Indipendenza tra eventi

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esercitazione
Indipendenza tra eventi
Tipo di risorsa Tipo: esercitazione
Materia di appartenenza Materia: Teoria dei segnali e dei fenomeni aleatori




Definizione: Eventi indipendenti
Dato uno spazio di probabilità , gli eventi e si dicono indipendenti se



Teorema: '
Se due eventi e sono indipendenti, allora sono indipendenti anche
  • e
  • e
  • e


Dimostrazione: e sono indipendenti
Si ha:

da cui

dove



È importante notare la differenza tra i due concetti di eventi indipendenti ed eventi disgiunti.


Definizione: Eventi mutuamente esclusivi
Quando l'intersezione tra due eventi e è vuota, i due eventi si dicono mutuamente esclusivi.



Esempio: Caso con e disgiunti
Con e disgiunti si ha che l'intersezione tra i due insiemi è vuota,

In questo caso, si ha

Perché sia che possono essere non impossibili ovverosia e



Esempio: Caso con
In questo caso, a priori non si può dire nulla, perché potrebbe esserci indipendenza come potrebbe non esserci.



Esempio: '

Definiamo il valore dell'intersezione dei due insiemi come

mentre le probabilità dei singoli insiemi sono

Allora, il prodotto delle due probabilità coincide con la probabilità dell'intersezione

quindi i due eventi sono indipendenti.



Esempio: Lancio ripetuto di una moneta
Lanciamo due volte una moneta. Si ha
  • insieme delle parti

Definiamo i due eventi

Si ha

Vogliamo sapere se i due eventi e sono indipendenti. Si ha

Da questo, si ha che i due eventi sono effettivamente indipendenti tra loro.

  • Cosa cambia se usiamo una moneta truccata?
  • Cosa cambia se i lanci non sono indipendenti?

Sia

In questo caso, le tabelle di probabilità non rispettano più l'indipendenza tra eventi, quindi e non sono indipendenti. Si verifichi per esercizio.


Eventi indipendenti multipli[modifica]


Definizione: Eventi multipli indipendenti
Dati e gli eventi

gli eventi si dicono indipendenti se


Nota: dalla definizione si deduce che non basta verificare

ma bisogna controllare che questo sia vero per ogni sottoinsieme di indici .


Esempio: Lancio della moneta
Siano gli eventi

Si ha

Da questa prima verifica, potrebbe sembrare che i tre eventi siano indipendenti, ma in realtà non lo sono, perché

Quindi, , e non sono indipendenti.


Probabilità condizionata[modifica]


Definizione: Probabilità condizionata
Dato lo spazio di probabilità si considerino con . Si definisce probabilità condizionata di dato come la probabilità



Teorema: '
Fissato con , la funzione

definisce una misura di probabilità di .


Dimostrazione: '
1. Siano disgiunti a coppie. Allora
2. Si ha



Teorema: '
Siano gli eventi e sia . Si ha



Teorema: '
Se gli eventi e sono indipendenti, si ha
cioè, la probabilità a priori e a posteriori sono identiche.



Esempio: Il lancio del dado
Calcolare la probabilità che sia uscito il , sapendo che è uscito un numero pari. Si ha

Si ha

Si noti che si è ottenuto . Si dice che l'evento è attratto dall'evento . Al contrario, con l'evento , si ha

In questo caso, si è ottenuto che , quindi si dice che è respinto da .



Esempio: Esempio di applicazione della probabilità condizionata
Si veda la pagina dell'esempio.


Legge della probabilità composta[modifica]


Definizione: '
Dati e , si ha

La relazione vale anche se una delle due probabilità è nulla ovverosia, infatti



Teorema: Regola della catena
Dati e gli eventi

si ha


Dimostrazione: '
Coincide con l'imporre che

e dire

iterativamente. L'equazione finale si ricava per passi successivi.


Probabilità totale[modifica]


Teorema: Teorema della probabilità totale
Sia e siano eventi mutuamente esclusivi (o disgiunti a coppie, ) di una -algebra. Sia un evento tale che

Allora, si ha

Definizione degli eventi.


Nota: non è necessario, per il teorema della probabilità totale, che


Teorema: Teorema di Bayes
Sia uno spazio di probabilità, con . Allora si ha

Se consideriamo eventi disgiunti a coppie e tali che

allora, si ha



Esempio: Scatole e palline
Ci sono due scatole e :
  • in ci sono due palline bianche ed una pallina nera;
  • in ci sono una pallina bianca ed una pallina nera.
Esercizio con palline bianche e nere nelle scatole
Studiare il sistema; qual è la probabilità di pescare una pallina bianca?


Per la soluzione, si veda la pagina di soluzione.

Indipendenza condizionata tra eventi[modifica]


Definizione: Eventi condizionatamente indipendenti
Dato , gli eventi si dicono condizionatamente indipendenti da un evento se, dato

si ha


È da notare che l'indipendenza condizionale non implica l'indipendenza tra e ; vale anche il viceversa. Banalmente, si verifica se .


Esempio: '
Si hanno due lanci consecutivi di una moneta. Vediamo che

Si ha:

Si ha

  • testa al primo lancio
  • testa al secondo lancio

Allora,

da cui si ha che A e B sono statisticamente indipendenti,

.

Sia evento in cui esce una sola testa. Si ha

Verifichiamo se . Si ha

Quindi, concludendo,

Ne risulta che A e B non sono indipendenti dato C.


Spazi di probabilità prodotto[modifica]


Definizione: Spazio misurabile prodotto
Dati gli spazi misurabili , , si dice spazio misurabile prodotto lo spazio

dove

1. il prodotto diretto

è l'insieme delle n-uple

2. il prodotto diretto

è la più piccolo -algebra definita sull'insieme
che contiene tutti gli insiemi nella forma
con e .



Esempio: '
Considero dove
  • n volte e
  • n volte

Nel caso , si ha

è la più piccolo -algebra che contiene tutti i rettangoli i cui lati sono dei borelliani.

TFA R^2 con bande.jpg



Definizione: Misura prodotto
Si considerino gli spazi dotati di misura -finita

Sia

lo spazio misurabile prodotto. Definiamo su di esso la misura prodotto


Consideriamo il caso per semplicità. Sia l'algebra generata dagli insiemi ottenuti come unione finita di insiemi disgiunti di forma

Allora

Inoltre,

Si ha , perché

  • è la più piccola che contiene insiemi della forma

Consideriamo

Si può dimostrare che questa è una premisura -finita su . L'estensione di sulla -algebra è detta misura prodotto ed è indicata con .


Definizione: Spazio prodotto dotato di misura
Dati spazi dotati di misura -finita,

lo spazio prodotto dotato di misura e definito come


spazio di probabilità prodotto come modello probabilistico per eventi indipendenti[modifica]


Teorema: '
Consideriamo due esperimenti casuali e . Per descrivere congiuntamente i due esperimenti, consideriamo lo spazio di probabilità prodotto . Tale spazio è adatto a descrivere congiuntamente eventi indipendenti.


Dimostrazione: '

Consideriamo

Dimostriamo che sono indipendenti, il che equivale a dire

Si ha:

TFA R^2 con bande.jpg

Questo verifica che i due eventi sono indipendenti, infatti soltanto con l'indipendenza si può calcolare la probabilità totale a partire dalle sole marginali.