Nel caso ideale, ; nel caso reale, abbiamo che il messaggio originale che transita sul canale è, in generale, alterato a causa di diversi fattori quali la presenza di rumore termico, interferenze con altri sistemi di trasmissione, non idealità[1] del canale. Consideriamo il caso in cui il canale può assumere solo due valori: ed (sorgente binaria).

Lo spazio di probabilità ha come insieme degli esiti

Come al solito, la -algebra è l'insieme delle parti, . Si definiscono gli eventi

Le probabilità a priori sono

dove .

Ipotizziamo che il canale sia simmetrico, cioè la probabilità di crossover[2] è

Si ha

  • è la probabilità che non vi siano errori, data la trasmissione

A questo punto, possiamo ridisegnare il canale usando il modello con le probabilità di transizione

TFA_modello_probabilità_transizione_canale_simmetrico

Dal teorema della probabilità totale segue che

da cui

Calcoliamo la prob di ricevere “0” e “1”; in termini elementari

Allora, calcoliamo

  • (perché i due eventi sono disgiunti)

La probabilità di errore è data dall'evento errore è

Quindi, in termini di probabilità di errore rispetto alla probabilità dei singoli, per un canale binario simmetrico, l'errore è indipendente dalla distribuzione di probabilità degli ingressi.

Definiamo l'evento

che indica che abbiamo ricevuto . Allora

Casi limite:

  • , allora
  • , allora
  • , allora

Probabilità a posteriori[modifica]

Dato , qual è la probabilità di e ?

Se (canale affidabile), allora

e

Questo implica che , cioè osservare aumenta significativamente la probabilità che . Notate che per molto piccolo,

dove

cioè la probabilità a posteriori è molto maggiore rispetto alla probabilità a priori. Questo è intuitivo: se così non fosse, allora non servirebbe avere il canale: potremmo dedurre tranquillamente il risultato della trasmissione, meglio che osservando la trasmissione stessa.

La condizione di massima incertezza si ha quando , cioè

In questo particolare caso è inutile l'osservazione della trasmissione sul canale: basta tirare a caso e si ottiene la stessa probabilità di sbagliare.

Dipendenza sorgente e ricevitore[modifica]

In termini di indipendenza statistica, in un canale ideale c'è dipendenza totale tra la sorgente ed il ricevitore. Ad una data realizzazione della sorgente corrisponde una sola realizzazione del ricevitore, che coincide con quella della sorgente. Nel caso di massima incertezza, al contrario, sorgente e ricevitore sono statisticamente indipendenti tra loro; infatti, guardando il risultato del ricevitore non posso dire assolutamente nulla sulla sorgente, e viceversa.

Note[modifica]

  1. La definizione di canale ideale è un sistema con guadagno in banda passante e a fase lineare, quindi introduce un piccolo ritardo ed eventualmente un'attenuazione.
  2. La probabilità di crossover è la probabilità di sbagliare nel canale binario simmetrico.